二次函数内容发展主线上的连贯性考查

[摘 要] 2023年天津中考数学二次函数内容的试题，综合了图形与几何相关知识，注重对二次函数基础知识的考查，意在加深学生对函数本质的理解和性质的运用。试题重视函数与其他知识的内在联系，关注数学知识内容的结构性和整体性，聚焦数学思想和方法，要求学生数形结合地研究函数问题，发展几何直观，提高解决问题的能力。试题命制关注课程标准倡导的新变化新要求，进行了积极的尝试和探索。题目搭建了多种解题路径，为培养学生创新意识、选拔培养创新人才提供了条件。对二次函数主题内容的教学，要突出主干内容，构建函数知识体系，感悟用函数知识解决问题的思想方法，不断丰富学生的经验，提升其分析问题和解决问题的能力。

[关键词] 数形结合；思想方法；推理能力；创新意识

[中图分类号] G424.74 [文献标识码] A

[文章编号] 1673—1654（2024）02—022—007

函数是研究运动变化过程中两个变量之间的对应关系及变化规律的数学模型，是“数与代数”领域的重要内容。保持稳定，围绕主线，考查能力，素养导向是中考数学试卷的特点。2023年天津中考数学试卷第（25）题，秉持《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准（2022年版）》）的理念和要求，考查二次函数的主干知识，强调知识的关联，渗透数学思想方法，突出考查学生的思维能力和运用知识解决问题的能力，考查目标导向核心素养的发展，有效落实立德树人的根本任务。在保持近年来命题思路的连续性和稳定性的同时，进行了有益的尝试和探索，表现出一定的创新性。本文主要梳理题目蕴含的思想方法和解决策略，力求实现帮助学生启迪思维、提升能力、培育素养的目的。

二次函数是函数主题的重要内容，其图象更为复杂，性质也是多方面，是教学的重点和难点。要充分利用图象，采用数形结合的研究方法研究二次函数的基本性质。二次函数与一元二次方程、不等式有着密切的联系，可以相互转化地解决问题。要利用二次函数部分的学习，进一步巩固和加强函数的知识内容及函数思想，使之深植学生内心深处。在教学中发现，以下三个方面还存在不足：一是理解二次函数解析式与抛物线的对应关系，增强几何直观能力；二是以二次函数为工具揭示变化过程中的依赖关系及变化规律，发展抽象能力和推理能力；三是建立二次函数与其他数学知识间的联系，提高学生综合分析问题和解决问题的能力。

一、原題呈现

本题设计了求顶点坐标、抛物线与x轴的交点坐标以及满足一定条件的动点坐标问题，低起点，高立意，拾级而上，把学生的思考步步引向深入，其中的两次求动点M的坐标，函数解析式的系数由具体数值到一般字母，需要运用代数式表示、函数与方程思想、数形结合思想、代数运算及推理等才能解决问题。

二、试题评析

试题以抛物线为背景，并与特殊图形相结合，深入探索图象及图形的性质。第（Ⅰ）问，先是在常数系数下求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标，考查图象的基本性质；接下来已知斜线段MN的长，求动点M的坐标，需要将斜线段的长转化为坐标系中竖直线段或水平线段的长；第（Ⅱ）问是前面问题的延续和深入，已知线段的和求动点M的坐标。试题兼顾基础性和综合性，要求学生准确把握解决问题的思想和方法，特别是用代数式表示点的坐标、表示线段的长，将斜线段的长进行转化，运用数形结合、方程的思想才能够解决问题。

（一）基于课程标准，考查函数基础知识

二次函数是按照“概念—图象及性质—联系—应用”的发展主线来进行的，图象及性质是二次函数的核心内容，与方程、不等式的联系，体现了数学知识结构的关联和综合。《标准（2022年版）》提出了“会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数表达式化为[y=a（x）-h2+k]的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标[1]”等有关要求。函数的图象及性质、二次函数与方程之间的关系等基础知识的掌握，为深入理解函数的本质和进一步学习其他函数打下坚实的基础。

推理在数学中具有重要的地位，发展学生的推理能力是数学教学的重要任务之一。在“数与代数”领域存在大量培养推理能力的素材，《标准（2022年版）》提出了“了解代数推理[1]”的要求。代数推理以代数运算为基础，侧重数与式的运算、变形，具有一定的抽象性。初中阶段的代数推理是将代数式（或关系）变形为特定的目标结构（或关系），或者用代数方法证明有关结论（或说理）[2]，具有计算和推理的双重特征。从学生的掌握情况来看，学生对含有字母、特别是含多个字母的代数式、等式的恒等变形、等价变形还存在畏难情绪，消元、降次的思想方法、向特定目标结构变形的思维方向、运算能力还有些不足。本题对代数推理的有关要求，进行了尝试和探索。

三、教学建议

纵观近些年二次函数试题，多是代数与几何的综合问题，题目注重“数”与“形”的和谐统一，重视数形结合、分类讨论、化归与转化、函数和方程等思想方法的运用。题目具有基础性、探究性和挑战性，全面考查学生分析问题和解决问题的能力。

本题的考查方式通常有三种：一是数字系数下考查二次函数的图象及性质，如求抛物线的顶点坐标、对称轴、最值、与坐标轴的的交点；二是字母系数下考查字母系数与图象及性质的关系，更加关注二次函数的图象与性质的本质属性；三是与特殊的几何图形相融合，加强代数知识与几何知识的联系和综合，借助数式的特性和图形的特征，探究抛物线及图形更多更深层次的性质[3]。教师要关注二次函数多样性的考查角度，以实现“教―学―评”的一致性。试题坚持核心素养立意，凸显育人导向。在教学工作中，应注意以下几个方面。

（一）突出主干，注重本质

从现实世界实际问题出发，抽象出函数的概念，研究函数的图象及性质，探究函数与其他内容的联系，建立模型运用函数知识解决实际问题。学习二次函数，既要注重函数的图象和性质，又要注重研究函数的思路和一般方法。学生掌握的不应仅是枯燥的内容，更应让学生体会灵动的、闪光的思想和方法。二次函数的解析式、对称轴公式、顶点坐标公式从数量的角度揭示了二次函数的代数特征，抛物线的顶点、对称性、变化趋势直观表现了图象的几何特征，要让学生从数量和图形两个角度及其相互联系中深入理解二次函数的图象及性质，深刻体会二次函数联系、变化、对应的本质特征[4]。在学业水平考试评价中，一直坚持重点考查主干知识，考查学生的抽象能力、运算能力、推理能力、几何直观等，促进和发展学生的理性思维。

（二）建构体系，整合内容

二次函数、一元二次方程是“數与代数”领域的重要内容，它们彼此之间联系密切，相互渗透。要发挥函数的统领作用，用函数的观点居高临下看方程和不等式，借助它们之间的相互变形与转化来解决问题，要强化学生用数形结合思想分析问题的意识，为后续学习其他知识奠定基础。教师要引导学生对函数、方程、不等式的有关内容加强联系和对比，厘清知识间的区别和联系，以知识结构框图等方式，自主建构有逻辑的知识体系，透彻理解相关内容的整体性、关联性。

（三）感悟思想，发展素养

数形结合地学习研究函数部分的有关内容，其目的是能运用数形结合的思想解决数学问题，它直接指向几何直观素养的培育和发展。让学生经历观察、分类、具体化、归纳等过程，感悟从函数的数量关系及图象的几何特征来刻画函数性质的方法。中考压轴题多是函数与几何知识的综合题，更需将形的直观与数的精确完美融合才能解决问题，将数量关系用“形”直观表达，将图形特征用“数”精确刻画，使数形结合成为学生思考问题解决问题的重要方式和手段[5]。图形（包括函数的图象）自然地带有几何直观，数形结合、几何直观，往往能够在合情推理与逻辑推理间架起桥梁。从图形出发，直观形象地猜测结论，想象获得结论的途径，通过符合逻辑的计算和推理（包含代数推理），来证明结论的正确。

（四）内化经验，提升能力

夯实必备知识和提升关键能力，是提高教学效果的重要手段。要让学生经历观察、分析、比较、思考、归纳、推理等过程，反思解决问题的方法和过程，提炼和体会问题深处存在的规律，积累和丰富数学活动经验，通过经验的长期积累和内化，在问题解决的活动中提升解决问题的能力，逐步学会数学的观察、思考与表达方式，形成带有数学学科特征的价值观、思维品质与关键能力。

学生的学习行为、解决问题的方式方法是教师教学行为的直接反映。教师在教学中要关注数学问题的研究思路、研究脉络，学会分析，学会思考，教给学生在面临新的问题时解决问题的方法。数学教学要以知识为载体，渗透数学思想，使学生学会在数学思想的指导下解决问题，良好的数学思维习惯和品质才能根植于学生的内心深处，培育数学核心素养和数学的育人目标才能实现。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版集团，2022：57-62.

[2]钱德春.关于初中代数推理的理解与教学思考[J].中学数学教学参考，2020，（4）中旬：2-3.

[3] 陈莉红，刘洪居，曹经富.关注新变化 聚焦核心素养：2022年中考“函数”专题命题分析[J].中国数学教育（初中版），2023，（3）：36-49.

[4] 义务教育数学课程标准修订组.义务教育数学课程标准（2022年版）解读[M].北京：北京师范大学出版集团，2022：155-162．

[5] 孙锋，杨明.注重本质理解·强化应用意识·导向素养发展：2022年中考“函数”专题解题分析[J].中国数学教育（初中版），2023，（1/2）：32-41.

Coherence Examination on the Main Line of the Development of Quadratic Function Content：The Thinking Traits Reflected in Mathematics in the 2023 Tianjin High School Entrance Examination

Bai Shaoqiang

Tianjin Binhai New Area Teacher Development Center，Tianjin，300480

Abstract：Item 25 of the 2023 Tianjin High School Entrance Examination takes the content of quadratic functions as the carrier，integrating knowledge related to graphics and geometry，emphasizing the examination of basic knowledge of quadratic functions，deepening the understanding of the essence of functions and the application of their properties. It pays attention to the internal connection between functions and other knowledge，and pays attention to the structure and integrity of mathematical knowledge content. It focuses on mathematical ideas and methods，studying function problems through a combination of numbers and shapes，developing geometric intuition，and improving students' problem-solving abilities. We have actively attempted and explored the new changes and requirements advocated by the curriculum standards. At the same time，the design of the questions has established various problem-solving paths，providing conditions for cultivating students' innovative awareness and selecting and cultivating innovative talents. For the teaching of quadratic function theme content，we should highlight the main content，build a function knowledge system，comprehend the thinking methods of using function knowledge to solve problems，and continuously enrich students' experience，so as to enhance the ability to analyze and solve problems.

Key words：Combination of Numbers and Shapes，Method of Thinking，Reasoning Ability，Innovation Awareness

（责任编辑：陈畅）

作者简介  白绍强，中学高级教师，天津市滨海新区教师发展中心。天津，300480。