整体分析教材，体会运算一致

叶蓓

【摘   要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，小数加减法和整数加减法存在紧密的联系。基于数运算的一致性，教师对人教版教材四年级下册“小數的加法和减法”单元的学习内容进行整体分析和单元重构，打破原有课时序列的编排，通过单元整体设计建立数运算一致的教学主线，帮助学生在小数加减法的运算中感悟其与整数加减法算理一致、算律一致和算用一致，进一步加深学生对数运算整体性和一致性的理解。

【关键词】小数加减法；数运算；一致性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段“数与代数”领域的教学提示中指出，要将小数的加减运算与整数的加减运算进行比较，引导学生初步了解运算的一致性。小数加减法与整数加减法之间存在紧密的联系，既有一致的核心概念（相同的计数单位相加减），又有各自独特的计算特征（数位对齐及小数点对齐）。

一、整体分析，把握运算一致性

整体分析人教版教材四年级下册“小数的加法和减法”单元，发现教材在本单元编排了小数加减法、小数加减混合运算和整数加法运算律推广到小数三个课时内容。单元学习内容既建立在整数加减法学习的基础上，又体现了小数加减法的内在发展顺序。

（一）整体视角，确定单元核心概念

1.教材梳理，厘清编排序列

基于知识的前后序列整体分析教材内容。学生在本单元之前已经学习了整数加减法的计算、一位小数的加减法计算、整数的四则混合运算以及相关运算律等内容，这些都是学生顺利进行本单元学习的已有经验。同时，本单元的学习内容也是学生后续学习小数乘除法和小数四则混合运算等知识的重要基础。

2.主题分析，提取核心概念

立足数的运算主题视角分析相关核心概念。数的认识和运算是一个统一整体，数认识的核心概念是“计数单位”，数运算的核心概念则是“相同计数单位的累加和递减”。因此，在教学本单元内容时，要让学生进一步理解计数单位，逐渐感受到不同数的运算都存在着算理、算法和运算律的一致性，如会用计数单位和运算性质解释算理，会基于相同计数单位的相加减形成算法，会基于相似的运算法则观察数据特征，正确使用运算律。

（二）单元视角，梳理课时序列

1.从差异到一致，突出算理算法

分析教材中的例1到例3（如表1）可以发现，各例题的形式虽然有差异，但内涵是一致的。通过例1，学生很容易就能体会到小数部分位数相同的小数加减法和整数的算理、算法十分相似，从而感悟低位算起、满十进一等运算法则。通过例2和例3，学生对小数部分位数不同的小数加减法进行讨论，感悟整数加减法和小数加减法算理一致，都是用相同计数单位进行累加或递减的，从而理解小数加减法中“小数点要对齐”的原理。在单元视角下体会算理一致，不仅是形成小数加减法的算法基础，也是在后续例4的教学中理解“为什么整数运算律可以推广到小数加减法中”的意义基础。

2.从特殊到一般，着眼算律迁移

例4的编排遵循“现象观察—计算验证”的思路，其教学内容是让学生感悟整数运算律在小数加减法中同样适用，且根据数据的特点选择合适的运算律合理运算（如图1）。教材例题通过举例验证的方式建立算律迁移，但从数运算一致性和运算能力提升的视角来分析，发现这不能提高学生对运算律一致的认同度。因此在教学例4时，要把“运算律为什么一致”作为核心话题，让学生理解小数加减法也可以根据其数据特点用以前学过的运算律进行巧算，在对比中真实地感受整数运算律和运算性质可以在小数加减法中得到合理推广，从而感悟算律一致。

3.从会算到算用，缺乏应用教学

算用结合强调要关注实际应用价值，体现数运算的活而有度。然而，人教版教材在编排的时候，仅在例4的练习部分编排了简单的解决问题，而没有涉及其他类型的解决问题，如没有关注需要进行策略设计、分析和优化的解决问题的教学。回顾整数加减法的解决问题，用精算和估算等不同方式解决问题是重要的教学内容，且存在难学又难教的现象，学生思维方式多样，在策略形成时存在诸多不确定因素，因此本单元的教学也亟须加入该方面的解决问题。

根据上述分析，教师在教学本单元时要充分关注与整数加减法的联系，以数运算一致性为单元教学主线，以感悟算理一致、算律一致和算用一致为课时序列，着力在关联、迁移、重组和深化中建立单元结构，让学生真实地体会学习内容间的整体性和一致性，切实地体会算理一致是正确运算的理解重心，算律一致是简便运算的迁移重心，算用一致是解决问题的运用重心。

二、课时架设，推进一致性的纵深理解

本单元的教学如何推进学生对运算一致性的理解？对此，教师需要提供有价值的学习材料，创设有意义的问题情境，引导学生生发有联系的学习思考。

（一）课时1：小数加减法的正确运算——学材助力理解，感悟算理一致

1.例题整合，难易分层

将原教材中的例1、例2和例3的学习内容整合成课时1。课始，引导学生回顾整数加减法的算理、算法，自然地思考“小数加减法应该怎么算”。继而组织编题大赛，发布任务“用一位小数、两位小数或三位小数，编出小数加法的算式”，并让学生按照计算的难易程度将这些算式分为天使级、风暴级和魔鬼级。课中，教师选择不同难易程度的算式，让学生对它们进行分类并分析（如图2）。

2.工具支持，理解算理

学生在分类讨论中，感受到简单的小数加法（即天使级）可以直接迁移原有的学习经验进行计算。如：小数部分位数相同的小数加法很简单，和整数的计算方式一样；整数加小数的时候，很少出现数位对错的情况；运算时没有产生进位的话，不需要列竖式就能解决。而风暴级的小数加法就属于较复杂的计算，学生需要对末尾对齐还是小数点对齐两种算法进行充分讨论，是有别于整数加减法的计算形式。在本环节，学生可以借助大量具象学习素材，如人民币、数位顺序表、计数器及方格图等辅助工具解释各算式的运算意义，明白加法运算的核心概念就是相同计数单位的累加，即小数加减法和整数加减法虽然运算形式不同，但算理和算法都是一致的。

3.沟通对比，深化理解

教师接着布置小数减法的编题任务（同小数加法），学生便能在小数加法的运算经验上明确小数减法的算理，再次感悟“小数点为什么要对齐”的算理。课末，教师通过微课梳理本课内容，再次联系和对比整数加减法与小数加减法，让学生充分理解“相同计数单位的累加和递减”即数的运算中算理一致的内涵，并提出后续思考题“分数加减法也是这么算吗”。如此，课时1的教学设计将生搬硬套地掌握“怎么算”，变成主动探究“为什么这么算、以后怎么算”，尊重学情，打通了知识间的壁垒。

（二）课时2：小数加减法的简便运算——变式聚焦核心，感悟算律一致

1.复习回顾，算理为本

课时2编排了小数加减法简便运算的内容。课始，教师通过“算式2.4+0.23及2.4-0.23怎么算”导入，引导学生回顾和对比小数加减法与整数加减法算理、算法的异同点，再次明确小数加减法的算理也是相同的计数单位相加减，为接下来解释算律迁移的原因和正确巧算奠定运算基础。

2.添数巧算，迁移算律

教师出示添数巧算的任务：给算式2.4+0.23和2.4-0.23各添一個数，设计一个能简便运算的综合算式。

任务流程如下：

想一想：准备添什么数，怎么添？

算一算：生成一个综合算式，并简便运算。

比一比：还能怎么添？看看谁设计的简便运算类型更多。

说一说：借助元角分、方格图、计数器等工具，向同桌介绍为什么可以这么简算。

3.聚焦核心，感悟一致

教师可以组织学生沿着“添了什么？为什么这样添？用上了什么方法？”的问题链对他们的作品进行讨论。如图3所示，学生设计的算式包含了整数加减法中的绝大多数运算类型，体现了加法交换律、加法结合律、连减的性质等多种运算律和运算性质。这种即时生成的课堂资源丰富了学生的学习素材，使学生在对比分析中聚焦数据特点和符号含义，在分步解读中加深对整数运算律得以在小数加减法中推广和适用的理解，从而感受到巧算方式的多样，并建立小数加减法与整数运算律的联系。如此，课时2的教学设计突出核心“整数的运算律在小数加减法中为什么同样适用”，引导学生在理解意义不变和结果不变的基础上感受算律一致，不仅提高了学生对算律一致的认同度，更促进了学生对运算内涵的理解。

（三）课时3：小数加减法的解决问题——数据催生策略，感悟算用一致

1.巧设数据，感悟需求

课时3编排的是用小数加减法解决问题的内容。如图4所示，教师创设真实情境，提出问题：购买下列商品各一份，选哪一张优惠券更合适呢？在解决本问题的过程中，学生凭借数感，很容易就排除了“满50减3”的优惠券，继而关注商品价格的数据特点，提出初步的猜想：“三份商品的总价是否在90元和100元之间？”如此，借助数据的巧妙设置，使学生在解决问题时聚焦数学信息，形成初步解决问题的需求。

2.充分对比，形成意识

教师引导学生通过想一想、写一写和说一说，主动思考、提出方案并进行交流反思。如表2所示，学生在解决问题时可能会采用以下策略：直接精算解决、巧算解决、估算解决和错误的解决策略。在讨论策略是否合理的过程中，学生发现小数加减法的解决策略和整数的解决策略相似，从而巩固了小数加减法的运算技能，体会到运算律能让原本较复杂数据的解决问题过程变得简便，同时增强了估算意识，在精算和估算的对比中感受到解决问题策略的多样性，提升了优化意识和应用意识。

3.突破瓶颈，算用自然

在练习设计部分，教师承接真实情境设计更开放的问题，让学生在四样商品中选择三样，用优惠券购买（如图5）。这一练习更加关注学生在解决问题过程中对数学信息的处理、对数据特点的把握和对问题形式的理解。学生通过对数据的选择，体会精算、巧算和估算等解决问题的策略在不同数据特点下的应用价值。如此，课时3的教学设计不仅唤起了学生原有的解决问题的策略意识，还渗透了怎样用数学眼光观察、数学语言表达和数学思维思考现实问题的解决问题意识，丰富了学生的学习经验。

三、教后反思

笔者在尝试对本单元教学内容进行整体设计时，紧紧围绕整数加减法和小数加减法的联系以及小数加减法的内在结构，推进单元课时，架设教学环节，从而促进学生对知识的主动迁移、对核心内容的理解和对关键能力的运用。

（一）迁移：生发运算的思考

基于整数运算和小数运算内涵的一致性，学生能进行知识的主动迁移，将习得的经验进行系统的概括和升级，生发对“怎么算？这么算对吗？还可以怎么算？”的运算思考，对运算中的问题和解决方式的思考变得更加深入。

（二）理解：清晰运算的内涵

基于算理、算法的一致和算律使用的一致，学生对算理、算法、算律之间的关系更加清晰，能用算理、算法解释算律的适用性，也能在数和符号带来的运算变化中理解算律是确定算理和算法的重要依据，从而提升正确运用运算法则和运算律进行运算的技能。

（三）运用：积累运算的经验

基于算用策略的一致，学生能够在对解决问题策略的合理优化中积累运算经验，能关注到数据特点，能在解决问题的过程中对比和联系不同的运算方法与解决策略，能理解运算在实际解决问题中体现出的本质，从而在充分的交流表达中发展运算能力。

参考文献：

［1］孙晓天，张丹.义务教育课程标准（2022年版）课例式解读：小学数学［M］.北京：教育科学出版社，2022：87-105.

［2］董文彬.以核心概念统领教学的整体性与一致性：以小学数学“数与运算”主题学习为例［J］.教学月刊·小学版（数学），2023（3）：58-62.

（浙江省杭州市学军小学教育集团云栖小学）