高中数学解题教学中学生高阶思维能力的培养

于素娟

【摘要】本文以“恒成立求参数问题”解题为例，探究高中数学解题过程中思维能力的培养路径.高中数学教师需要深挖题目中的思维训练点，通过有针对性的解题训练促进学生的高阶思维发展.

【关键词】高中数学；高阶思维；恒成立求参数

布鲁纳的研究将学习分为六个水平，其中前三种为低阶思维，后三种为高阶思维.数学作为一門研究数量关系和空间形式的科学，在新课程下的数学教学中，培养学生的数学思维品质已成为关键.高中数学教师应以高阶思维能力为基础，以解题教学为载体，促进学生在有针对性的解题训练中发展高阶思维.

1  精心选择题目，奠定高阶思维发展基础

在高中数学解题教学中，为了促进高阶思维的发展，教师必须要精心选择题目，力求选择具备代表性的题目，确保学生能够在题目解答过程中提升高阶思维的发展.

根据这一原则，在基于“恒成立求参数问题”培养学生高阶思维时，笔者为学生精心设计了一道题目：

已知x≥1时，xlnxx+1≤m（x－1）恒成立，求实数m的取值范围.

2  开放式解题，促进高阶思维发展

以往，高中数学教师在解题教学中，基本上都是按照传统的解题教学思路进行，这种解题教学模式严重束缚了学生思维发展.鉴于此，为了培养学生的数学高阶思维能力，教师需要打破传统的解题教学模式，为学生构建一个更加开放性的解题课堂，使得学生在主动思考、交流探究中，提升思维的广阔性和灵活性，促进高阶思维的发展［2］.

在本题的解题教学中，教师首先引领学生进行思考，形成第一种常见的解题策略：

当x＞1时，题目中左边恒大于零，所以m>0.

设f（x）=xlnxx+1－m（x－1），

则f（x）≤0对x≥1恒成立，

且f′（x）=x+lnx+1（x+1）2－m.

令g（x）=x+lnx+1（x+1）2，

则有g（1）=12，

又因为g′（x）=－x2－2xlnx+1x（x+1）3<0，

因此g（x）为递减函数，所以g（x）∈0，12.

当m≥12时，f′（x）≤0，则f（x）递减，

又f（1）=0，所以f（x）≤0，因此m≥12；

当0＜m＜12时，基于零点存在性定理，存在唯一x0∈（1，+∞），使得f′（x0）=0；

根据g（x）为递减函数，

及f′（x）=x+lnx+1（x+1）2－m=g（x）－m知，

f′（x）为严格减函数，故当x∈（1，x0）时，f′（x）>0，所以f（x）在（1，x0）上严格增，从而f（x）>f（1）=0，与f（x）≤0不符，因此0＜m＜12不合题意，舍去.

综上得知m≥12.

在完成上述解题之后，教师带领学生对这一解题思路展开分析，明确其优缺点.在此基础上，教师引导学生持续思考，寻找新的解题路径.学生经过自主思考和交流，提出了运用构造函数的方法，将原题目转化成为求函数最值问题进行解答：

xlnxx+1≤m（x－1）xlnx≤m（x2－1），

令h（x）=xlnx－m（x2－1），则h（x）≤0对x≥1恒成立，

且h′（x）=lnx+1－2mx

=xlnx+1x－2m，

设g（x）=lnx+1x，g′（x）=－lnxx2≤0，因此，g（x）在1，+∞上严格减，所以g（x）∈0，1.

当2m≥1时，h′（x）≤0，因此，h（x）在1，+∞严格减，

又h（1）=0，所以h（x）≤0；

当2m≤0时，h′（x）≥0，因此，h（x）在1，+∞严格增，h（1）=0，所以h（x）≥0，

当0＜2m＜1时，h′（x）在1，+∞存在唯一零点，设h′（x0）=0.当x∈（1，x0）时，h′（x）>0，因此h（x）在［1，x0）上严格增.所以x∈（1，x0）时，h（x）＞0.

综上得出m≥12.

在利用构造函数解决问题的基础上，为了进一步培养学生的高阶思维，教师在教学中聚焦构造函数解决问题的过程，提出问题：构造函数解决问题时，需要对参数进行讨论.那么通过什么样的解题方法可省去参数讨论，或者减少参数讨论现象呢？在这一问题的引导下，学生再次进行思考，形成了如下解题法：

当x=1时，m∈R；

当x＞1时，m≥xlnxx2－1.

令g（x）=xlnxx2－1，

因为g′（x）=x2（1-lnx）-lnx-1（x2-1）2，根据其形式可知函数值随着x的增大而减少，且当x等于1时，g′（x）取得最大值为0，故可得g′（x）=x2（1－lnx）－lnx－1（x2－1）2≤0，即g（x）在（1，+∞）上递减，所以m≥limx→1xlnxx2－1，由于f（x）与g（x）符合洛必达法则的零比零型计算公式中的limx→af（x）=0，limx→ag（x）=0条件，故根据洛必达法则零比零型计算公式：limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A，可得limx→1xlnxx2－1=limx→1lnx+12x，

因此m≥12［3］.

3  结语

综上所述，新课程下，培养学生的高阶思维能力已经成为高中数学课堂教学的重中之重.鉴于此，高中数学教师在组织课堂教学时，应充分发挥解题教学这一载体，努力转变传统的解题教学方式.结合教学内容，精心选择练习题目，并为学生营造一个开放性的解题环境，引领学生从多个角度探究，从而促进数学高阶思维的发展.

参考文献：

［1］刘娜娜.通过多种思维技巧优化高中数学解题研究［J］.数理化解题研究，2023（06）：29-31.

［2］王梅玲.基于高阶思维培养的高中数学教学策略实践与研究［D］.济南：济南大学，2022.

［3］舒华瑛.高中数学解题教学中学生高阶思维能力的培养——以恒成立求参数问题为例［J］.延边教育学院学报，2021，35（05）：205-209+214.