直线方向向量与平面法向量教学课例

周万春 王静 季明峰

【摘要】“直线的方向向量与平面的法向量”上承空间向量数量积，下接空间角的计算，在空间向量上起着承上启下的作用.内容对优等生固然简单，但对学业底子薄的学生却存在一定困难.本文以农村高中学生为授课对象，研究如何设计教学帮助数学底子薄的学生掌握学习内容.

【关键词】法向量；高中数学；课堂教学

1  研究对象与研究问题分析

生源质量的问题给农村中学的数学教学提出了严峻的挑战.农村数学教学应该如何破局，是一个值得研究的问题.所以，本课例的研究对象是农村高中的数学课堂，研究问题是在学生数学基础薄弱的前提下，如何使学生能够掌握好高中数学知识.

2  教学内容分析

本研究探究的教学内容是苏教版选择性必修二6.3.1节“直线的方向向量与平面的法向量”.本节内容上承空间向量的数量积，是向量数量积实际应用的典型问题；下启空间向量的运用.直线方向向量相对简单，直线上取两点即可解决；法向量虽然在本质上是法线的方向向量，但与之相关的几何要素是平面，其求解的难度对基础较差的学生而言具有一定的难度.

3  教学过程设计

模块1  思考空间几何元素点、线、面与向量的关系

问题1  空间中的点与向量有什么关系？

追问1  空间中以坐标原点为向量起点的向量坐标与向量终点的坐标之间的关系？

追问2  回忆平面向量中，终点坐标与向量坐标之间的关系.类比平面向量的结论，试分析空间中的点与向量之间的关系？

问题2  空间中的直线与向量有什么关系？

追问1  显然两点或一点加一个方向可以确定一条直线，那么是否可以用点和向量确定直线？

活动  在黑板上任意给出一个点A，让一位同学给出向量，另一位同学按给出向量的方向和点作直线，重复多次.

方向向量定义  直线l上的向量e及与e共线的向量称为直线l的方向向量.

追问2  已知直线l的方向向量为a，A，P为直线l上的任意两点，如何用a表示AP呢？

问题3  一个定点和两个定方向能否确定一个平面？

活动  ①让学生在空间中任选一点、用两支笔比划成两个定方向的向量，让学生尝试确定一个平面；

②黑板上任意给出定点和两个定方向的向量（包含共线和不共线两种类别），讓学生尝试去作出一个平面；

③学生共同讨论定点与两个定向量能确定平面的条件与理由.

追问1   一个定点与一个定方向是否能确定唯一的平面？

动手摆一摆、画一画.

活动  ①让用一支笔代表一条线，笔尖代表定点，一张纸代表平面，尝试调整笔与纸之间的位置，以确定唯一平面；

②在黑板上画一条线，线上取点，让学生根据纸笔活动的结果画出图形；

③学生共同讨论定点和定方向能确定唯一平面的理由.

法向量定义  若非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，称向量n为平面α的法向量.

追问2  平面中任意一点P与定点A所构成的向量AP，与法向量n的关系是？

模块2  法向量的求解

例1  在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，证明DB1是平面ACD1的法向量.

图1

教学引导   法向量是平面法线的方向向量，若一个向量所在直线垂直于平面，则向量为平面法向量.

建立如图1所示坐标系A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），D（0，0，0），B1（1，1，1），

AD1=（－1，0，1），AC=（－1，1，0），

DB1=（1，1，1），

AD1·DB1=－1+1=0AD1⊥DB1，

AC·DB1=－1+1=0AC⊥DB1.

又因为，AD1∩AC=A，AD1面ACD1，

AC面ACD1，

所以DB1⊥面ACD1，

即DB1是平面ACD1的法向量.

例2   已知平面中三点，A（0，1，1），B（1，2，1），C（2，1，3），求平面ABC的一个法向量.

教学引导  平面内有三个坐标，求解法向量要充分利用法向量与平面中的任意向量垂直这一条件以建立等量关系.

设平面ABC的一个法向量为n=（x，y，z），

由已知可得：AB=（1，1，0），AC=（2，0，2）；

易知n⊥AB，n⊥AC，

所以n·AB=0，n·AC=0，

即x+y=0，2x+2z=0，

可得y=z=－x.

教学引导  三个未知数需要三个方程求解，但n⊥BC所确定的方程：x－y+2z=0是前两个方程的线性组合.因此，我们需要求解的方程组是“不定方程组”.由于学生基础比较薄弱，直接赋值求解学生不易理解.可以转换思路用共线向量定理解决问题.

n=（x，y，z）=（x，－x，－x）=x（1，－1，－1），

令m=（1，－1，－1），则n=x·m，

所以n∥m.即m与n共线，

当x=1时，n=m，此时n=（1，－1，－1）.

4  结语

通过对“直线方向向量与平面法向量”的教学案例，不难发现面对基础薄弱的学生，数学教学首先要注意循序渐进，教学的步子不能跨得太大.以本课题为例，切不可直接介绍方向向量与法向量的定义后直接进入计算，而应当帮助学生充分了解向量与点、线、面的关系后逐步地引出定义，在了解定义的基础上进行向量求解的运算；其次，一定要充分利用先学的知识，切不可在学生面对未知知识时，直接硬讲技巧.以本课题为例，不建议直接用赋值法解不定方程组，而应利用未知数之间的比例关系，将法向量的求解与向量共线定理联系起来，帮助学生更好地理解为何法向量有无数组解.