运用数学思想，助力问题解决

文／姜芳芳

方程是表达相等关系的数学模型。笛卡尔说：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题又都可以转化为方程问题。”由此可见，方程是解决数学问题和现实问题的有力工具。在解题时，通过巧妙构建方程，再灵活运用整体思想、数形结合思想、转化思想等，可使问题得到巧妙解决。

一、运用整体思想巧妙解题

例1若关于x、y的方程组的解x、y之和为3，则m的值为________。

【解析】本题如果先解方程组求得x、y的值，再代入x+y=3，得到m的方程并求解，我们会发现计算量比较大。而如果让两个方程相减，可直接得到2x+2y=-m+3，所以-m+3=6，解得m=-3。

例2若m是方程x2-ax-1=0 的根，且，则a=________。

【解析】由于m是方程x2-ax-1=0 的根，所以m2-am-1=0，即。

【总结】整体思想是指从问题的整体出发，突出对问题整体结构的分析与改造，用“集成”的眼光对代数式进行有目的、有意识的整体处理。这样可以避免繁杂的计算，使问题得到巧妙解决。

二、运用数形结合思想巧妙解题

例3关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0 的两个不相等的实数根都在-1和0 之间（不包括-1 和0），则a的取值范围是________。

【解析】首先根据根的判别式可得Δ=（-3）2-4×a×（-1）＞0，解得。令y=ax2-3x-1。当a＞0 时，如图1。此时，x分别取-1、0 时，对应的函数值都 应大于0。但当x=0 时，y=-1＜0，所以此种情况不存在。

图1

当a＜0 时，如图2。此时，x分别取-1、0时，对应的函数值都应小于0，即a+3-1＜0，-1＜0，解得a＜-2。所以＜-2。

图2

【总结】数与形是数学研究的两个基本对象，在一定条件下，它们可以互相转化，以数解形，以形助数，数形结合，相得益彰。

三、运用方程思想巧妙解题

例4小明通过画图发现：函数y1=2x2-5x+2 与有三个不同的交点，x=1 是其中一个交点的横坐标。请你帮他求出另外两个交点的横坐标。

【解析】联立两个函数表达式，得。化简，得2x3-5x2+2x+1=0。由题意可知（x-1）是2x3-5x2+2x+1 的一个因式，所以设2x3-5x2+2x+1=（x-1）（2x2+mx-1）=0。展开，得2x3-5x2+2x+1=2x3+（m-2）x2+（-1-m）x+1，所以m-2=-5，解得m=-3，即2x2-3x-1=0。解方程，得x1=。即另外两个交点的横坐标分别为

例5求函数的最小值。

【解析】将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y-3）x2+（2y-1）x+y-2=0。

∵x为实数，∴Δ=（2y-1）2-4（y-3）·（y-2）=16y-23≥0。∴。因此y的最小值为。

【总结】这两道题都运用化归思想，把所求问题转化为一元二次方程有解的问题，体现了知识间的联系，考查了同学们分析问题、解决问题的能力。