基于单元教学的数学阅读教学初探*——以解析几何为例

安徽省合肥市第十中学(230011) 柴丽妮 胡明

为全面贯彻党的十九大关于教育“立德树人”的根本任务,积极落实全国教育工作会议中关于“要把开展读书活动作为一件大事来抓,引导学生爱读书、读好书、善读书”的具体任务,阅读活动正在全国各大中小学如火如荼地展开.长期以来,数学教育的重点在于图形、符号、公式及其变形方面,且以教师传授的形式为主,忽略了学生信息输入及自主加工的过程,违背了“全面培养人”的要求.

阅读是一种利用语言主动获取信息、发展思维的活动;而数学除了是运算和推理的工具以外,本身也是一种表达和交流的语言.因此,站在时代的来看,教师要认识到现代教育所培养的人不仅要具有文学和社科阅读能力,还需要具有以其为基础的包括自然科学和艺术领域的综合阅读能力[1].数学阅读在培养学生综合阅读能力中充当着举足轻重的作用.

1 数学阅读的意义

1.1 符合新课标的要求

2017 版课程标准中提出数学教育的终极目标在于“引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界”.其中第三点说明数学也可以作为一种沟通交流的工具.数学语言的应用在现实社会中的具体表现是数学六大核心素养之一数学建模.在数学建模的实施中,学生将现实问题进行抽象并用数学的方法表达和解决,这个过程需要综合运用数学抽象和语言表达等能力.只有通过大量的数学阅读积累了丰富的知识,才能帮助学生在建模时进行灵活的联想和顺畅的表达.

新课标建议教师在组织教学活动中不仅要重视教,更要重视学,以便促进学生学会学习.这要求教师探索灵活多变的教学形式,包括“引导学生阅读自学”等.这从教师的角度对数学阅读提出了要求.

1.2 匹配新教材的设计

新教材在新课标的指导下编写,是新课标理念的具体体现,是落实教学改革的载体.与老教材比较发现,新教材中新增了大量的教学情境.它们形式多样,背景丰富,在体现了数学应用性的同时增加了学生的阅读量,对学生信息提取及数学抽象等能力提出了更高的要求.

新教材中增加了更多的阅读材料,如选择性必修一中新增了“探索与发现——方向向量与直线的参数方程”和“阅读与思考——坐标法与数学机械化”等.用好这些阅读材料,除了能够增加学生的学习兴趣,还能够体现数学与当代数字社会的紧密联系,满足学生更多元化的需求.

新教材中新添了一个项目“文献阅读与数学写作”,旨在引导学有余力的同学在学习完部分章节后,通过补充阅读数学史等相关书籍,从更多角度了解对应内容的形成与发展,感受数学家在某一概念形成历程中所遇到的众多阻碍以及他们在解决一个个问题中所体现出的勇气和韧性.

1.3 适应新高考的特点

新高考是对新教材教学效果的重要评价方式,是“三新”改革的最终落点.纵观近两年的高考试卷,数学高考命题已经发生了巨大的变化.试题中的条件不再“不多不少”“拿来就用”,出现了条件过剩、答案不唯一、结构不良等新题型,这些都对学生的数学阅读理解能力提出了更高的要求.试题中的数学情境大量增多,题干字数大幅增加,需要学生具备从文字中提取有效信息并加工为数学语言的能力.特别地,中华优秀传统文化、中国当代先进的科技生产场景反复以现实情境或科学情境的形式在高考试题中展现,这些也都提醒着广大一线教师重视数学阅读,行动迫在眉睫[2].

2 数学阅读的开展

数学是一门逻辑极其严谨的学科,数学内容在铺开的过程中遵循着逻辑的严谨性、思维的一致性和方法的普适性,这是数学进行单元教学的基础,也是组织数学阅读教学的一条主线.下面笔者将以解析几何为例,简析数学阅读开展的几点策略.

2.1 实施具象化阅读,搭建单元框架

“几何与代数”是高中数学几大主线之一,在选择性必修一中主要包括“空间向量与立体几何”、“直线和圆的方程”、“圆锥曲线的方程”三章.其中后两章都是使用坐标法来研究几何图形,且遵循“几何要素(定义)-曲线方程-曲线性质-综合应用”的研究思路,归属于解析几何范畴.教学中将其作为一个大单元进行统一设计.

在本单元的章节起始课中,引导学生阅读这两章的章引言以及教材上的阅读与思考“笛卡儿与解析几何”,并解决如下问题:

“原来研究几何图形用的什么方法?这两章将用什么方法?这种方法主要是以什么为工具?”

“这两章统称为解析几何,它的内涵是什么?沟通了数学内部哪两大学科?体现了什么数学思想?”[3]

解析几何是高中数学的主线版块,引导学生明确解析几何的研究方法是单元起始课的教学目标之一.“坐标法”也不是学生第一次遇到,学生初中了解了平面直角坐标系,在本单元前一章使用坐标法解决了立体几何问题.基于以上原因,教材中在章首语中明确点明了本单元的研究方法和研究思路,在后续的阅读与思考中介绍了坐标法的产生历史和内涵.提出的两个问题难度不大,学生通过粗读教材就可以解决.

之后提出第三个问题“这两章将分别研究哪些曲线?研究将按照什么样的思路展开?谈谈为何将其将其分为两章?”此问题一方面考虑到了第二章和第三章的相似性,引导学生关注解析几何研究的一致性;另一方面考虑了两章的差异性,从宏观角度了解初高中教材的编写意图.这两个问题在阅读完两章章引言并体会其中含义之后学生容易答出,在此基础上让学生通过小组合作的形式画出知识结构图,请代表展示并解读各自作品.知识结构图是学生数学阅读之后的成果,是单元知识框架的载体,也是数学交流的对象,多感官的调动可以使章节起始课形式更多元,内容更充实.

2.2 实施对比化阅读,体会单元思想

在圆锥曲线的教学中,笔者带领学生全面系统地探究了椭圆的定义的得到与理解、标准方程的推导与变形、从形和数两个角度认识椭圆简单的几何性质.双曲线定义的探究可以沿用椭圆定义中的信息技术,只需要在保证有公共点且轨迹是曲线的基础上把动点的位置由线段上移动到线段的延长线或者反向延长线上.有了之前椭圆定义的研究经验,结合具体的图形,学生不难抽象出双曲线的定义.基于定义的相似性,在定义基础上推导得到的双曲线的标准方程以及几何性质和椭圆都是相似的.故而在双曲线的教学中可以让学生自行对比阅读教材,和椭圆进行类比,从而探究出双曲线的标准方程和几何性质.例如在“双曲线的简单几何性质”一节,可以通过下列一系列问题展开教学:

回顾“椭圆的简单几何性质”一节,你研究了椭圆的哪些性质?如何研究的?

你认为双曲线可以研究哪些几何性质?如何研究这些性质?以小组为单位展开研究.

研究结束之后阅读教材这一节内容,看一看你的研究是否正确?

除了你研究的这些性质,教材上还介绍了双曲线的什么?椭圆中有没有?为什么?

从图形上看,双曲线的渐近线是刻画双曲线的哪一特征?它和你研究出来的哪一种性质相关?它们两者的关系你能用一个等式来表示吗?

有了上述一系列问题的引导,学生对于双曲线的简单几何性质能够有一个清晰的认识,同时也可以进一步理解椭圆和双曲线的相似性,进而理解整个解析几何单元设计理念.

其实除了教材正文可以进行对比阅读,教材上的例题或习题也可以“联动”.例如教材上在椭圆中出现了这样的例题“设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程.”通过直接设点表示题目条件可以得到点M的轨迹是一个以A,B为左右顶点的椭圆.在双曲线中出现了类似的练习题“已知A,B两点的坐标分别是(-6,0),(6,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程,并判断轨迹的形状.”通过直接法可以求出点M的轨迹是一个以A,B为左右顶点的双曲线.这两道题目条件类似,方法相同,结论相似;对于学有余力的学生,老师可以引导学生将这两道题对比完成,并思考在此基础上能否得到更一般的结论,也就是椭圆和双曲线第三定义的推广.

教材中椭圆和双曲线两节类似的问题还有很多,教师对引导学生进行对比阅读和类比研究,学生能够对单元的整体性有一个更深的体会.

2.3 实施个性化阅读,加深单元理解

在单元教学基本结束之后,笔者布置了这样一项作业“请回顾全单元所学内容,独自画出本单元的思维导图;并根据教材上的例题和习题,独立编制一套题目(包含两道单选,两道多选,两道填空和一道解答)并给出对应的解答”.

为了完成本项作业,学生首先要通读整单元,尤其是其中的目录、章首语、章末小结等部分.每位同学的数学基础、数学观不同,对于本章的理解深度不尽相同,因而他们的阅读重点不同,例如数学相对薄弱的同学可能会更关注知识细节,大局观更强的同学可能会更关注研究思路与方法.

编制题目是希望学生能够重视教材上的例题和练习,同时希望他们偶尔能够转变角度,站在出题人的位置来思考如何命制一套高质量的试卷.在完成这项作业的过程中,不少学生开始关注到知识点考察的全面性,意识到要在易错点上设置“题眼”,甚至还有几位同学在教材题目的基础上尝试自行命制题目,虽然他们的手法大多比较简陋——对教材题目进行删减、拓展、整合等,但是在这个二次加工的过程中,这些学生对于相关知识的理解深度有了巨大的进步,在以后的考试中也能更加明晰出题人的意图.例如某位同学根据教材122 页的图3.2-7 联想到用水平或竖直的直线与双曲线相交,从而编制出了如下这样一道题目:

平面内一点P(x,y) 满足=16且x≥-3,y∈(-6,7],直线y=h与点P的轨迹有且仅有两个交点,且h∈Z,则以h的各取值构成的数据的第66 百分位数为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

这道题目虽然还比较生涩,但是该生已经关注到最近高考的命题热点——在知识的交汇处命题.他在阅读教材中受到插图的启发编制出了本题.

2.4 实施拓展化阅读,开阔单元视野

恩格斯曾经评价对数的发明、解析几何的创立和微积分的建立为17 世纪数学的三大成就,从中可以看出解析几何的创立在数学乃至科学发展史中有着举足轻重的地位.任何成就的获得都不可能是一蹴而就的,这个过程中无数数学家前赴后继.了解解析几何的创立历史不仅可以加深学生对知识的认识,同时还可以站在历史的洪流外看其中一个个数学家一次次的失败或成就,通过数学家们的不怕困难的勇气、坚持不懈的韧性、前赴后继的决心对学生进行心智和性格上的教育.

为了更大可能地实现数学课程的育人价值,笔者在本单元结束之后结合教材上的文献阅读与写作,给学生布置了一项长达两个星期的任务——自行查阅资料了解解析几何的发展史并以此为主题完成一篇数学论文.学生对于这项作业的热情出乎我的意料,他们有人通过网络积极查阅资料,有人还专门跑到图书馆去借阅相关书籍展开阅读,最终交上来的作业中也出现了好几篇高质量的数学小论文.

某位同学在自己的论文中先是介绍了圆锥曲线的定义,然后介绍了圆锥曲线的起源,之后通过阿波罗尼斯、帕普斯、开普勒、笛卡尔、牛顿、伯努利等数学家的工作串起了圆锥曲线的发展,这些数学家的切入点不同得到了圆锥曲线的不同定义,这位同学从几何和代数两个角度总结了圆锥曲线的定义方式,最后还介绍了圆锥曲线的光学性质以及它们在现实中的应用.可以看出这位同学花费了大量的时间和精力,通过拓展阅读才完成了这样一篇高质量的数学论文.

3 结语

数学阅读是锻炼学生提取信息、数学抽象等能力的重要手段,在单元教学的背景下更是如此.除了上述的方式外,还可以通过数学史知识竞赛、阅读成果展等更多的形式激励学生进行数学阅读.作为一线教师,我们需要重视数学阅读并在实际教学中根据需求选择合适的方式开展数学阅读.