例谈椭圆中离心率问题的常用二级结论及教学建议

陆艳肖

【摘要】椭圆离心率问题是高考的典型问题之一，需要学生掌握圆锥曲线问题的相关知识点并能够灵活运用所学知识解决实际问题.本文介绍并证明此类问题的三个常用二级结论，并结合实例运用二级结论解决问题，提出教学建议.

【关键词】椭圆；离心率；高中数学

对于这类题型，常规方法计算会有些繁琐.而使用一些二级结论，可以省去推导的步骤，是解决椭圆离心率小题的优解优法.本文将着重介绍有关此类问题的三个二级结论，并结合实例探索具体应用情境，归纳总结解题思路，以供参考.

结论1  已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点为F1，F2，P是椭圆C上的一点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则e=sin（α+β）sinα+sinβ.

证明  已知F1F2=2c，則应用正弦定理可得

2csin∠F1PF2=PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠PF1F2，

由椭圆的性质可得PF1+PF2=2a，

所以e=ca=F1F2PF1+PF2=sin（α+β）sinα+sinβ.

例1  已知椭圆C的两个焦点为F1，F2，P是椭圆C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1= 60°，则椭圆C的离心率为（  ）

（A）1－32.    （B）2－3.

（C）3－12.   （D）3－1.

解析  e=ca=sin（α+β）sinα+sinβ=sin（60°+30°）sin60°+sin30°=132+12=3－1.

结论2  已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点为F1，F2，有一过焦点F1，斜率为k的直线与椭圆交于点A，B，且满足|AF1|=λ|BF1|，则e=1+k2λ－1λ+1.

证明  设BF1=x，则AF1=λx，

根据椭圆的性质可得AF2=2a－λx，BF2= 2a－x.

因为直线的斜率为k，

所以tan∠AF1F2=k，

得到cos∠AF1F2=1k2+1.

同时cos∠BF1F2=1k2+1，

在△AF1F2，△BF1F2中应用余弦定理可以得到

x=（λ+1）（a2－c2）2λa，

cos∠AF1F2=1k2+1

=λ2x2+4c2－（2a－λx）22·λx·2c=λ－1ca·（λ+1），

从而e=1+k2λ－1λ+1.

例2  经过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点F1作倾斜角为60°的直线与椭圆相交于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，求椭圆C的离心率.

解析  直线AB的斜率k=tan60°=3，

代入公式可得e=1+k2λ－1λ+1=23.

结论3  已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），一直线l与椭圆交于A，B两点，其中M是线段AB的中点，则kOM·kAB=e2－1.

证明  设点A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减可得到

（x1+x2）（x1－x2）a2+（y1+y2）（y1－y2）b2=0，

转化后y1－y2x1－x2·y1+y2x1+x2=－b2a2，

kOM=y1+y22x1+x2x=y1+y2x1+x2，

kAB=y1－y2x1－x2，

结合椭圆中a，b，c三者之间的关系可得

－b2a2=－c2－a2a2=e2－1，

则可得到kOM·kAB=e2－1.

例3  已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过点M（1，1）作斜率为－12的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为.

解析  因为M（1，1），所以kOM=1，

已知kAB=－12，

则kOM·kAB=－12=e2－1，

由此可得e=22.

教学建议  在实际教学过程中，教师可以列出一些椭圆离心率问题的例题，先利用常规方法解决题目，在得出答案后，拓展介绍结论并进行证明，最后再利用结论得到答案，最后将其与常规解法的步骤进行对比，比较方法的优劣，并且帮助学生在练习过程中记忆结论.

结语

上述三个结论是在特定情境下求解，在解题时，要关注题目中的关键词，选择与其对应的二级结论，再代入求值即可.在教学中，要引导学生多去尝试利用二级结论解题，理解结论的内涵并能够熟练应用于其他类型的题目中.

参考文献：

［1］朱国璋.深探究 透理解 巧解决——也说椭圆离心率教学［J］.中学数学，2021（09）：83-84.

［2］沈涛.浅谈构造法解圆锥曲线中离心率范围问题［J］.数理化解题研究，2022（19）：44-46.

［3］黄文地.例谈求解圆锥曲线中离心率问题的三种思路［J］.语数外学习（高中版下旬），2022（09）：38-39.