借用点旋转 妙解一类题——一道教材习题多角度探究与应用

山东省微山县第一中学(277600) 焦猛 朱广军

1 题目呈现

人教版新教材必修二53 页综合运用第11 题: 已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2),点,把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P.求点P的坐标.

此题目根据旋转公式很容易求出点的坐标.旋转公式是如何得到的学生不理解,为此进行了探究,其意义在于首先让学生重视教材,教材是源,理解教材,把握教材才能抓住高考,不做无源之水,无根之木,其次自主构建知识结构,同一问题由不同模块知识解决,理解不同模块知识的衔接点,融会贯通所学的知识,再次打破常规知识点题型练习的复习模式,提高复习效率,培养学生数学核心素养的形成.

2 旋转公式的证明

问题涉及角度,思考与角度有关的知识有三角函数、向量的数量积、斜率与倾斜角、复数的三角形式等都涉及角度问题.将从以下几方面进行证明.

2.1 三角函数法

此方法考虑到向量旋转后长度不变,利用三角函数定义建立角度和坐标之间的联系,证明过程简洁明了.但要对三角函数定义理解透彻,三角恒等变换公式熟练掌握.

2.2 向量的数量积

此方法考虑到向量旋转角度和坐标表示,利用数量积公式建立角度和坐标之间的联系,解方程组即可.但求解sinθ时,较复杂需要讨论.

2.3 斜率到角公式

此方法利用两点斜率公式与倾斜角正切值的关系建立角度和坐标之间的联系,同样用到三角函数同角基本关系式且解方程组,但需要单独讨论特殊点.

2.4 复数三角表示形式

证明=(x,y)对应的复数为x+yi,=(x′,y′)对应的复数为x′+y′i.则(x+yi)(cosθ+isinθ)=x′+y′i,∴xcosθ-ysinθ+(xsinθ+ycosθ)i=x′+y′i,

此方法利用复数与平面向量是一一对应的,向量旋转θ角,由复数的乘法几何意义知相当于乘以一个模为1 辅角为θ的复数,利用复数相等即可》虽是选学内容,证明过程最简单.

3 旋转公式的应用

图象是由无数点组成的,图象的旋转则是点的旋转,下面在三个方面例析通过旋转图象可以得到熟知的图象,简化问题的研究.

3.1 旋转圆

例1(2009 年上海高考理14) 将函数y=-2,(x∈[0,6]) 的图象坐标绕原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图象,则tanα的最大值为______.

评析圆绕坐标原点逆时针旋转θ角后仍是圆,且恒过原点,结合图象只要旋转后的纵坐标不大于零,函数对应的圆弧一直表示函数,由旋转后的圆方程的圆心坐标直接得出最大值.

3.2 旋转椭圆

例2(2019 北京理8题) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:

其中,所有正确结论的序号是().

评析曲线C旋转后得到标准的椭圆方程,相应问题转化为在标准方程及其几何性质下解决则变得更加容易,求y′=x′+与椭圆相交的点的个数,是椭圆长轴的定点有两个点满足,就是椭圆面积公式.这些在原方程中都体现不出来.

3.3 旋转双曲线

例3(2020 泉州质检) 若双曲线C:mx2+ny2=1.(mn＜0)绕其对称中心旋转可得到某一函数的图象,则C的离心率可以是().

评析通过旋转公式求出一般方程,若表示一个函数则必定y′2的系数为零,考虑双曲线焦点的位置,不仅解得离心率,还可以求得函数解析式判断其性质.当双曲线焦点在x轴时,函数为y′=为对勾函数,当双曲线焦点在y轴时,函数为y′=为增函数.