学例谈异面直线的距离解题策略

陈淑娟

【摘要】在湘教版《向量与距离》这一节中，涉及了点与点、点与线、点与面、线与线、线与面、面与面之间的距离，点与点在之前的课中已经介绍过，本节重在讲点与线和点与面的距离，而线与面、面与面的距离全部可转化为点与面的距离，线与线中的平行线间的距离也可转化为点与线的距离，本节唯一没有提到两条异面直线的距离，本文结合一道例题探究异面直线间的距离解题策.

【关键词】基底法；坐标法；点面距离

关于异面直线，我们有以下相关知识点：

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线；交点所形成的线段叫做这两条异面直线的公垂线段；公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离；即两异面直线中，一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.

以上内容，教材中并未涉及，那我们一定要知道的是异面直线的距离这个概念，然后才能利用所学的知识去求.我们从一道例题来看下应该如何求异面直线的距离.

1  典例分析

（2020山东新泰中学高二期中）如图所示，在正四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AA′=2，AB=BC=1动点P、Q分别在线段C′D、AC上，则线段PQ长度的最小值是.

解法1 ：基底法

PQ=DQ－DP=μDA+1－μDC－λDC′=μDA+1－μDC－λDC+DD′

PQ=μDA+1－μ－λDC－λDD′

PQ2=μ2DA2+1－μ－λ2DC2+λ2DD′2=μ2+1－μ－λ2+4λ2=5λ2+2λμ－1+2μ2－2μ+1

PQ2=5λ+μ－152+2μ2－2μ+1－μ－125=5λ+μ－152+9μ2－8μ+45

PQ2=5λ+μ－152+9μ－492+2095

所以λ=19，μ=49，PQmin=23

解法2 ：坐标法——两点之间的距离

以D为原点，DA、DC、DD′分别为x、y、z的正向建立空间直角坐标系，则P0，m，2m，Q（n，1－n，0）

PQ2=n2+m－1+n2+4m2=5m2+2mn－1+2n2－2n+1，

该式与上式一样，所以不再重复.

解法3 ：利用公垂线的定义直接求

过P作PG⊥CD于G点，连接GQ.

因为PG⊥CD，PG∥CC′，

所以PG⊥平面ABCD，

所以GQ为PQ在平面ABCD内的投影，

因为PQ是公垂线，所以PQ⊥AC，

故而GQ⊥AC.

不妨设DG=m0

CG=1－m，所以GQ=221－m

PQ=2m2+221－m2

=92m2－m+12

因此m=19，PQmin=23

解法4 ：求与平面平行的直线到平面的距离

因为AC‖A′C′，所以两异面直线的距离可以看成是直线AC∥到平面DC′A′的距离

设平面DC′A′的一个法向量为n=x，y，z，，因为n=x，y，z，DA′=1，0，2，DC′=0，1，2

x+2z=0y+2z=0，取x=2，有y=2，z=－1，

所以n=（2，2，－1）

因为DA=1，0，0，设所求距离为d，则d=DA·nn=23

解法5：求平行平面的距离

因为AC‖A′C′，AB′‖DC′，AC∩AB′=A，A′C′∩DC′=C′

所以平面ACB′∥平面A′C′D

所以，两异面直线的距离可以看成是两平行平面的距离，利用点到平面的距离公式可以求得.

解法6 ：等体积法

由解法4，我们可以知道两异面直线的距离PQ可以看成是直线AC到平面DC′A′的距离

而直线AC∥平面DC′A′，故只要求直线AC上任意一点到平面DC′A′的距离即可

不妨选择点A，求点A到平面DC′A′的距离h，利用三棱锥的等体积法，VA－A′C′D=VC′－AA′D

S△A′C′D·h=S△AA′D·C′D′

△A′C′D是一个等腰三角形，

A′D=C′D=5，A′C′=2

所以，A′C′边上的高为322，故S△A′C′D=12·322·2=32，因为S△AA′D=1，32h=1×1，

從而h=23

评注：解法1，借助空间向量的基底来表示PQ，再根据向量模长的性质a=a2来求解；解法2，直接建立空间直角坐标系，利用两点的距离公式求；解法3，利用公垂线的定义，直接做出公垂线再去求；解法4，将异面直线的距离转化为与平面平行的直线到平面的距离，再用点到面的距离公式去求；解法5，将异面直线的距离转化为平行平面间的距离，再用点到面的距离公式得到，此法本题无法体现优越性，但是当ABCD－A′B′C′D′为正方体时，优越性就显现出来；解法6，利用等体积法来求.六种方法各有千秋，计算量并不大，但是思考这个问题的角度不同，思维程度也不同，一题多解，开阔学生的眼界，领悟知识之间的关联性和整体性.

2  类题赏析

下面提供两道例题，供读者赏析：

例1  （名校学案） 如图4，在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是线段DC′的动点，点M到直线AD′的距离的最小值是.

由解法五可知，只需求平面AB′D′和平面BDC′的距离，如图5，在正方体中，这两个平面的距离刚好是体对角线的三分之一，所以答案是3a3

例2  在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB=1，BC=2，AA′=3，则异面直线AC与BC′之间的距离是    .