一个常用的几何模型拓展分析

王一 唐娟 孙启宸

【摘 要】  在教学过程中，对于主流的平面几何压轴题进行总结、提炼，得到了一个高频出现的模型，

并适度地进行了拓展.

【关键词】  直角三角形；几何模型；拓展

模型  如图1所示，在外侧作和，使得.若为中点，试判断与的位置和数量关系.

图1

思路一  要求两线段关系，首先想到的便是全等与相似.根据题目已知角度相等，可以推测出应运用全等三角形解题，我们的目标就变成了构造含有和的全等三角形.

解析一  辅助线如图2所示.

图2

取中点，连接，延长交于，

因为，为中点，为中点，为中点，所以，因为，为中点，为中点，为BC中点，所以，因为，，，所以∠，

因为为中点，为中点，为中点，

所以，

所以

所以，在和中，，

所以，所以，

所以，

因为，所以（两直线平行，同位角相等）

故，

因为，，则.

思路二  通过观察题目中的已知条件，可以看到有一个中点（即为中点）.根据这一信息，我们可以想到倍长中线.由此，我们倍长了至，造出了一组全等三角形（即和），将转化为了.之后通过观察图形，我们发现与很可能相等.所以我们的目标就转换为了证明等腰三角形.

要证等腰三角形，首先想到的是证其两底角相等，但题目中没有相应条件，所以只好另辟蹊径.又观察到题目中还有直角条件没有使用，结合我们要证等腰，就要寻找相等的线段，那在直角三角形中相等的线段便只能通过斜边中线来构造，于是我们取中点，中点，连接.通过对图形的观察，我们可以发现和形状相似，假设他们相似，那便可轻松推出与相似，从而得出为等腰三角形这一结论，那我们的猜想便可得到验证.所以我们的目标又进一步转化为了证明和相似.

解析二  辅助线如图3所示

取中点连接延长至使，连接.因为，为中点，为中点，

所以，.因为，，.所以.

所以.因为为中点，为中点.

所以，所以（等量代换）.                圖3

在和中，

所以，所以，所以.

因为，，所以.所以，

因为，，，

所以，因为.

所以，所以.

因为，，所以，

所以，

所以，，所以

所以，所以，.

拓展  如图4所示，在内侧作，，使. 若为中点，试判断与的位置和数量关系.

图4

解析一  辅助线如上图4所示.取中点，连接，与交于.

因为，为中点，为中点，为中点，

所以

因为，为中点，为中点，为中点，

所以.

因为，，，所以.

因为为中点，为中点，为中点，所以，

所以，所以，

在和中，

所以，所以，，

所以，因为，所以.因为，，所以.

解析二  辅助线如图5所示

图5

取中点，连接，延长至使，连接，

因为，为中点，为中点，

所以，（直角三角形斜边中线等于斜边一半）

因为，，，

所以（两组对应角相等的两个三角形相似）

所以（相似三角形对应边成比例）

因为为中点，为中点，

所以（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半）

所以（等量代换），

在和中，所以，

所以，（全等三角形对应边，对应角相等）

所以（等量代换）

因为，，所以（等腰三角形两底角相等）

所以（两直线平行，同位角相等）

因为，，

所以.

因为，，

所以（两组对应边分别成比例，夹角相等的两个三角形相似）

所以，（相似三角形对应角相等，对应边成比例）

所以，（比例式中内项交换，比例不变；等量减等量，差相等）

所以（两组对应边分别成比例，夹角相等的两个三角形相似）

所以（相似三角形对应角相等），

所以，.