小题大用,凸显本质——以一道解析几何模拟题为例

浙江省嵊州市经济开发区双塔路嵊州中学(312400) 何云

2023 年4 月本校高二年级期中考与杭州周边十多所学校进行联考,本次联考内容相当于高考内容,试卷难度较大.笔者根据学生对第21 题解析几何作答情况进行整理、分析、反思,希望在今后教学中能帮助学生克服思维障碍.

本校学生此道解析几何题错误率高达90%,本人教学的两个文科班无一位同学做出来.做不出来原因有: 一是由于本次期中联考内容较多,高二学生的解析几何知识不系统或已遗忘;二是学生对本题解析几何背景不清楚,不会算;三是解题思路清楚,计算方法不佳,导致计算遇阻;四是没有时间算.高考复习课常常遇到这样的矛盾“重复以往的故事”,教师上课就少了份激情,学生听课感觉枯燥乏味,若“寻新、寻异、寻难”,又会产生新的问题,茫茫题海,何处才是尽头.笔者根据本次期中联考第21 题适度包装改造,即变换条件和结论、变换问题情景、由特殊到一般揭示问题本源,解决“旧与新”、“易与难”之间的矛盾.

1 试题呈现

(2023 年4 月杭州周边地区重点中学联考第21 题)在直角坐标平面内,已知点A(-2,0),B(2,0),动点P满足条件:直线PA与直线PB的斜率之积等于,记动点P的轨迹为E.

(1)求E的方程;

(2)过点C(4,0)作直线l交E于M,N两点,直线AM与BN交点Q是否在一条直线上?若是,求出这条直线的方程;若不是,说明理由.

解: (1)E的方程为;

2 解法探究

本题主要以双曲线为载体考察点在定直线上,圆锥曲线中定点、定值问题一直都是高考热点问题.笔者通过学生的答题情况收集了三种典型的、未完成的解题思路,并将其完善,梳理出三种解法.下面我们一起来看一下:

点评此学生解题思路与其他同学不同点是直线设法避免讨论斜率不存在的情况,可惜联立直线与曲线方程就结束了,暴露出这位同学要么时间不够,要么解题思路不清楚,只是为了“骗几分”.下面笔者对此位同学解法进行完善.

点评此同学通过斜率不存在的特殊情况,求出直线AM,BN直线方程得到点Q坐标,继而得出点Q在定直线x=1 上,此法是先特殊再一般,但是解答过程暴露出这位同学考虑问题不全面,未证明直线斜率存在的情况点Q在定直线x=1 上.下面笔者对此位同学解法进一步进行完善,过程如下:

点评这位同学直线斜率存在和不存在的两种情况均考虑到了,每种情况只是开了个头就没下文,可能是时间不够,若有足够时间也许此位同学能完成.下面笔者进一步完善此位学生的解法:

3 深入探究

3.1 点C 一般化

思路将x轴上点C一般化,探究直线AM与BN交点Q是否还在一条直线上?

变式1过点C(m,0)(m0)作直线l交E于M,N两点,直线AM与BN交点Q是否在一条直线上?若是,求出这条直线的方程;若不是,说明理由.

3.2 变点Q 的位置

思路点C位置不变,改变点Q满足的条件,但是点Q在定直线的本质不变.

变式2过点C(4,0) 作直线l交E于M,N两个不同的点,在线段MN上取不同于点C的点Q,满足|CM|·|QN|=|QM|·|CN|.求证:点Q在定直线上.

3.3 互换结论与条件

思路若将原题的结论当作条件,又会得出什么样的结论呢? 经过探究,发现直线l过定点.

变式3直线l交E于M,N两点,直线AM与BN交于点Q,点Q在直线x=1 上,证明: 直线l过定点.

3.4 由特殊到一般

条件一般化,上述问题在双曲线中还会得到类似的结论,同样可以推广到椭圆中.

推论1双曲线E:=1,其中点A,B分别为双曲线E的左右顶点,过点C(m,0)(m0)作直线l交E于M,N两点,直线AM与BN交于点Q,则点Q在定直线x=上.

推论2双曲线E:=1,其中点A,B分别为双曲线E的左右顶点,直线l交E于M,N两点,直线AM与BN交于点Q,点Q在直线x=上,则直线l过定点(m,0).

推论3椭圆E:=1(a＞b＞0),其中点A,B分别为椭圆E的左右顶点,过点C(m,0)(m0)作直线l交E于M,N两点,直线AM与BN交于点Q,则点Q在定直线x=上.

推论4椭圆E:=1(a＞b＞0),其中点A,B分别为椭圆E的左右顶点,直线l交E于M,N两点,直线AM与BN交于点Q,点Q在直线x=上,则直线l过定点(m,0).

4 解后反思

笔者基于本班学生的学情,考后对本题进行深度探究,挖掘问题的本质,希望能帮助学生突破难点.以双曲线为问题起点,探究一类圆锥曲线定点、定值问题.问题设计以学生的思维为主,将学生未完成的解答拿到课堂上与学生一起分析、完善,为学生解惑,然后再以问题变式和改变问题情景的方式深入探究揭示问题本源,从双曲线到椭圆,从特殊到一般激发学生探究问题的兴趣.

解析几何本身计算量就大,学生不愿算,认为做了也做不对,直接放弃,再加上高二的学生还未进行系统的复习,对圆锥曲线的知识系统认知不够,现在做圆锥曲线题目很难.如何攻克学生从不愿算的畏难心理到愿拿起笔算?这是一个艰巨的任务.