“化线为点”解决“队列问题”

2024-03-24孙爱丽

《学习方法报》教学研究（理综） 2024年33期

孙爱丽

人教版义务教育课程标准试验教科书七年级数学上册第三章第二节课后“拓展探索”中有这样一个题：一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒。根据以上数据，你能否求出火车的长度？若能，火车的长度是多少？若不能，请说明理由。

本题给出的条件看似和火车的长度没有关系，所以实际教学中很多学生不知如何下手。但我们都知道这一问题属于“行程”类问题，只不过因为运动物体本身有长度，和一般的动点问题不一样罢了，笔者暂且给这类问题起个名字叫“队列问题”。那么这类问题该如何解决？笔者总结了一种“隐含条件是身长，化线为点算路程”的方法，和同行们共同交流。

对于课本中的这道题，条件中有时间，有路程，可归类为行程问题，于是我们考虑用公式：路程=速度×时间。因为问题中出现两个时间和一个路程，可以考虑用速度相等作为等量關系列方程，但题中还缺少一个“路程”条件。仔细审题，发现题中有这样一条信息：隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒。由此可知，从车头在灯的正下方时刻算起，到火车完全经过灯，火车走过的路程是一个车身长，时间是灯光照在火车上的时间10秒，所以如果设火车车身长为x米，那么火车的速度是[x10]米/小时。

另外，因为火车有长度，所以火车穿过隧道所走的路程，我们以车头这一点为参照，通过画线段图来分析火车经过的实际路程，它不是“隧道长”而是“隧道长＋车身长”，由此得到火车的速度是[300+x10]千米/小时。于是得方程：[x10]=[300+x10]

线段图如图1所示，

从这一问题的解决，我们发现“车身的长度”是这个问题的难点，也是解决这一问题的突破点。正是因为运动物体有了长度，所以它经过的实际路程容易让人弄错，这里如果我们在被研究对象上选一点作为参照（如火车头），那么问题由线变为点，根据物体运动的情况画出线段图，我们就容易推出它实际经过的路程应包含一个车身长，于是难点也就解决了。

下面我就通过一个例题进一步说明“队列问题”中实际路程的推导方法。

某桥长1200米，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50秒，而整个火车在桥上的时间是30秒，求火车的长度和速度。

分析火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，我们仍选车头（点A）作为参照点，火车走过的路程就是点A运动的路程，可借助线段图。

（1）火车从“上桥”到“完全过桥”（如图2），此时火车走的路程是桥长＋车长。

（2）火车“完全在桥上”（如图3），此时火车走的路程是桥长-车身长。由于火车是匀速行驶的，所以本题的等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度=整个火车在桥上的速度。

设火车的长度为x米，则有[1200+x50=1200-x30]，根据身长即可求得火车速度。

上面这一问题中涉及两个长度（桥长和车身长），但其中一个长度（桥长）是不动的。如果问题中出现的两个长度都在变，情况又会如何呢？我们一起来看下面这个问题。

一列客车长200 m，一列货车长280m，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3∶2，问两车每秒各行驶多少米？

分析这个问题中涉及了两个车长，而且两个车都在动，给路程的计算带来一定的困难。我们可以用两只笔模拟现场，并画出线段图，如图4是两车相遇，分别取车头为参照物，图5是两车车尾相遇，可见，两车头经过的路程恰好是两个车身长之和。

于是，得到等量关系：

客车的路程＋货车的路程=客车长＋货车长

设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，