小学数学模型意识培养的有效途径

陈清泉

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《新课标》）将数学建模分为小学阶段的模型意识和初中阶段的模型观念，相比2011年版课标的模型思想更加具体，更符合学生的年龄特征和更突显层次性。在核心素养中将模型意识归入数学语言的主要表现范畴之中，彰显数学模型的抽象性、简洁性、概括性与系统性，针对小学阶段，如何培养学生模型意识，总结如下几点。

一、了解模型意识——培养模型意识之根本

一直以来，模型思想被当作数学学习的重要思想方法之一，数学学习在很多时候都成了数学建模的过程。在建模过程中，什么是模型意识，成为摆在教师面前的一个问题，针对模型意识，《新课标》的解释是“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟”。从其内涵看，模型意识主要包括三个特征：一是采用形式化的数学语言；二是用来表述一种数学结构或解决一类数学问题；三是知道数学模型的作用并有意识地加以运用。其外延主要是对数学中各种概念、公式、理论和数学关系的理解与领悟。教学中使学生知道数学各种概念、公式、法则、定理等的基本作用，能够认识现实生活中大量的事物或问题都可以抽象结构或系统建构，并有意识地用数学模型予以解释，则是模型意识的体现，教师只有懂得模型意识的范畴，才能有意识加以引导与培养。

二、精选数学问题——培养模型意识之基础

1.创设问题情境，孕育模型意识之温床

数学教学离不开问题情境的创设，问题与情境是相辅相成的，问题以情境为土壤，情境以问题为灵魂。在教学中，教师所创设的情境应是数学情境，提出的问题应建立在数学情境的基础之上，使问题——情境——数学三者融为一体。我们评价一个问题情境，重要的是看其所创设的问题是否指向数学的实质，是否引发学生数学思维的发展和推进数学模型建构的实施与发展。在实际教学中，我们常看到一些教师创设的问题情境不仅丰富多彩、活泼有趣，还凸显了问题的本质，为数学模型的建构提供了孕育的温床。如，四年级“用数对确定位置”，这个内容学习之前学生已经学习了用直线上的点描述数的顺序和大小关系以及用方位来描述方向，具有了平面上确定位置的学习经验。在本课教学中，教师以某军事小组执行扫雷任务创设情境，扫雷小组来到一条小路（用一条线段表示），先后在它的终点、中点、路上任意点和路外任意点发现地雷，让学生描述出这些地雷的位置。学生在情境中清楚地认识到精准描述地雷的位置的重要性，为后面行、列的确定，以及用数对确定位置打下良好的基础。

2.精选数学问题，开启模型意识之航程

《新课标》在第二学段和第三学段目标中分别指出：“尝试从日常生活中发现和提出数学问题，探索分析和解决问题的方法，经历独立思考并与他人合作交流解决问题的过程，形成初步的模型意识”“尝试在真实的情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观、逻辑推理和其他学科的知识、方法分析与解决问题，形成模型意识”。从中我们发现模型意识的培养虽是渐进式的，但都离不开数学问题这一有效载体，凭借情境问题，学生在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，分析和解决数学问题，在问题解决和数学探究中逐步形成模型意识。那么应该如何精选数学问题？我认为一个好的数学问题，它应该既能够启发学生的思维，又能够指向思维更深层次的发展，它应该成为统领整节数学课教学活动的灵魂，为整节课的教学发挥导向作用。如，在教学“确定位置”一课时，教师在学生描述出小路终点和中点两颗雷之后，针对小路中任意点的第三颗地雷和小路外部的第四颗地雷，提出：“用什么办法确定第三（四）颗地雷的位置？请在学习单上画一画，并试着描述第三（四）颗地雷的位置。”以这一问题为导向，学生借助量一量、画一画，在操作活动中逐步认识到要确定地雷的位置，必须以小路的一端为坐标，懂得地雷纵向、横向距坐标轴的距离并用数量表示，为确定行、列以及用数对确定位置打下了基础。因此，从问题情境中精选数学问题，并以具体的问题为导向，让学生经历建模过程是培养模型意识的基础。

三、经历抽象本质——培养模型意识之关键

新课程要求数学教学必须发挥学生的主体作用。同样，数学建模过程也应是以学生为主体，在学生自主理解、合作探究、总结推广基础上的一种建构过程，教师要组织学生充分感知大量的感性材料，让学生经历观察、猜想、举例、验证、归纳等推理过程，引导学生从感性材料中总结出数学问题，发现这些问题的共性，从而概括出其本质属性，进而建构成具有高度概括性的数学模型。这种从具体到一般，从感性到理性的抽象过程，有助于学生模型意识的培养。如，教学“三角形的内角和”一课时，教师从学生熟悉的三角尺导入，让学生说说三角尺的特点。学生从三角尺的边、角入手，回顾了一副三角尺中三个角的度数，并得出三个角的度数之和是：45°+45°+90°=180°、30°+60°+90°=180°。是不是所有三角形的内角和都等于180°？学生有了猜想后，于是开展小组合作。在小组合作中学生经历画（做）三角形并测量出三角形的内角和、折一折使三角形的三个角成一平角和将三角形的三个角拼成一个平角等过程，验证得出任意三角形的内角和都等于180°。

在這一过程中，学生经历了从一副三角尺到所画（做）的任意三角形，得出“三角形的内角和都是180°”这一从特殊到一般的抽象过程，有效地培养了学生在推理与建构中数学模型意识的培养。

四、依托数学思想——培养模型意识之灵魂

数学模型的核心是数学思想方法，数学建模的过程必须有相应的数学思想方法支撑。《新课标》将数学基本思想列为“四基”之一，指出教学活动必须“促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验”。在小学数学中，常见的数学思想有：概括思想、归纳思想、转化思想、抽象思想、分类思想、类比思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、符号化思想与模型思想等，这些思想既是数学思想中最基本的部分，也是最核心的部分，需要教师在小学数学课堂教学中结合知识和技能的学习，结合建模过程加以渗透。审视数学建模过程，概念的建构、公式的推导、规律的揭示、结论的总结等，无不蕴藏着数学思想的发生与运用过程，教师若能在建模过程中向学生渗透数学思想及方法，使学习成为一个明思想、重过程、促发展的数学学习过程，能更好地增加建模的思维厚度，催化建模的理性提升。如，教学“平行四边形的面积”一课时，学生已经学过了长方形的面积，并有了一定的测量基础，教学时教师安排如下几个活动。活动一：出示一个画在方格纸上的平行四边形，数一数这个平行四边形的面积是多少？反馈时，学生有的直接用数格子的方法，有的沿高线切开通过平移变成一个长方形，再计算长方形的面积。这一过程中，学生直观地体会到平行四边形的形状发生了变化，但面积始终不变，初步体会到了运用转化的方法可以使平行四边形的面积计算变得简单。活动二：动手操作，将平行四边形纸片通过剪一剪、拼一拼等方法，把平行四边形转化成已学过的图形，之后小组交流得到的长方形与原平行四边形之间的关系，最后得出平行四边形的面积计算公式“平行四边形的面积=底×高”。在这一过程中，教师依托转化的数学思想，建构了平行四边形的面积计算公式，并使学生体会到面积公式这一模型的简洁性与普适性，培养了学生的模型意识。

五、借助问题解决——培养模型意识之沃土

《新课标》在模型意识的内涵中指出：“能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。”可见，在数学建模过程中，学生经历观察、猜想、举例、验证、归纳等活动从具体问题抽象出数学模型后，整个建模过程看似结束，实则远未停止。此时，教师还应引导学生将数学模型放至现实生活中去，用数学模型去解释生活中的现象，在实践中既丰富了学生对数学模型的表象，深化了模型的内涵，又检验了模型特征，拓展了模型的外延。如：在“平行四边形的面积”这一课，学生结合转化的思想方法，建构出平行四边形的面积公式后，教师安排了“综合应用，巩固拓展”的环节：（1）（出示一组平行四边形）先说说平行四边形的底和高，再计算它们的面积；（2）（根据一个平行四边形相邻的两条边和一条高的长度，产生的不同的面积计算方法）判断哪种方法正确，为什么？（3）一块平行四边形菜地，底是12米，高是底的一半，求这块菜地的面积。要解决这些问题，必须依靠平行四边形的面积公式，学生在解决这些问题的过程中，头脑不断闪现平行四边形的底和高与面积的关系，再现了平行四边形面积公式的建构过程，也体会到了面积公式的适用性，再次发展了学生的模型意识，让模型意识在问题解决过程中不断生根发芽。

结语：模型意识是数学核心素养的表现之一，是模型观念培养的基础。在数学教学中，教师应使用多种方法、途径培养模型意识，让核心素养真正落地。