聚焦旋转变化常识,培养高阶思维能力——一堂“相似三角形”习题课的教学反思

浙江工业大学附属实验中学(310023) 赖苗

所谓“常识”,一般指从事各项工作以及进行学术研究所需具备的相关领域内的基础知识.数学中的“常识”一般就是指定义、定理、公理等基础知识.特别的,由具体数学解题策略或数学思想方法向一般性思维策略、思维品质的过渡,在很大程度上也可被看成“常识”的回归.

习题教学立足于教材,是例题、作业题、测试题等的归纳整理,是数学知识一个阶段性的总结与反思.它区别于新课的教学.习题教学的着力点在于“常识”——学生已掌握的一些基本图形,基本结论.习题教学的目标是要把具体数学解题策略或数学思想方法向一般性思维策略、特别是思维品质过渡.这就要求我们教师在授课过程中不是简单的问题的重复或者再现,而是要在“常识”的基础上再进行问题的重组设计,为学生整体架构知识体系.一堂好的习题教学课,就是要通过“常识”启发学生的高阶思维,提升学生的思维品质,特别是思维的清晰性、深刻性、灵活性和自觉性等.

这是浙教版九年级上第4 章“相似三角形”的一堂习题教学课的设计思路与反思,与大家分享.

1 习题教学要贴近学生的最近发展区

习题教学要选取合适的例题,要贴近学生的最近发展区,要让学生在课前的作业中有一段时间的思考.中考题的命制往往比较新颖,难度适合,科学性比较强,适合用于习题的教学.好的载体更能切实有效的培养学生的思维能力.

例1(2021·武汉) 问题提出如图(1),在ΔABC和ΔDEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在ΔABC内部,直线AD与BE交于点F,线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系?

问题探究:

(1)先将问题特殊化如图(2),当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF之间的数量关系;

(2)再探究一般情形如图(1),当点D,F不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展:

如图(3)在ΔABC和ΔDEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=kAC,EC=kDC(k是常数),点E在ΔABC内部,直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式,表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.

有道是“大巧不工”,基础知识的掌握,基本方法的应用最能展现数学的力与美.作为浙教版九年级下册相似三角形的一堂习题课教学,学生掌握了特殊三角形、全等三角形的一些“常识”.这些“常识”是我们习题教学立足点,是力量的源泉,在这个基础之上我们教师再启发学生去自主探究问题、解决问题,才能使学生有美的享受.

分析过程

(1) 在特殊化问题中落实证明的基本方法,回顾几何证明的“常识”.例如“等角的余角相等”、旋转全等这些基础知识都可以理解为“常识”.如图2,易得:ΔBCEΔACD(SAS),∴DA=EB,∵EF=,∴DB=DA+,即FB=FA+.

(2)由特殊化问题的证明,转为一般化问题的探索.首先我们思考一般与特殊之间的联系是什么? 在点E的位置不断变化的过程中,ΔBCEΔACD(SAS)保持不变,所以有∠EBC=∠DAC,又CB=CA,类比于特殊化情形下的图形,可以过点C作GC⊥FC交BF于点G,如图4,证明ΔBCGΔACF(ASA)即可得FB=FA+.

(3)问题拓展,类比迁移: 线段相等——旋转全等;线段不等——旋转相似

表1 旋转全等与旋转相似的图形对比

通过我们多层次、多角度的思考和分析问题,我们复习巩固了基础知识,落实了解决问题的基本方法;把全等三角形的常识与相似三角形的常识构建成完整的立体的知识网络;为启发学生的高阶思维,提升学生的思维品质奠定了坚实的基础.

2 习题教学要培养学生,归纳、总结、反思的能力

例1 中的问题探究的是AF,BF,CF之间的数量关系,显然F点位置是解决问题的关键所在.那么F点的位置是如何确定的呢?如图2当BC=AC,EC=DC时,可证BF⊥AD,∠AFC=135°等,如图3当BC=kAC,EC=kDC时,也可证BF⊥AD,∠BFC=∠BAC等,这样例1 中的问题可以有更简洁的表述: 如图3,已知,∠ACB=∠AFB=90°,BC=kAC,线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系?

当k=1时FB=FA+.以k=1 为例,我们从旋转相似(全等)的角度来看,可以有以下六种方法来证明.

表2 证明结论的六种旋转的方法

相对于具体的解题策略而言,我们应当更加重视一般性思维策略,重视反思、归纳、总结这几个环节,也就是重视“常识”的回归.这样的教学策略不仅能培养学生的思维能力,加强师生互动,提高课堂教学效率,还能促进学生思维品质的发展.

3 习题教学要培养学生的类比、迁移能力

习题教学首先要避免“题海战术”,不加选择的做题只会加重学生的负担,学习效果较差,思维能力不能得到提高.例1 设置了三个小问题,由特殊位置到一般位置,由特殊三角形到一般三角形,层层递进,培养了学生的类比、迁移能力.在我们选择其它配套练习的时候也要紧紧围绕本堂课教学的重点——几何证明中的旋转相似(全等)变化,注重“常识的回归”,培养学生类比、迁移的能力.

例2(2016·广州) 如图6,点C为ΔABD外接圆上的一动点(点C不在弧BAD上,且不与点B、D重合)∠ACB=∠ABD=45°

(1)求证:BD是该外接圆的直径.

(2)连接CD,求证:=BC+CD.

(3) 若ΔABC关于直线AB的对称图形为ΔABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.

问题的背景似乎不同了,本质却是相同的.事实上由“圆内接四边形对角互补”我们可以知道图2、图3中A、B、C、F中四点共圆.从以下三个方面可以与例1 进行类比.

类比一: 直角顶点的位置不同,顶点在直角三角形外接圆上移动.

类比二:点F、M在一个特殊的位置

类比三: 通过图形我们可以直观的看到问题(2)和问题(3)是相同的结构.

数学的解题策略有时候表现为“顿悟”,数学的思维有个体的差异,有“天时、地利、人和”的或然性.但是不管如何,习题教学要帮助学生学会长时间的思考,只有长时间的思考才能得到详细的展开和清楚的表述,包括必要的检验、理解与改进.也只有这样才有可能真切的感受到数学的力量和美.

4 习题教学要启发学生的高阶思维

高阶思维倡导从浅层次信息的获取与分析转向深层次的理解与应用,使学生从强迫式的知识技能习得转向有意义的思维发展,利于深度学习的发生及智慧教育环境的构建.“长时间的思考”不等于“深层次的理解”,启发学生的高阶思维,如分析、综合、评价和创造才是习题教学的最终目的.

通过例1 和例2 我们已经解答了∠AFC=135°,∠AFC=45°时FA,FB,FC之间的关系.它们之间又有什么联系呢? 以问题驱动,我们来探究当∠AFC=α(如图7)时,FA,FB,FC之间的联系.

如图8 以点C为旋转中心,把CF逆时针旋转90°至CE,连接EB,EF由余弦定理得:FB2=EF2+EB2-2·EF·EB·cos ∠BEF,FB2=2FC2+FA2-2··FA·cos(α+45°),显然当α=135°时,FB2=2FC2+FA2-·FA·cos 180°,即FB2=,FB=+FA,当α=45°时,FB2=2FC2+FA2-·FA·cos 90°,即FB2=2FC2+FA2.

由此,通过对一般性问题的探究获得更深刻的认识.从而很好地实现“化多为少”“化繁为简”,提升学生的思维品质.我们不是在积累自己的题库,不应该片面的强调经验的积累,而应该更加强调反思、归纳、总结,只有这样才有可能形成高阶思维.

例3如图9,在平面内,线段AB长为a,线段AB外有一动点P,且线段PA长为b,又有一点Q满足PB=QB,∠PBQ=90°,求AQ的最小值.

分析: 如图10,要求AQ的最小值,先要找到点Q运动的轨迹.点P在以A为圆心b为半径的圆上,因为PB=QB,∠PBQ=90°,以点B为旋转中心,把ΔPAB逆时针旋转90°得ΔQBA′,易证Q点在以A′为圆心b为半径的圆上.AQ的最小值为|AA′-A′Q|=.

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

图9

图10

显然,我们可以更加开放的去思考当PB=kQB,∠PBQ=α时,如何求解AQ的最小值.

好的数学问题来自于人们的创造,学生对“常识”了解的越深刻,反思的越彻底,就能和命题者创造性的思维同频共振,对命题者的意图就能把握的更准确,对问题的解决就越轻松,就更能感受数学的力和美.习题教学的要落实学生的主体地位,既要帮助学生提升数学思维的品质,更要帮助学生通过数学学习逐步的学会的学习,从而真正成为学习的主人.