寻思路 凝通法 提素养

余鹏 贺建铭

摘要：初中数学的学习应该重视数学结果的形成过程，为此教师需要改变“满堂灌”的观念.课堂教学的目的不是教會学生这道题怎么解，而是让学生经历探索解答的过程，归纳多种解法的共性，掌握解决这一类问题的解题思路，提炼解题的通法，最终达到提升学生素养的目的.

关键词：解题思路；通法；素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：重视数学结果的形成过程，处理好过程与结果的关系.因此，在课堂教学中，教师应该“放下”自身的主体地位，扮演好组织者、引导者的角色，让学生通过不断的思考，尝试独立解决问题.只有学生真正经历过思考探究的过程，才能更加深刻地体会到数学学习带来的成就感，才能更有效地助推素养的提升.下文中，笔者以一道几何题为例，具体阐述在解题教学中如何教学生寻思路、凝通法、提素养.

1 题目呈现

题目 如图1，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=.

2 寻思路

本题以矩形为背景，作矩形一个直角的角平分线，其实已经暗含了45°角，学生很容易得到△ABE是一个等腰直角三角形.同时题目指出EF是∠BED的角平分线，学生又可以得到∠EFD=22.5°.再观察条件，给出了AB=9，DF=2FC，又能进一步得到AE=AB=9，DF=6，CF=3.基于以上信息求BC的长度.

2.1 见角平分线，构建等腰三角形

题目的解答，要给学生独立思考和自主解答的机会，同时让学生尝试讲解，在这个过程中潜移默化培养数学素养.这道几何题的教学中，教师可以引导学生对题目进行分析，求BC的长度其实就是求DE的长度.由BE平分∠ABC，可以得到△ABE是等腰三角形，类比迁移，EF平分∠BED，能不能也得到一个等腰三角形？引发学生思考，图形中隐藏的等腰三角形在哪里，怎么去构造.学生会顺其自然地联想到“角平分线+平行线”模型，进一步思考并尝试解决这个问题.通过寻思路，可以得出以下两种构建等腰三角形的解法.

解法1：如图2，延长EF交BC的延长线于点G.由题可得△BEG是等腰三角形，即BE=BG且DF=6，CF=3.又因为△DEF∽△CGF，DE∶CG=2，于是设CG=x，所以DE=2x.又因为△ABE是等腰

解法2：如图3，过点F作FG∥BC分别交AB，BE于点G，H.可以得到△BGH是直角边为3的等腰直角三角形，△HEF是等

2.2 见角平分线，作垂直

继续引导学生思考，EF是∠BED的角平分线，角平分线除了构建等腰三角形外，还有什么用途.学生立刻想到教材中角平分线的性质定理.通过角平分线的性质定理，顺其自然就能联想到作垂直[1].如图4，

过点F作PF⊥BE于点P，交DA于点Q，

但是只能得到△PEF≌△DEF，∠DFQ=45°，依然无法求出BC的长.启发学生∠DFQ=45°很重要，要充分利用这个条件，所以要围绕该角构建等腰直角三角形DFQ.再次让学生思考和解决问题.

解法3：（角平分线作垂直法）如图4，过点F作FP⊥BE，分别交BE，AD于点P，Q.易得△PEF≌△DEF，所以∠DFQ=45°，即△DFQ和△PEQ都是等腰直角三角形.因此PQ=PE=ED=QF-PF=62-6，则BC=AE+ED=6+3.

2.3 寻特殊角，构建特殊的直角三角形

初中几何问题，还有一种非常重要的解题思想，即围绕特殊角构造直角三角形.比如，图形中有30°或45°角时，可以构造含30°或者45°的直角三角形.这道题中有22.5°，不是一个很特殊的角，但是它与45°存在倍数关系.那么，能不能构造倍角来解答这道题？

其实22.5°也可以看成一个比较特殊的角，如果能够求出tan 22.5°的值.这道题就变得更简单了.如何求tan 22.5°的值？基础好的学生很快就会给出如下过程.如图6，△MNP是等腰直角三角形，在NP的延长线上取一点Q，使得PQ=MP，则tan ∠MQN即为所求.

3 凝通法

选取题目的目的本身就是促进学生对知识的强化和灵活运用，一题多解显然能够有效达到这个目的.以上五种解法复习了矩形的性质、角平分线性质定理、等腰直角三角形性质与判定定理、等腰三角形性质与判定定理、三角函数，以及相似三角形的性质和判定定理等.题目解法讲完后的总结更为重要，比如，可以让学生将这五种解法分类，然后找出每一类解法的共性.通过分类，可以发现这道题本质是两种思维：①“角平分线+平行线”构造等腰三角形法（解法1和解法2）；②本题中有已知的角度22.5°，所以构造特殊的直角三角形法（解法3～5）.这就是多解归一，它是对教材知识的升华，让学生真正明白这些解法在解题思路上是有共性的，而这种共性恰好就是以后解决此类问题的关键.

4 解题反思

作为一线教师，要与时俱进.在教学中，我们的目标要从教学生“学会”，转变为学生“会学”.要想达到这样的教学目的，课堂教学方式就需要转变.

第一，在教学中渗透类比迁移思想.比如，在解法5中，当学生求出tan 22.5°的值时，让学生类比刚才的解法，尝试着求tan 15°的值，其目的就是渗透类比迁移的思想，发展学生的核心素养.

第二，一节好课，教学思路需要精心设计，教学中的题目也要用心挑选.当一道数学题涉及到的知识不够全面时，可以通过一题多变来完善和强化所学的知识体系.同时，在课堂中渗透解题的通法，让学生能够从“会一题”到“会一类”.比如，在解法2中，再次进行变式，追问线段HF，DE，FD三者之间有何数量关系，渗透证明一条线段等于两条线段和的常用方法.通过这种不断的变式，一节课的知识体系会变得越来越完善.

第三，教学时，让学生在解决问题的过程中深度体会模型思想[2]，有利于发展学生的核心素养.数学核心素养的一个重要内涵就是会用数学的思维思考现实世界，那么教学中培养学生的模型观念就很重要.上文的解题教学中就渗透了一些解题模型，比如“角平分线＋平行线”模型、截长法模型、出现角平分线作垂直模型、倍角模型等.

第四，教学活动要凸显学生的主体地位，让学生在“知行合一”中促进素养落地.教师作为课堂的组织者、引导者，要引导学生在正确理解的基础上，自己动手实践去解决问题，让他们在这个过程中体验思维的来路、分析的思路、解答的出路，激发他们对数学的求知欲和兴趣，增强学习信心，体现数学的育人价值.

参考文献：

[1]赵霞.例析“角平分线”在思路探究中的作用[J].中学数学，2022（16）：61-62.

[2]蒲厚金.二次函数框架中平行四边形的存在性问题[J].中学数学教学参考，2021（8）：47-51.