例题延展，深化理解

文／周前猛

数学教材例题的作用是帮助大家理解和掌握数学知识，提高数学素养。同时，例题也为数学学习提供了拓展的基础素材。下面以苏科版数学教材八（下）第116 页的例2 第（2）题为例，谈谈例题的学习与拓展。

分式方程的解题步骤是：①去分母；②解整式方程；③验根。

思考一、根据分式方程根的情况，求参数的值

【解析】将分式方程去分母并整理，得x=m+6。若方程有增根，则增根为x=2，代入x=m+6，得m=-4。

【点评】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为0 的未知数的值，可能会出现一个或多个，分别代入求参数即可。

【解析】去分母，得2（x+2）+mx=3（x-2）。整理，得（m-1）x=-10。当m-1=0，即m=1 时，原方程无解；当m-1≠0 时，原方程有增根x=±2，分别代入（m-1）x=-10，得m=-4 和m=6。所以m=1、-4 或6 时，原方程无解。

【点评】含参数的分式方程无解，要分两种情况考虑，一是去分母后的整式方程无解，二是去分母后的整式方程的解是分式方程的增根。

【解析】将原方程转化为整式方程，得2x2-2x+a+4=0①。原分式方程只有一个实数根，得方程①有根的情况有两种类型。一是方程①有两个相等的实数根，即Δ=4-8（a+4）=0，解得，经检验，x是原方程的唯一根。二是方程①有两个不相等的实数根，而其中一根使原方程分母为0，即方程①有一个根为0或2。当x=0 时，代入①式，得a+4=0，即a=-4，这时方程①的另一个根是x=1，将x=1 代入最简公分母检验不为0，所以x=1 是原方程的唯一根；当x=2 时，代入①式，得a=-8，这时方程①的另一个根是x=-1，将x=-1 代入最简公分母检验不为0，所以x=-1 是原方程的唯一根。综上可得a的值分别为。

【点评】分式方程去分母后是一元二次方程，一元二次方程有解的情况有两种，要分类讨论，并检验是否符合要求。

思考二、根据分式方程的解的范围，求参数的范围

【点评】根据分式方程解的范围可以确定参数的取值范围，其方法是先把参数看成常数参与运算，算出x的值（用参数表示），再结合分式方程解的范围，得到不等式，通过解不等式求出参数范围。

【点评】去分母后需要分类讨论，此分式方程的增根可能有两个，要分别检验排除。

拓展2若分式方程有实数根，求a的取值范围。

【解析】去分母并整理，得ax2+4x-4=0。当a=0时，方程为一元一次方程4x-4=0，解得x=1。经检验，x=1 是增根，舍去。当a≠0 时，方程为一元二次方程，若此方程有实数根，则Δ≥0，解得a≥-1。当a=-1时，x1=x2=2，经检验是原方程的解；当a＞-1 时，方程有两个不相等的实数根，至少其中一个是原方程的解。综上可得a≥-1且a≠0。

【点评】去分母后的方程类型不确定，需要分类讨论，若为一元二次方程且有实数根，又分为两种情况，需要分类讨论，并且检验是否为增根。