重构数与运算一致性 形成结构化知识体系

陈光明

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出数与运算之间有密切的关联，数的概念本质上具有一致性，数的运算本质上具有一致性，并对数与运算的教学提出了新的要求。教师应在课程标准理念的指导下，探索“数的认识”和“数的运算”知识体系的构建策略。

关键词：数与运算一致性；结构化；知识体系

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）增加了“数与运算一致性”的内容，这对教材编写和教学体系设计的影响尤其深远。因为这不是对课程内容做简单的补充，而是对整个小学阶段“数的认识”和“数的运算”知识体系的根本变革。教师可以从当前数与运算一致性的底层逻辑分析入手，探讨新课标中这种变革的必要性和可行性，并探索在这一理念下对“数的认识”和“数的运算”知识体系的构建策略。

一、数与运算一致性的底层逻辑

数与运算一致性包括三个方面的内容：一是数的概念的一致性；二是数的运算的一致性；三是数的认识与运算的一致性。数与运算的教学能否做到一致性？数与运算的教学怎样做到一致性？这是亟待解决的两个问题。

（一）数与运算的教学能否做到一致性

首先，数的产生和发展离不开运算，数的认识与运算具有一致性。古人在劳动实践中创造了简单的几个自然数，并逐渐产生了“加法”的运算。通过“加法”的运算扩充了自然数的范围，并进一步产生了“减法”“乘法”和“除法”运算。其中，“减法”运算为“0”和“负数”的产生提供了契机。“除法”运算促进了“分数”的产生。由于分数在计算和比较时不太方便，因此诞生了小数。其次，整数、分数、小数的构成都是以计数单位为基础的，有了这个基础，数的概念教学的一致性便有了自然的逻辑结构。最后，所有的运算都是以加法运算为基础的，所以加减乘除四则运算在算理上有共同的逻辑本源，数的运算之间具有一致性。

（二）数与运算的教学怎样做到一致性

数与运算的一致性可以通过以下教学方法达成：一是将“计数单位”确定为核心理念；二是将运算的意义以及基础运算规律（五个运算定律和等式特性）作为计算的逻辑基础；三是将两个基本事实（加法口诀和乘法口诀）作为算法的起点；四是把数的意义理解为计数单位的叠加，把数的运算归结为计数单位的运算和计数单位数量的运算。

二、数的概念一致性的教学策略

数的概念的教学以“计数单位”为核心概念，将数的认识归结为计数单位的累加。根据这个要点，数的概念的教学，一定要凸显计数单位的核心地位，通过帮助学生建立计数单位的概念，再通过计数单位来认识数，形成数感。

（一） “一”是所有计数单位的基础

当我们提到计数单位时，很多教师脑海里一定会涌现出“十、百、千、万……”“十分之一、百分之一、千分之一……”“二分之一、三分之一、四分之一……”，然而对“一”这个计数单位却似乎并不重视。事实上，其他的计数单位都是通过“一”得出的，通过“一”的累积，形成整数的计数单位，通过对“一”的均分，形成分数（小数）的计数单位。“一”是所有計数单位的基础，计数单位“一”把整数、小数、分数的计数单位连成一个整体。所以，在教学“10以内数的认识”时，教师应让学生体会“所有的整数都可以分解成若干个‘一”“‘一的不断累加可以产生各种不同大小的整数”的含义。

（二）“十的认识”是数的认识的一次飞跃

“十的认识”这一课，对于引导学生体会计数单位在数的认识和表示上的作用，初步理解“位值制”计数法的原理非常关键。而传统的教学没能注意到这一要点，只是将“十的认识”与“十以内各数的认识”等同起来教学。为了改变这一现状，笔者将“十的认识”这一课做了如下重构。

教师先向学生呈现教材上的主题图，然后询问：“图中有几位孩子？（9位）请在计数器上用珠子表示。”

师：再加上老师，一共有多少人？（10个）你会用数来表示吗？

师：为什么9只要写一个数字，而10却要写两个数字？

（教师组织学生讨论：为什么不再另外创造一个符号来表示“十”）

通过讨论，学生明白了：如果数字“十”用一个符号来表示，那么“十一、十二、十三……”也要用单独的符号来表示，这样就需要记住很多符号，很不方便。接着，教师通过与学生一起在只有一个挡位的计数器上拨珠子表示“十、十一、十二……”，让学生进一步体会：在一个档位上拨太多的珠子，在计数上很不方便。所以人们就规定：计数器上的一个档位最多只能拨9个珠子，如果要表示更大的数，就得在左边增加一个档位，原来的档位叫做“个位”，新增加的档位叫做“十位”。

师：现在谁知道“十”在计数器上该如何表示？

生：在个位上拨9个，在十位上拨1个，合起来一共是10个。

生：只要在十位上拨1个珠子就可以了。

师：你认为哪种方法更好，为什么？

经过交流，学生了解到：尽管第一个学生的方法能用于表示超过十的数，但是数值越大，需要的珠子就越多，所以对于表示一个很大的数就不十分方便。而通过第二个学生的方法，只需用十位的一个珠子替代个位的10个珠子，便可表示更大的数，这样就无需准备大量的珠子了。

教师通过在计数器上拨珠，可以使学生明白“为什么9只要写一个数字来表示，而10却要写两个数字来表示”的道理。这样，学生会自然地明白“十进制计数法”的原理，理解“位值制”计数法的优越性。

（三）基于“数量”引入分数，通过“计数单位”理解分数

现行人教版数学教材是通过“率”来引入分数的，在认识分数的过程中淡化“计数单位”的作用，这与整数、小数的认识不太一致。为此，笔者对“分数的认识”这一单元做了如下重构。

【认识几分之一】

师：把1块月饼平均分给两个人，每个人能得到多少块月饼？

生：半个。

师：把1块月饼平均分给三个人，每个人能得到多少块月饼？

生：小半个。

师：把1块月饼平均分给四个人，每个人能得到多少块月饼？

生：小小半个。

随着情境的继续，学生发现，用生活中的“半个”“小半个”“小小半个”无法准确地表示分到月饼的数量，那到底该用什么数来表示每人分到的个数呢？

通过对以上问题的探讨，教师自然地引入一种新的数——分数，体现了数是对数量的抽象，与整数的认识相一致。

【认识几分之几】

1.妈妈、小明和爸爸一起吃一块比萨。

2.你能在下面的线段上找到妈妈、小明和爸爸吃的块数吗？你还能找到哪些数？

以上教学使学生明白：分数也是用来表示数量多少的，分数也是可以“数”出来的，分数也是可以用“数线”上的点来表示的，分数也是可以和整数比较大小的。由此，分数与整数在意义、结构和研究方法等方面都是一致的。

三、数的运算一致性的教学策略

（一）数的加减运算的一致性

在数的加减运算教学中，无论是教材还是课堂实践都做到了一致性。例如，在教学中教师通常都会引导学生将整数、小数、分数加减运算的算理、算法进行比较。学生需要明白，无论是在整数加减中的“数位对齐”、小数加减中的“小数点对齐”，或者是分数加减中的“通分”，都有相同的核心要领，就是“相同的计数单位上的个数相加减，计数单位保持不变。”

（二）数的乘法运算的一致性

与数的乘法运算一致的算法是：计数单位乘以计数单位，计数单位上的个数相乘。为了让学生理解其道理，教师需要分两个方面来引导他们进行探讨：

一是计数单位乘以计数单位怎么算。整数的计数单位相乘可以通过“数数”的过程来理解。例如，对于“一个一个地数，10个一是1个十”“一十一十地数，10个十是1个百”“一百一百地数，10个百是1个千”……教师可以继续引导学生用算式来表示这些结论：“1 × 10 = 10”“10 × 10 = 100”“10 × 100 = 1000”……

小数、分数的计数单位相乘可以借助“面积模型”来理解。例如，求下列阴影部分小长（正）方形的面积。

二是为什么计数单位乘以计数单位作积的计数单位，计数单位上的个数相乘作积的计数单位的个数。需要以下三节“关键课”来学习。

【整十数乘以整十数】

六年级同学举行艺术队列表演活动，一共有30列，每列20人，参加艺术队列表演的同学一共有多少人？

师：你会列算式吗？（30 × 20）

师：到底有多少个人呢？逐个计数实在太麻烦，应该怎么数呢？（以百为单位来计数）

師：在点子图里圈一圈、数一数。

师：说一说你是怎么数的。

生：按10行10列为一块，每块有10 × 10 = 100个；30里面有3个10，一行分成3块；20里面有2个10，一列有2块；用3 × 2算出一共有6块；每块100个，所以有600个。

根据学生的回答，教师适时进行以下板书。

【小数乘以小数】

长方形玻璃的长是0.3米，宽是0.2米，求长方形玻璃的面积。

教师同样也是引导学生将长方形分割成3 × 2个边长为0.1米的小正方形，先计算一个小正方形的面积为0.1 × 0.1 = 0.01（m2），再算3 × 2 = 6（块），最后算6 × 0.01 = 0.06（m2）。

【分数乘以分数】

分数乘以分数的教学方法与小数乘以小数相同。

通过对乘法运算的算理、算法的重构，教师可引导学生发现整数、小数、分数乘法运算在思想方法上的一致性：都要先用两个因数的计数单位相乘得到积的计数单位，再用两个因数各自计数单位的个数相乘得到积的计数单位的个数，最后根据数的意义将积的计数单位个数和计数单位相乘，得到最后的积。

（三）数的除法运算的一致性

根据除法是乘法的逆运算，很容易得出除法运算的一致性算法：计数单位除以计数单位作商的计数单位，计数单位上的个数相除作商的计数单位个数。但是，在实际教学中还有一些细节需要处理。

二是计数单位的个数除不尽的情况。例如，0.07 ÷ 3，计算时会出现7 ÷ 3除不尽的情况，这就需要在认识小数之后学习“整数除以整数得小数”这一关键课。这一课可以让学生顺着有余数除法，将余数的计数单位变小接着往下除，这样不但可以让学生体会小数产生的必要性，也可以在除不尽的时候顺势引出循环小数，完善对小数的认识。有了这些准备以后，计数单位的个数除不尽的情况就可以解决了。

从一致性的角度尝试将整数、小数、分数的认识和运算的知识体系进行重构的教学，有利于学生对数的概念和运算进行一致性地理解，帮助学生形成结构化的知识体系，既减轻学生的学习负担，又提高了学生的学习能力。

参考文献：

［1］施宝春.重构“分数除法”单元  体会除法运算一致性［J］.中小学数学（小学版），2023（10）.

［2］翟雪皎.践行新课标  凸显一致性：以“分数乘除法”一课为例［J］.小学教学研究，2023（26）.