例析同构法在高中数学中的应用

白炜

【摘要】本文主要研究初中和高中数学中同构的相关知识.同构式指的是除了变量不同，其余结构形式均相同的表达式.同构法就是在解题中结合题目的条件特点，构造同构式来解决问题，同构法作为一种重要的方法能使问题化繁为简，其运用过程也能有效培养学生的數学运算、数学抽象等核心素养.本文主要结合具体的实例分析同构法在解题中的应用.

【关键词】高中数学；同构法；解题技巧

1  函数同构

类型1  利用同构比较大小

在比较数（式）的大小时，若能将数（式）化成相同的结构式，则可将该结构抽象出来构造函数，利用函数的单调性比较大小.

例1  已知a=0.5ln2，b=0.4ln5－ln2，c=89ln3－ln2，则a，b，c的大小顺序是（  ）

（A）a

（C）c

解析  因为a=ln22，b=ln5252，c=ln9494，

令fx=lnxxx>0，

则f′x=1－lnxx2，

当x∈（0，e）时，f′x>0，

所以fx=lnxx在0，e上单递增.

所以f2

即a

类型2  利用同构解决恒成立问题

对于双变量地位一致型代数式，通常的策略是分离变量，将不同的变量分开，相同的变量归集到一起，构造出同构函数，利用同构函数的单调性将结构复杂的恒成立关系式转化为结构简单的恒成立关系式，达到解决问题的目的.

例2  （2020·新高考全国卷Ⅰ·21（2））已知函数f（x）=aex－1－lnx+lna，若不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．

解析  由f（x）≥1得aex－1－lnx+lna≥1，

即elna+x－1+lna+x－1≥lnx+x，

而lnx+x=elnx+lnx，

所以elna+x－1+lna+x－1≥elnx+lnx．

令h（m）=em+m，

则有h（lna+x－1）≥h（lnx），

因为h′（m）=em+1>0，

所以h（m）在R上单调递增．

所以lna+x－1≥lnx，

所以只需lna≥（lnx－x+1）max．

令F（x）=lnx－x+1，

则F′（x）=1x－1=1－xx．

当x∈（0，1）时，F′（x）>0，F（x）单调递增；

当x∈（1，+∞）时，F′（x）<0，F（x）单调递减．

所以F（x）max=F（1）=0，

则lna≥0，即a≥1．

所以a的取值范围为［1，+∞）．

类型3  利用同构求最值

利用同构求最值的基本思路是通过同构方程简化变量间的等量关系，利用变量间的等量关系消元，通过构造函数研究给定表达式的最值.

例3  已知函数f（x）=x+ln（x－1），g（x）=xlnx，若fx1=1+2lnt，gx2=t2，则x1x2－x2lnt2的最小值为（  ）

（A）－1e.  （B）－12e.  （C）1e2.  （D）2e.

解析  fx1=x1+lnx1－1=1+2lnt，

所以x1－1+lnx1－1=lnt2，

则ln［（x1－1）ex1－1］=lnt2，

于是x1－1ex1－1=t2，gx2=x2lnx2=t2．

所以x1－1ex1－1=x2lnx2=lnx2elnx2．

构造函数y=xex，

易知当x>0时，y=xex单调递增．

所以，x1－1=lnx2．

于是x1x2－x2lnt2=x2x1－1lnt2=x2lnx2lnt2=t2lnt2，

令u=t2>0，

则h（u）=ulnu，h′（u）=lnu+1，h′1e=0．

h（u）在0，1e上单调递减，在1e，+∞上单调递增．

所以h（u）min=h1e=－1e，

即x1x2－x2lnt2min=－1e．故选（A）.

类型4  利用同构证明不等式

对于一些指对跨阶不等式的证明，若能通过等价变形得到同构式，则往往能将问题转化为证明一个简单的不等式.

例4  求证：当x>0时，ln（x+1）>x2ex－1．

解析  ln（x+1）x>xex－1，

即ln（x+1）eln（x+1）－1>xex－1，

令f（x）=xex－1，

则原不等式等价于f［ln（x+1）］>f（x），

f′（x）=（1－x）ex－1（ex－1）2，

令g（x）=（1－x）ex－1，

则g′（x）=－xex<0，g（x）单调递减，

故g（x）

又ln（x+1）f（x），原不等式成立．

2  结语

同构作为一种代数运算变形技巧，能够在一定程度上简化运算，避免繁杂的运算、求导以及分类讨论，将复杂的关系简单化，为我们解决问题提供了一个很好的方向.同构法运用的关键是能够构造出同构式，一些问题中，同构式不是显而易见的，甚至需要配凑常数或变量，对学生的观察能力、分析能力、运算能力要求较高.

参考文献：

［1］李可进.例析集合与其他知识的融合［J］.中学生数理化（高一版），2008（Z1）：57-58.

［2］黄永生，杨丹.两道全国卷压轴题的别解与思考［J］.中学数学研究，2017（04）：38-39.

［3］李云杰.将高等数学知识融于教研中——以泰勒公式，洛必达法则为例［J］.福建中学数学，2016（06）：20-24.