二维趋化–流体系统的整体适定性

况 旺，冬 英

（西华大学理学院，四川 成都 610039）

1 预备知识

在实际生活中，船蛆会闻到木材散发出来的木质素,集体靠近木材进行啃食；草履虫会避开有害的高浓度盐水且移动到有0.2% 乙酸的溶液区域。类似的自然现象十分常见。学者们称这些细胞或者组织根据化学信号的刺激而产生的定向移动现象为趋化现象。在此基础上,Tuval 等[1]通过实验观察发现流体会对枯草芽孢杆菌的运动产生影响。由此，学者们为刻画实验中观察到的现象,将描述细胞趋化运动的Keller-Segel 方程组与描述不可压缩流体运动的Navier-Stokes 方程组耦合建立如下趋化–流体系统

其中：Ω ⊂RN（N为正整数）是一个具有光滑边界的有界区域；未知函数n=n(x,t)表示细菌密度；c=c(x,t)表示化学信号浓度；u=u(x,t)和P分别表示流体速度场和相应的标量压力；参数 κ ∈R刻画了非线性对流的强度。另外,S、f、ϕ 均是给定的函数,S=S(c)表示趋化灵敏度函数,f(c)表示氧气消耗率,ϕ为重力势函数。

近年来，在趋化灵敏度函数S(c)、耗氧率函数f(c)和势函数 ϕ满足一定的技术性假设条件下，关于系统(1)在有界区域中的初边值问题解的整体存在性、最终光滑性以及大时间渐近行为等方面的研究已经颇有硕果。在无通量–无通量–无滑移边界条件

下（其中 υ 表示 ∂Ω上的单位外法向量）,Winkler[2]已经证明系统(1)在二维情形下存在整体有界且唯一的经典解；对于三维情形，证明了当 κ=0时，对应方程组存在整体弱解。在此基础上，学者们[3-4]进一步讨论系统(1)解的最终光滑性和大时间渐近行为。当S=S(x,n,c)时,Cao[5]证明了当足够小时，系统(1)初边值问题经典解的整体有界性。进一步,Zhou[6]去掉小性条件得到三维情形下相应的结果。

除此之外，学者们发现细菌的生存环境中存在气体交换现象,该现象出现在流体与空气的交互界面。为了描述此类现象，学者们提出了无通量-Dirichlet-无滑移边界条件，即

其中c∗≥0。Wang 等[7]证明了在三维有界区域中，当S(c)≡1,κ=0且满足边界条件(2)时，系统(1)存在整体广义解。此外,Wang 等[8]还得到二维情形下，若存在常数δ >0,使得初值满足≤δ,则系统(1)存在整体经典解。

然而，如果趋化灵敏度函数S=(1+n)-α,趋化–流体系统在边界条件(2)下的研究成果还很少。因此本文将考虑如下初边值问题

其中：Ω ⊂R2是一个具有光滑边界的有界区域；c∗≥0；α>0。本文的主要困难是处理非齐次边界条件。为此，我们需要对方程组(3)进行正则化处理，然后通过一系列的先验估计和取极限过程证明正则问题的经典解可以收敛到原问题的解。

为行文方便，本文先给出一些记号说明和假设。记

A:=-P∆表示空间L2(Ω;R2)中的Stokes 算子[9],其定义域为

其中P表示L2(Ω;R2)到(Ω)上的Helmholtz 投影。此外，对于任意的 ϑ ∈R,用符号Aϑ表示A的自伴分数阶算子。二维情形下,ϑ ∈(,1)。另外，假设初值 (n0,c0,u0)具有如下的正则性要求

基于上述假设，本文可得如下结论。

定理1假设 Ω ⊂R2是一个具有光滑边界的有界区域,α>1且重力势函数 ϕ ∈W2,∞(Ω)。那么当初值 (n0,c0,u0)满足条件(4)时，系统(3)存在整体经典解(n,c,u,P),并且存在常数C>0,使得对任意的t>0,有

2 局部存在性和预备引理

为了克服Dirichlet 型边界条件带来的困难，我们首先考虑系统(3)的正则问题。为此，根据文献[10]，我们定义截断函数族(ρε)ε∈(0,1)和 (χε)ε∈(0,1)分别满足

那么可以考虑系统(3)的如下正则系统

为方便书写和计算，可记Fε:=Fε(x,nε)和令=cε-c∗,使原问题的边界条件变为齐次边界条件。因此，系统(7)可进一步改写为下列系统

对于所有的边界条件都是齐次形式的系统(8),由标准的抛物型方程解的理论、半群理论和不动点定理，可以得到系统(8)存在唯一的局部经典解，再由=cε-c∗可得系统(7)解的如下性质，其具体的证明细节可以参见文献[2]的引理2.1。

引理1假设 Ω ⊂R2是一个具有光滑边界的有界区域,α >0且重力势函数ϕ ∈W2,∞(Ω),初值(n0,c0,u0)满足条件(4)且边界值c∗≥0。则存在Tmax,ε∈(0,∞],使得系统(7)在 Ω×(0,Tmax,ε)上存在唯一的经典解(nε,cε,uε,Pε)且满足

成立。

引理 2设 (nε,cε,uε,Pε)是正则系统(7)的经典解，对任意的ε ∈(0,1)有

作为后续估计的一个准备工作，我们还需要介绍下列的ODI 引理，其证明过程请参见文献[11]中的引理3.4。

引理 3令T>0 且函数y∈C0([0,T))∩C1((0,T))。如果对任意的t∈(0,T),函数y(t)满足

其中g∈(R),a>0且存在 τ>0 和b>0,使得函数g满足

那么对任意的t∈[0,T),有

3 先验估计

为了得到系统(3)有整体存在经典解的结论，需要建立逼近系统(7)经典解的一致估计。而其中有关 ‖nε‖Lp(Ω)的有界性，我们首先需要证明一个有关化学信号浓度梯度的正则性的引理,该引理的详细证明请参见文献[8]的引理3.1。

引理4设 (nε,cε,uε,Pε)是正则系统(7)的经典解，则存在常数C>0 使得对任意的 ε ∈(0,1)有

引理5设 (nε,cε,uε,Pε)是正则系统(7)的经典解，则对任意的 α>1,存在常数C>0使得对任意的ε ∈(0,1)有

证明我们在系统(7)的第一个方程两端同乘并在 Ω上积分，通过分部积分公式有

再根据条件和式(6),并且对式(16)使用Young 不等式，可得

∇·uε=0

利用Gagliardo-Nirenberg 不等式、Young 不等式和式(11)有

其中常数C1、C2和C3均大于零，。再结合式(17)和式(18)可知

其中常数C4>0,即证得结论(14)。最后在式(17)两端同时关于时间t在 (t,t+τ)上积分，并由引理4 和式(20)可得结论(15)成立。

类似地，应用引理3 的结论，可以得到关于‖uε(·,t)‖L2(Ω)的估计。

引理6设 (nε,cε,uε,Pε)是正则系统(7)的经典解。那么存在常数C>0 使得对任意的 ε ∈(0,1)有

证明在系统(7)第3 个方程的两端同时乘uε并在Ω 上积分，通过分部积分公式，∇ ·uε=0，Hölder不等式和Young 不等式可得存在常数C1>0使得

成立，其中应用了二维情形下的Sobolev 嵌入定理：W1,2(Ω)嵌入。再将引理5 中的式(18)代入式(23)可得存在常数C2>0使得

成立。之后由Poincaré不等式知，存在常数C3>0使得

成立。最后结合引理3 和引理4，有式(21)成立。进而，在式(24)两端同时关于时间t在 (t,t+τ)上积分，并根据引理4 的结论可得式(22)成立。

基于上述引理，并且参考文献[2]中的式(4.16)和式(4.17),我们可以证明得到有关的估计。

引理7设 (nε,cε,uε,Pε)是正则系统(7)的经典解。那么对任意的p>1,存在常数C>0使得对任意的ε ∈(0,1)有

证明在系统(7)的第三个方程的两端同时乘上A:=-P∆,并由Young 不等式，可得

其中常数C1>0。对于不等式(27)右端中最后一项，我们应用插值不等式,等价范数以及引理6 的结论(21)式可得

其中常数C2和C3均大于零。因此，将式(28)代入式(27)中有

其中常数C4>0 。至此，可令,则式(29)满足

其中常数C5>0。再根据引理6 中的式(22)可得结论(25)成立。最后，对任意的p>1，根据二维情形下Sobolev 嵌入定理，W1,2(Ω) 嵌入Lp(Ω)和式(25)可得结论(26)成立。

引理8设 (nε,cε,uε,Pε)是正则系统(7)的经典解。那么存在常数C>0使得对任意的ε ∈(0,1)有

证明对系统(8)的第2 个方程运用常数变易公式，可得对任意的t∈(0,Tmax,ε),有

因此，利用Dirichlet 型半群的Lp-Lq估计[12]和引理2,存在常数和使得C1,C2,C3C4>0

其中T∈(0,Tmax,ε)，则根据式(31),可得

其中C5>0 。因为θ<1,所以由Young 不等式可得有界，之后再通过回代变换=cε-c∗可得结论(30)。

引理9设 (nε,cε,uε,Pε)是正则系统(7)的经典解。那么存在常数C>0 使得对任意的 ε ∈(0,1)有

证明利用常数变易公式,Neumann 热半群的Lp-Lq估计理论和引理6 的证明方法可得结论。详细的证明过程请参见文献[5]的引理4.7 和引理4.8。

结合已经证明的引理，可以得到逼近系统(7)解的整体存在性结论。

命题1假设 Ω ⊂R2是一个具有光滑边界的有界区域,α>1且重力势函数 ϕ ∈W2,∞(Ω),初值(n0,c0,u0)满足条件(4)且边界值c∗≥0。那么系统(7)存在一致有界的整体经典解 (nε,cε,uε,Pε)。并且存在常数C>0 使得对任意的ε ∈(0,1)和t∈(0,∞),有

证明结合引理2、引理8、引理9可得是关于时间一致有界的。再由引理1 的爆破准则可以推出Tmax,ε=∞,因此系统(8)存在一致有界的整体经典解。

4 定理1 的证明

由命题1 知系统(7)存在一致有界的整体经典解。之后基于命题1 中的一致估计(32)和标准的正则理论能够证明系统(7)的经典解收敛到系统(3)的弱解。最后由抛物型方程解的正则性理论[13]可以得到系统(3)存在一致有界的整体经典解，即存在 γ ∈(0,1)使得函数对 (n,c,u)满足下述条件：

更详细的证明过程可以参考文献[5]中章节6 的证明。