例谈与几何图形有关的计数问题

李迎春

［摘 要］与几何图形有关的计数问题，一般以几何图形为载体，考查两个计数原理、排列与组合知识的应用，题目新颖独特，体现了在知识交汇处命题的特点。文章结合几个典型例题，归纳总结这一类问题的求解策略，以帮助学生突破难点，提高学生解决问题的综合能力，发展学生的数学核心素养。

［关键词］几何图形；计数问题；排列；组合

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）02-0028-03

在各类数学考试中，与几何图形有关的计数问题频频出现。这类问题一般以几何图形为载体，考查两个计数原理、排列与组合知识的应用，题目新颖独特，体现了在知识交汇处命题的特点。这类问题该如何破解？本文结合具体例题进行分类解析。

一、“位置关系”问题

“位置关系”问题是指结合几何图形的某种特征，利用两个计数原理、排列与组合知识加以计数的一类计算问题，通常是计算图形中含有多少对异面直线、含有多少个三角形、含有多少个平面等。

［例1］（1）若把两条异面直线叫作“一双”，则在一个正方体的十二条棱中可以构成异面直线（ ）。

A. [12]双 B. [24]双 C. [36]双 D. [48]双

（2）从正方体[ABCD-ABCD]的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为___________。

（3）在如图1所示的四棱锥中，顶点为[P]，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点[P]在同一平面内，则不同的取法种数为___________。

解析：（1）画出正方体，如图2所示，与[AB]异面的直线有[B1C1]，[CC1]，[A1D1]，[DD1]，因为各棱具有相同的位置且正方体共有[12]条棱，排除重复计算的棱，则共有异面直线[12×42=24]（双）， 故选B。

（2）从8个顶点中任取4个有[C48]种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有[C48-12=58]个不同的四面体。

（3）求不同的取法种数可分为三类。第一类，从四棱锥的每个侧面上除点[P]外的5个点中任取3个点，有4[C35]种取法；第二类，从每个对角面上除点[P]外的4个点中任取3个点，有2[C34]种取法；第三类，在过点[P]的侧棱中，每一条棱上的3个点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面，有4[C12]种取法。因此，满足题意的不同取法共有[4C35+2C34+4C12=56]种。

点评：解答这种几何背景下的排列组合应用问题的思路与一般的排列组合应用题一样，把图形中隐含的条件转化为点、线、面位置关系有限制条件的排列组合应用问题。计算时可用直接法，有时也可用间接法。当限制条件较多时，要合理分类计算，分别计算符合题意的排列组合数。

变式：已知正方形[ABCD]的中心为点[O]，以[A]、[B]、[C]、[D]、[O]中三个点为顶点的三角形共有          个。

解析：根据题意，如图3所示，在[A]、[B]、[C]、[D]、[O]中任取3个点，有[C35=10]种取法，其中不能构成三角形的有[AOC]和[BOD]两种取法，则以[A]、[B]、[C]、[D]、[O]中三个点为顶点的三角形共有[10-2=8]个。

二、涂色问题

涂色问题主要包括对几何图形中的平面区域或线段或点进行涂色。题目常给出涂色要求，要求求出满足题意的涂色方案的总数。

［例2］（1）现有红、黄、青、蓝四种颜色，对如图4所示的五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则最多使用三种颜色的不同涂色方案有___________种。

（2）五行是华夏民族创造的哲学思想。多用于哲学、中医学和占卜方面。五行学说是华夏文明重要组成部分。古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系。五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化。图5是五行图，现有[4]种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色；水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法的种数是（ ）。

A. [30]           B. [120]       C. [150]         D. [240]

解析：（1）若使用三种颜色，从4种颜色中选3种，有[C34=4]种方法，从3种颜色中选一种涂在[A]处，有3种方法，剩下的[B]、[C]、[D]、[E]、[F]，每塊区域都有两种涂色方案，共计[25]种方案，再减去只是用两种颜色的情况，则由分步计数原理可知，不同的涂色方案数为[4×3×（32-2）=360]种涂法。若只使用两种颜色，则有[C24C12=12]种涂法，所以符合要求的涂法种数有[360+12=372]种。

（2）不妨设四种颜色分别为[A]、[B]、[C]、[D]。先填涂区域“火”，有[4]种选择，设区域“火”填涂的颜色为[A]。接下来，填涂区域“土”，有[3]种选择，分别为[B]、[C]、[D]。若区域“土”填涂的颜色为[B]，则区域“金”填涂的颜色分别为[A]、[C]、[D]；若区域“土”填涂的颜色为[C]，则区域“金”填涂的颜色分别为[A]、[B]、[D]；若区域“土”填涂的颜色为[D]，则区域“金”填涂的颜色分别为[A]、[B]、[C]。综上所述，区域“金”填涂[A]、[B]、[C]、[D]的方案种数分别为[3]，[2]，[2]，[2]。接下来，考虑区域“水”的填涂方案。区域“水”填涂[A]的方案种数为[2×3=6]，填涂[B]的方案种数为[3+2×2=7]，填涂[C]的方案种数为[3+2×2=7]，填涂[D]的方案种数为[3+2×2=7]。接下来，考虑填涂区域“木”的方案。当区域“水”填涂的颜色为[A]时，区域“木”填涂的颜色可为[B]、[C]、[D]；当区域“水”填涂的颜色为[B]时，区域“木”填涂的颜色可为[C]、[D]；当区域“水”填涂的颜色为[C]时，区域“木”填涂的颜色可为[B]、[D]；当区域“水”填涂的颜色为[D]时，区域“木”填涂的颜色可为[B]、[C]。因此，当区域“火”填涂颜色为[A]时，填涂方案种数为[6×3+7×2×3=60]。因此，不同的涂色方法的种数是[4×60=240]。故选D。

点评：对于几何图形中的点和线段的涂色问题一般可转化为平面区域的涂色问题进行处理。对于简单问题，可直接应用两个计数原理计数。当平面区域较多时，通常有两种解题思路：一是恰当分类，选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，再用分类加法计数原理和分步乘法计数原理加以计数；二是根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理，再用分类加法计数原理加以计数。

变式： 如图7所示，平面上有5个区域，现在给它们涂色，要求如下：若区域相邻，则不能用同一种颜色来涂。假如现在可供选择的颜色有四种，那么共有多少种不同的涂法？

解法1：第一步涂①，有4种方法；第二步涂②，有3种方法；第三步涂③，有2种方法；第四步涂④時分两类：第一类用余下的颜色，有1种方法；第二类与区域②同色，有1种方法；第五步涂⑤，有2种方法，所以共有[4×3×2×（1×1+1×2）=72]种。

解法2：（1）取4种颜色：将②④或③⑤视为一个位置，共计四个位置时，涂色方法有[2A44=48]种；（2）取3种颜色：将②④和③⑤看成两个元素，涂色方法有[A34=24]种，所以共有涂色方法[48+24=72]种。

三、行走路径问题

这类问题一般给出几何图形，要统计从图中某一点出发到达某一点的路径的总数，或统计最短线路。

［例3］（1）如图8所示，小华从图中[A]处出发，先到达[B]处，再前往[C]处，则小华从[A]处到[C]处可以选择的最短路径有（ ）。

A. 25条 B. 48条 C. 150条 D. 512条

（2）（多选题）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个[2×2]的正方体道路网（如图9所示，图中线段均为可行走的通道），甲在[A]点、乙在[B]点，他们随机选择一条最短的路径，同时同速出发，直到他们分别到达[B]、[A]两点为止，下列四种说法中正确的是（ ）。

A.甲从点[A]出发，过[C1]且到达[B]点的走法一共有9种

B.甲从点[A]出发，到达点[B]的走法一共有[180]种

C.甲、乙于点[C2]相遇的概率是[425]

D.甲、乙相遇的概率是[1150]

解析：（1）利用组合、分步乘法计数原理可得答案。 从点[A]到点[B]的最短路径有[C46=15]条，从点[B]到点[C]的最短路径有[C25=10]条，则小华从点[A]到点[C]可以选择的最短路径有[15×10=150]条。

（2）对于A项，从点[A]处到点[C1]，需要向上走2步，向前走1步，从点[C1]到点[B]，需要向右走2步，向前走1步，所以甲从[A]必须经过[C1]到达[B]的走法为[C23C23=9]种，A正确。

对于B项，从点[A]到点[B]，一共要走6步，其中向上走2步，向前走2步，向右走2步，所以甲从[A]到[B]的走法为[C26C24C22=90]种，B错误。

对于C项，甲从点[A]运动到点[C2]，需要向上、向前、向右各走1步，再从点[C2]运动到点[B]，也需要向上、向前、向右各走1步，所以甲从点[A]运动到点[B]，且经过点[C2]，不同的走法为[A33A33=36]种；乙从点[B]运动到点[A]，且经过点[C2]，不同的走法也为36种，所以甲、乙两人在点[C2]相遇的概率为[36×3690×90=425]，C正确。

对于D项，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点[C1]、[C2]、[C3]、[E]、[F]、[G]、[H]处相遇，甲从点[A]运动到点[C1]，需要向上走2步，向前走1步，再从点[C1]运动到点[B]，需要向前走1步，向右走2步，所以甲从点[A]运动到点[B]且经过点[C1]的走法为[（C23）4]种，所以甲、乙两人在点[C1]相遇的走法为[（C23）4]种。同理，甲、乙两人在点[C3]、[E]、[F]、[G]、[H]相遇的走法都[（C23）2]种。因此，甲、乙两人相遇的概率为[6×（C23）4+36290×90=1150]，D正确。故本题答案为ACD。

点评：解答这类问题的关键在于利用组合数去计算对应的走法种数，如本例第（2）问将从[A]到[B]的路线转变为6步，其中每一条路线向上的步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从6步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的走法种数。

变式：如图10所示，在某个乡镇中，[M]、[N]两地之间构建了整齐划一的方格形道路之网，其中[A1]、[A2]、[A3]、[A4]分别为位于同一条对角线上的[4]个交汇处。现在道路网[M]、[N]两处有甲、乙两人，他们分别要到[N]、[M]两个地方，他们分别随机选择一条沿街的捷径，即最短路径，同时同速出发，直到到达[N]、[M]两处为止。那么下列四种说法中正确的是（ ）。

A.甲从[M]处到达[N]处共有[120]种走法

B.甲从[M]处出发，且过[A2]处后到达[N]处的走法有[64]种

C.甲、乙在[A2]处相遇的概率是[81400]

D.甲、乙两人相遇的概率为[12]

解析：甲从[M]到达[N]处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从[M]处到达[N]处的方法有[C36=20]种，A选项错误。

甲经过[A2]到达[N]处，可分为两步：第一步，甲从[M]经过[A2]需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，走法为[C13]种；第二步，甲从[A2]到[N]处需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，走法为[C13]种，所以甲经过[A2]到达[N]处的走法为[C13·C13=9]种，B选项错误。

甲经过[A2]的走法为[C13·C13=9]种，乙经过[A2]的走法也为[C13·C13=9]种，所以甲、乙两人在[A2]处相遇的走法为[C13·C13·C13·C13=81]种，甲、乙两人在[A2]处相遇的概率为[81C36C36=81400]，C选项正确。

甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在[A1]、[A2]、[A3]、[A4]处相遇，若甲、乙两人在[A1]处相遇，甲经过[A1]处，则甲的前三步必须向上走，乙经过[A1]处，则乙的前三步必须向左走，两人在[A1]处相遇的走法为1种；若甲、乙两人在[A2]处相遇，由C选项可知，走法为81种；若甲、乙两人在[A3]处相遇，甲到[A3]处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到[A3]处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以两人在[A3]处相遇的走法为[C23C13C23C13=81]种；若甲、乙两人在[A4]处相遇，甲经过[A4]处，则甲的前三步必须向右走，乙经过[A4]处，则乙的前三步必须向下走，两人在[A4]处相遇的走法为1种，故甲、乙两人相遇的概率[1+81+81+1400=41100]，D选项错误。故本题选C。

从以上三类问题的分析中不难发现，要破解这类问题，我们需要熟练运用计数问题的解题策略，即审清题意，分清排列组合；合理优化分类，用好两个原理；思考严谨周密，谨防重复遗漏；直接间接兼顾，基本思路可循；力求一题多解，检验去伪存真。

（责任编辑 黄桂坚）