液体动静压球轴承轴心运动轨迹研究

秦薇，沈景凤，朱锐，程攀，薛浩，薛伟强

(上海理工大学机械工程学院，上海 200093)

液体动静压球轴承适用于要求旋转精度及刚度高的产品中[1]，如高精密加工机床头架中的主轴轴系等。轴心运动轨迹可以综合反映轴承工作状态，当轴承受到外载荷作用会影响轨迹形态，而轨迹形状和轴心位置振动幅值的变化可以用来判断轴承是否为最佳稳定形态近似圆的椭圆形。轴承转子系统稳定性分析方法主要有微扰法和非线性轨迹法，其中微扰法在研究转子瞬态响应、冲击载荷响应问题时存在一定的局限性，非线性轨迹法能很好解决上述非线性问题[2]。转子系统受到的载荷包括自身重力、转子质量不平衡载荷以及主轴加工过程中的阶跃载荷。

关于液体动静压球轴承转子系统的轴心运动轨迹相关文献较少，而分析气体球轴承转子动力学相关文献较多，可为液体动静压球轴承的回转精度和工作平稳性的研究提供参考。WANG[3]采用微分变换法和有限差分法相结合的混合数值方法，研究了球形气体润滑轴承支承的柔性转子的非线性动力学行为，揭示了轴承系统的动态特性随着转子质量和轴承数量的增加而发生的变化。DU等[4]研究了螺旋槽对置半球气体轴承的非线性动力学行为，采用有限元法和有限差分法相结合的方法求解动态雷诺方程，获得并分析转子中心线轨迹。黄争[5]建立半球型动压气浮轴承润滑理论模型，对轴承的静、动态性能进行分析，用轨迹法对轴承进行稳定性和不平衡性响应计算。潘春阳[6]设计一种径向与半球气体轴承联合支撑的气浮轴承，进行动静态分析和仿真验证，采用微扰法推导雷诺方程计算轴承刚度阻尼，并建立起主轴-转子动力学模型。贾晨辉等[7]建立了球面螺旋槽气体动压轴承的润滑数学模型，用FLUENT仿真分析得到承载能力最大的结构参数和工作参数，研究动态性能和轴承瞬态非线性动力学行为。关于液体润滑轴承的轴心轨迹研究主要是关于柱形滑动轴承。马金奎等[8]研究了动压滑动轴承在瞬变载荷作用下的润滑情况，通过数值计算建立非线性轴心轨迹计算模型。MERUANE和PASCUAL[9]用CFD软件建立滑动轴承模型，研究了轴心轨迹的变化，用位移响应识别了轴承的非线性特性系数。胡灿等人[10]建立可控节流静压轴承动态轴心轨迹模型，研究可控节流器参数对液体静压轴承轴心轨迹回转精度和轴心波动幅值的影响。林禄生等[11]建立液体动静压轴承CFD模型，提出了基于CFD 与转子动力学之间的流固耦合方法来计算转子-轴承系统轴心轨迹。SINGH等[12]采用有限元方法对液体动压滑动轴承雷诺方程进行离散化处理，用微扰法计算轴承刚度阻尼，通过四阶龙格库塔法计算线性和非线性轴颈运动轨迹模型。

为研究改变外载荷参数下液体动静压球轴承的轴心轨迹形态变化，本文作者以液体动静压球轴承为研究对象，通过将球坐标系转换成直角坐标系计算动态雷诺方程和流量连续性方程，通过计算油膜压力分布得到油膜力，考虑外载荷、转子自身重力和非线性油膜力，建立转子运动轨迹模型，采用欧拉算法预测出轴心下一个时刻位移、速度和加速度，从而得出完整的轴心轨迹图，并分析转子自身重力、不平衡载荷和阶跃载荷对转子运动轨迹的影响，为液体动静压球轴承的回转精度和工作平稳性的研究提供理论依据。

1 液体动静压球轴承转子系统瞬态轴心轨迹计算数学模型

1.1 结构模型

液体动静压球轴承轴系结构如图1所示。液体动静压球轴承工作时，油泵将油箱中压力油输送至粗过滤装置处理后，再通过精过滤装置过滤掉空气和微小杂质。若油液压力过大则会通过溢流阀流回到油箱。过滤后的油液通过节流器流入油腔，形成一定油膜来支承转子工作，随后油液会随着转子的运动又流回油箱，最终形成了完整的液压回路。

图1 液体动静压球轴承轴系结构示意

1.2 液体动静压球轴承润滑数学模型

1.2.1 雷诺方程

以液体润滑理论和流体力学为基础，在不考虑轴向的轨迹影响下，基于简化的纳维斯托克斯方程和无滑移的边界条件，建立了球坐标系下液体动静压球轴承的动态量纲一化雷诺方程[13]：

(1)

由于轴承是球形，为了方便求解域划分网格，将球坐标转换成笛卡尔坐标，则球面求解域转换成平面求解域[14]。参数变换式为：a=-lntan(θ/2)。

笛卡尔坐标系下的量纲一化雷诺方程如下所示：

(2)

式中：Λ=6ωηR2/(psC2)。

用余弦定理计算得到油膜厚度公式为

h=C+xsinφ+ycosφ

(3)

式中：(x,y)为轴心位置。

量纲一化的油膜厚度公式为

H=1+Xsinφ+Ycosφ

(4)

式中：(X，Y)为量纲一化后的轴心位置，X=x/C；Y=y/C。

其中油膜厚度随时间的变化公式为

(5)

1.2.2 流量连续

文中主要针对四油腔液体动静压球轴承，4个油腔呈对称分布。流经小孔的流量计算公式如下：

(6)

式中：K0为流量系数；d为小孔直径(m)；pbi为油腔压力(MPa)；ρ为油液密度(kg/m3)。

油腔压力可以根据流量连续条件求出，即单位时间内润滑油流入油腔的流量与流出油腔的流量相等。根据图2所示油腔流量示意图，推导出流量公式为

(7)

图2 油腔流量示意

图3 量纲一油膜压力分布

在单位时间内润滑油通过截面的量纲一化平均体积流量公式为

(8)

(9)

式中：ω为松弛因子，一般在[0，2]范围内取值；k为迭代次数，k=0，1，2，…。

采用的收敛标准为

(10)

式中：δ为收敛精度。

δ取值为0.000 01，即当迭代精度小于0.000 01时，迭代求解停止。

1.2.3 液体动静压球轴承油膜合力计算

油膜合力可以反映油膜的承载能力。运用辛普森积分法对油膜压力的径向分力和周向分力进行计算，即可得到液体动静压球轴承的油膜力，公式如下：

(11)

1.3 牛顿动力学方程

轴承主轴转动时可能会受到外载荷的影响，其中包括转动部件的残余不平衡量引起的周期性不平衡载荷和轴承在转动中受到的冲击、碰撞等瞬变载荷。由于存在不平衡载荷，所以轴心位置不稳定，需要建立运动方程来求解轴心轨迹。

由受力分析可得到轴心的运动方程：

(12)

式中：qx、qy为作用于轴上的动载荷；m为主轴的质量(kg)。

方程两端同除以MCω2，则可以得到量纲一化运动方程：

(13)

当存在转动部件的残余不平衡量时，主轴会受到不平衡载荷作用。用eb来表示主轴质量偏心程度。

(14)

2 非线性轴心轨迹模型求解

求解轴心非线性轨迹时，需要同时求解润滑方程和运动方程，算法流程如图4所示。

图4 轴心轨迹模型计算流程

在启动过程中主轴由静压作用支撑，则认为轴心初始位置在轴承中心位置，初始位置对最后稳定的轴心平衡位置没有影响，因此设定轴心初始位移和速度参数为0。求解该轴心位置的动态雷诺方程，得出其油膜压力分布，从而得到非线性油膜力。将求解出的外载荷和承载力的值代入运动方程，求解得到轴心瞬时加速度。确定计算周期和时间步长，根据欧拉算法迭代，计算出下一刻轴心的位置、速度和加速度参数。公式如下：

(15)

3 结果与分析

3.1 非线性轴心轨迹计算实例

计算轴心轨迹参数如表1所示，轴承转速n=3 000 r/min，转子质量m=40 kg，参数α=3.971 8。只考虑轴承重力，不考虑不平衡载荷对轨迹的影响，计算时间τ=20π。

图5 轴心非线性轨迹和量纲一轴心位移、速度、加速度、油膜力曲线

3.2 不同转子质量下轴心轨迹变化情况

转子质量的大小取决于轴承的应用场合，对于车床来说，由于被加工工件的变化，转子的质量也是变化的。在表1中轴承主要参数不变的条件下，选取质量为40、45、50和60 kg的转子对比轴心轨迹的变化，如图6所示。

图6 不同质量转子的轴心轨迹

根据图6中轨迹数据整理出转子质量为40、45、50和60 kg的振动幅值和平衡时油膜力数据，如表2所示。

表2 不同转子质量的振动幅值对比

当转子质量在增加时，X方向振动幅度变化较小而Y方向振动幅度变化较大，轨迹形状逐渐偏椭圆形并且椭圆度在增加；转子质量越大，平衡时所需的油膜力也越大，回转精度越低。

3.3 不平衡载荷下轴心轨迹

在加工机床中，由于轴承转子系统质量不均匀和转子部件产生的磨损会导致系统受到不平衡载荷，会出现振动现象。在表1中轴承主要参数不变的条件下，分析不平衡量εb=0、εb=0.05、εb=0.1和εb=0.25对转子轴心运动轨迹的影响，结果如图7所示。

图7 轴心轨迹和位移随不平衡量εb变化

根据图7数据整理出表3所示不平衡量εb=0、εb=0.05、εb=0.1和εb=0.25时的轴心平衡位置和振动幅值数据。

表3 不同不平衡量εb时的平衡参数对比

此时主轴除了受到重力和非线性油膜力还受到不平衡载荷的影响。其中不平衡量εb越小，振动幅值越小，回转精度越高；随着不平衡量εb的增加轴心平衡位置变化较小，振动幅值变化较大。

3.4 阶跃载荷下轴心轨迹的瞬态特性

阶跃载荷为瞬时突加长时间恒定的外载荷。例如，当刀具起动未接触被加工件表面，轴承不受外力(不包括自重)；当刀具接触被加工件表面加工时，轴承受到一个突加的长时间作用的切削力。轴承转速为n=3 000 r/min，如图8所示为阶跃载荷作用于轴承，加载方式见式(16)。

图8 阶跃载荷作用

(16)

图9 阶跃载荷作用下的轴心轨迹和量纲一轴心位移、速度、油膜力曲线(β=0.5)

图10所示为不同阶跃载荷作用下的轴心轨迹和位移曲线。从图10(a)(b)可看出，在τ≥20π时，β=0.1，轴承稳定后轴心平衡位置在X=0.622 1、Y=0.047 97。从图10(c)(d)可看出，在τ≥20π时，β=0.3，轴承稳定后轴心平衡位置在X=0.694 8、Y=0.049 34。对比图9(b)和图10(b)(d)可发现，阶跃载荷越大，轴心平衡位置越大，平衡收敛时间越长。

图10 不同阶跃载荷作用下的轴心轨迹和位移曲线

4 对比验证

熊友平[15]在基于小孔节流的液体静压轴承轴心非线性轨迹计算模型基础上，分别求取在不同的不平衡量下的液体静压轴承轴心轨迹。当不平衡量εb=0时，液体静压轴承轴心在不断振动后最终稳定于点X=0.088 1、Y=0.203 9(文中与该文献坐标方向不同)。当不平衡载荷不断增大时，轴心轨迹的半径也不断增大，轴心轨迹中心不断往轴承中心靠近，旋转精度降低。与文中算例相比较，两者的数据趋势接近，在图7和图11中得以证明。

图11 轴心非线性轨迹随不平衡量εb的变化

5 结论

以小孔节流的液体动静压球轴承转子系统为研究对象，建立液体动静压球轴承转子系统动力学模型，分析不平衡载荷、质量和阶跃载荷对转子回转精度的影响。主要结论如下：

(1)随着转子质量的增加，所需平衡的油膜力增加，轴心振动幅度增加，从而导致转子回转精度降低。

(2)不平衡量εb数值越小，振动幅值越小，回转精度越高，因此减小不平衡值将减小振幅并提高旋转精度。

(3)当轴承增加阶跃载荷作用时，由于外载荷增加，产生较大油膜压力，X方向和Y方向上的轴心位置均发生变化；阶跃载荷越大，达到平衡时间越长。