一类求解非线性对流扩散方程的线性多步法

张莉　罗春林　张瀚月

摘要：研究一类非线性对流扩散方程，利用中心差商和线性多步法构造了一种新的在空间和时间上都具有二阶精度的差分格式，并利用Fourier分析和冻结系数方法分析了差分格式的稳定性，最后通过5种不同类型的数值算例验证了新方法求解非线性对流扩散方程的有效性.

关键词：非线性对流扩散方程；中心差商；线性多步法；Fourier分析；冻结系数法

中图分类号：O 241.82文献标志码：A文章编号：1001－988Ⅹ（2024）02－0029－08

A second－order linear multi－step method for solving nonlinearconvection－diffusion equations

ZHANG Li LUO Chun－lin ，ZHANG Han－yue

Abstract：A new scheme is developed for the nonlinear convection－diffusion equations in this paper.Based on the central difference and linear multi－step method，the proposed scheme achieves second－order accuracy in temporal and spatial variables.By using the Fourier method and freezing coefficient method，the stability of the proposed method is analyzed.Finally，numerical results illustrate the performance of the new scheme and support the theoretical properties of the estimator.

Key words：nonlinear convection diffusion equation;central difference;linear multi－step method;Fourier analysis;freezing coefficient method

0 引言

对流扩散方程在能源开发、流体力学、环境科学和电子科学等众多领域都有着广泛的应用，它可以用来描述大气和河流中污染物质的分布与扩散、工业领域的流动与热传导、交通流等物理现象.然而求解非线性对流扩散方程的精确解非常困难，因此数值解的研究具有重要的理论意义和应用价值.

近年来，求解非线性对流扩散方程的数值方法研究取得了很大的进展，如有限差分方法、有限元方法、机器学习方法等，其中有限差分方法是最常用的一种高效数值方法.有限差分法是一种用一个差值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的数值离散方法.用有限差分法求解偏微分方程，首先要把所给方程的求解区域进行网格剖分，然后再对方程中的导数进行充分近似，得到关于网格点上未知函数的线性代数方程组，解此线性代数方程组就得到了原问题在离散点上的近似解［1］.

线性对流扩散方程差分方法的研究成果非常丰富.田振夫［2］利用构造Hermite插值多项式的思想，对无对流项和无源项的两类对流扩散方程提出了一类具有迎风特征又兼顾稳定性和高精度的差分格式，其截断误差为O（h4+τ ）；侯波等［3］针对同样模型先利用泰勒展开再对截断误差余项进行三阶导数修正，提出了一种在时间和空间方向上均具有四阶精度的格式，该格式优点是无需启动步的计算并且靠近边界点的计算不会用到计算域以外的网格节点.对于无对流项的对流扩散方程，Liao等［4］首先利用二阶中心差分对空间导数进行近似，然后利用Padé逼近构造出空间方向四阶格式；王彩华等［5］提出了含参数ε的无源项对流扩散方程，并设计出横向系列差分格式和纵向系列差分格式，分别应用于大参数和小参数的情况，其精度可达到二、四、六及更高阶；针对非定常对流扩散方程，王涛等［6］证明了其存在一致四阶紧致格式，并使得构造格式的边界点的计算与内点的计算格式截断误差的主项保持一致.以上针对对流扩散方程的研究虽然都聚焦在线性方程上，但其思想也给非线性对流扩散方程的研究提供了思路.

处理非线性对流扩散方程的重点是非线性项的离散，这一直是研究非线性问题的一个难点.2007年，El－Azab［7］利用一个松弛参数对给定的非线性问题进行线性化，对非线性抛物项进行正则化来达到非线性问题线性化解决的目的；屈改珠等［8］通过建立不变集来研究（1+1）维带有对流项和源项的非线性对流扩散方程的精确解；Liao［9］将文献［4］的思想进一步推广应用到二维问题中，提出了一种Neuman边界条件的非线性反应扩散方程的四阶紧致算法；吴吉明等［10］在时间方向上采用显隐交替格式，在空间上利用中心差分处理非线性项，构造了一种截断误差为O（h +τ ）的差分格式；Wang［11］采用算子紧凑隐格式（OCI）对空间进行离散，用算子代替非线性项并构造格林函数，通过找出其与待求函数的关系来处理非线性项，结合Crank－Nicolson格式对时间方向离散，得到一种新的单调紧凑隐格式（MCI），其截断误差为O（h4+τ ）；Liu等［12］通过降阶法处理非线性项，提出了一种有非局部Robin边界条件的有限差分法来处理非線性问题，其截断误差为O（h +τ ）；Zahra等［13］开发了一类基于指数拟合技术的四阶或六阶空间数值方案来逼近具有固定阶数的非线性方程，其截断误差为：时间二阶、空间四阶或六阶；杨录峰［14］对空间导数用三点四阶紧差分格式进行离散来处理非线性项，在时间上采用二阶MacCormack预报校正格式进行推进，其截断误差为O（h4+τ ）.上述针对非线性对流扩散方程的相关研究，虽然误差只能达到O（h4+τ ），但是计算效率得到了提高；有些误差虽然能达到O（h4+τ ），但模型比较特殊，只有扩散项是非线性的或只有对流项是非线性的.然而对于更一般的非线性对流扩散方程的数值方法的研究甚少.本文考虑扩散项和对流项都是非线性的情况，构造的数值格式在空间和时间上都是二阶的.

其中x∈Ω，t∈（0，T］，u（x，t）是未知函数，t∈（0，T］；A（u），B（u），f（u，x，t）是给定函数，扩散系数A（u）满足A（u）>0，系数B（u）通常表示对流速度，f（u，x，t）是反应项.受文献［14］处理非线性项技巧的启发，本文利用中心差分处理非线性项，同时在时间方向上采用了精度更高的二阶线性多步法，构造的离散差分格式在时间与空间上同时保持二阶收敛精度.

1 二阶差分格式的构造

表3给出了格式（9）在M=N ，T=1，h分别取1/10，1/20，1/40，1/80，1/160，1/320时计算得到的问题的误差和收敛阶.数值结果表明本文差分格式的收敛阶趋近为2，与理论推导完全一致.取N=100，M=1 000，在T=1.2时刻给出问题的数值解与精确解见图5，由图5可以看出，本文得到的数值解与精确解基本吻合.图6给出当N=100，M=10 000，T=0.8时该问题精确解和数值解曲面，由图6可见，本文差分格式得到的数值解与精确解图形匹配程度较好，误差较小.

4 结束语

本文针对非线性对流扩散方程提出了一种新的差分方法，在空间上采用经典的中心差商公式对非线性项进行离散，在时间方向巧妙地结合二阶线性多步法进行离散，新的差分格式在时间和空间上都具有2阶精度.对非线性项进行系数冻结，根据Fourier分析得到该格式的收敛条件.最后选取5种不同类型的数值算例，从多个方面对本文提出的数值格式的有效性进行验证，结果表明，本文提出的方法对于求解各类非线性对流扩散方程均是有效的，且精度都是2阶收敛.

参考文献：

［1］张文生.科学计算中的偏微分方程有限差分法［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］田振夫.一维对流扩散方程的四阶精度有限差分法［J］.宁夏大学学报（自然科版），1995（1）：30.

［3］侯波，葛永斌.求解一维对流方程的高精度紧致差分格式［J］.应用数学，2019，32（3）：635.

［4］LIAO W，YAN Y.Singly diagonally implicit Runge－Kutta method for time－dependent reaction－diffusion equation［J］.Numerical Methods for Partial Differential Equations，2011，27（6）：1423.

［5］王彩华，杜金月，张静.无源对流扩散方程的两类修正差分格式［J］.应用数学，2020，33（3）：757.

［6］王涛，刘铁钢.求解对流扩散方程的一致四阶紧致格式［J］.计算数学，2016，38（4）：391.

［7］EL－AZAB M S.Solution of nonlinear transport－diffusion problems by linearization［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，192（1）：205.

［8］屈改珠.（1+1）维带有对流项和源项的非线性扩散方程的新精确解［J］.西北师范大学学报（自然科学版），2010，46（4）：10.

［9］LIAO W，ZHU J，KHALIQ A Q M.A fourth－order compact algorithm for nonlinear reaction－diffusion equations with Neumann boundary conditions［J］.Numerical Methods for Partial Differential Equations：An International Journal，2006，22（3）：600.

［10］吴吉明，李嘉正，杨晓忠.一类非线性反应－扩散－对流方程的显隐交替差分方法［J］.内蒙古大学学报（自然科学版），2021，52（4）：354.

［11］WANGY，GUO B.A monotone compact implicit scheme for nonlinear reaction－diffusion equations［J］.Journal of Computational Mathematics，2008：123.

［12］LIU J，SUN Z.Finite difference method for reaction－diffusion equation with nonlocal boundary conditions［J］.Numerical Mathematics（English Series），2007，16（2）：97.

［13］ZAHRA W K，NASR M A，VAN DAELE M.Exponentially fitted methods for solving time fractional nonlinear reaction－diffusion equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2019，358：468.

［14］楊录峰.非线性对流扩散方程的预报校正紧差分格式［J］.黑龙江大学自然科学学报，2013，30（4）：462.

［15］薛毅.数值分析与科学计算［M］.北京：科学出版社，2011.

［16］余德浩，汤华中.微分方程数值解法［M］.北京：科学出版社，2003.

（责任编辑 马宇鸿）

收稿日期：2023－03－06;修改稿收到日期：2023－08－08

基金项目：四川省科技计划资助项目（2022JDTD0019）

作者简介：张莉（1982—），女，陕西大荔人，副教授，博士.主要研究方向为偏微分方程数值方法.E－mail：lizhang_hit@163.com