基于智慧课堂的高三数学试卷讲评课模式初探

广东省广州市广东华侨中学(510000) 刘颖莹

试卷讲评课是高三数学复习过程中必不可少的环节.考后及时讲评,能帮助学生纠正思维错误,完善知识结构,提升解题能力,发展核心素养.随着智慧课堂教学平台的应用与发展,无论是个人还是班级的考情学情,都能通过平台进行数据化长期追踪.有了数据支持,教师不再凭印象讲评,而是凭数据讲评,讲评更有针对性,讲评方式更加多样化,同时,讲评不再局限于课堂,更延伸到了课前和课后.本文以一节广州市2023 届高三一测数学试卷讲评课为例,对基于智慧课堂的高三数学试卷讲评课模式进行实践探究.

1 考试学情分析

本次考试在高三第二学期初进行,此时,学生已基本完成一轮复习,但二轮复习还未开始,学生有基本的知识结构框架但不完善.同时,学生此前考试次数不多,应试经验不足.对于平行班,学生主要靠基础题和中等题得分.在解中等题时,学生往往因为概念理解不深刻和解题方法不熟练而无法全对.

针对考试中得分率低于60%的题,我们安排5 个课时讲评.第1 课时为试卷整体分析,按《高中数学课程标准2017版》中提到的五大主题内容——预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动,对试题进行分类,讲评主题二的数列题;第2 课时讲评主题二除数列外的其他题;第3 课时讲评主题三除平面解析几何的题目;第4课时讲评平面解析几何的题;第5 课时讲评主题四和主题五的题.下面的案例为讲评课第1 课时的教案.

2 讲评课模式

基于智慧课堂教学平台,高三数学试卷讲评课模式如图1 所示:

图1 基于智慧课堂的高三数学试卷讲评课模式

图2 单元讲评思路

2.1 课前环节

在讲评前的准备是非常有必要的,准备越充分,讲评越有效率.课前准备主要包括三个方面: 考情分析、任务发布、素材收集.

考情分析是指利用智慧课堂平台数据库,一方面对班级均分、每一题的得分率、优良率、分数段人数等数据进行横向对比分析;另一方面,对学生个人成绩等级、进退步等数据进行纵向对比分析.其次,教师通过智慧课堂平台推送试题分析和错题归因等任务,学生完成并提交,教师后台检查完成情况.最后,结合课前任务,按主题内容分单元对错题进行归类整理,收集典型错误,查阅教材相关知识和相关高考真题.

2.2 课中环节

课中通过对课前任务的梳理和点评,引导学生整体感知试卷考点分布、难易程度、占比权重等,结合个人的错题分布和错解归因,找准知识漏洞,明确下阶段复习方向.结合考试数据和考点分布分析,按大单元设计的思路,针对五个主题,分单元进行讲评.单元讲评大致按以下思路进行,可适当增减:

2.3 课后环节

结合学生考试数据,智慧教学平台能推送个性化作业给相应的学生,主要有“重做原题、基础训练、拓展训练”三个层级的资源,教师可根据学生实际微调作业容量和难度,实现个性化训练.学生完成个性化作业后上交,智慧教学平台结合课中评价和课后作业,即时给予学生和教师评价反馈.教师根据智能评价充分了解学生情况,对个别学生进一步辅导,实现评价反馈即时化.师生共同分析卷面得分和失分,反思教学过程中的得与失,总结经验.

3 讲评课案例

3.1 课前环节

依照五大主题内容,通过智慧课堂平台,发布以下任务:

(1)任务一: 请根据表1 对试卷做整体考点分布分析;

表1 试题知识点分布与错解归因表

(2)任务二: 聚焦错题,请对错题按知识点整理,分析错误原因,填在表1 和表2 相应位置.

表2 错因分析表

3.2 课堂实录节选

例1(2023 年广州市一测第14 题)已知n∈N*,将数列{2n-1}与数列{n2-1}的公共项从小到大排列得到新数列{an},则.

讲评实录:

教学环节一: 原题再现 一题多解

师: 这道题的考点是数列求和.在求和之前,必须先确定数列的通项公式.对于本题,你是怎样求得数列的通项公式呢? 之后,用了什么方法求得数列的前10 项和?

生1: 根据题意,我先写出数列{2n-1}的前几项: 1,3,5,7,9,11,13,15,…,然后再写出数列{n2-1}的前几项: 0,3,8,15,24,35,….我发现,两个数列的公共项有: 3,15,35,…,这些数都是数列{n2-1}的偶数项,所以猜想,数列{an}的通项公式为an=4n2-1.所以,

因此,

生2: 我的方法跟生1 有点不同,我先设bn=2n-1,cn=n2-1,要使bn=cm,则2n=m2,因此,m为偶数.再设m=2k(k∈N*),则ak=cm=4k2-1.所以,an=4n2-1,后面做法就一样了.

师: 生1 用到了归纳猜想法,这种方法一般由特殊出发,经过观察、归纳、猜想,得出可能的结果.大部分同学考试时也选用了这种方法.对于数列中的一些问题,猜想可以让我们找到解题的关键.但这里得说明的是,归纳猜想的结果不一定完全正确,必须对结果加以论证.要证明与正整数相关的命题,我们有什么方法证明吗?

生3: 数学归纳法.

师: 是的.对于这题来说,我们通过猜想归纳得到前10项,就能进行数列求和了.请同学们课后尝试用数学归纳法证明an=4n2-1.生2 则用到了不定方程法,这是解决数列公共项问题的一种常用方法,主要是利用了数论中的整除知识,求出符合条件的项,并解出相应的通项公式.两位同学在求和时都用到了裂项相消法求和.

教学环节二: 错题归因 积极应对

师: 回顾自己的解题过程,做错的原因是什么?在下次遇到类似的题目时,怎么才能避免错误?

生4: 我主要是审题错误,没有理解数列{an}的构成.以后我可以多写几项,观察猜想归纳得到结论.归纳猜想法对一些数列题很有帮助.

生5: 我是知识不清导致出错.我能想到数列{an}的通项公式,但是没有想到要用裂项相消法求和.

师: 对错解归因,能让我们找到进步的方向.深刻理解和掌握题目涉及的基本概念和基本方法是我们的应对方法.

教学环节三: 教材溯源 考题迁移

师: 课本是试题的基本来源,是高考试题的主要依据,大多数试题的产生都是基于课本进行组合、加工和拓展的.对于这题,我们可以在课本上找到同类题,还有相应的高考真题.请同学们尝试解决以下两题.

练习1(高中数学2019 年人教A 版选择性必修第二册第四章数列习题4.2 第8 题)已知两个等差数列2,6,10,…,190 及2,8,14,…,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.[答案]1472.

练习2(2020 年新高考Ⅰ卷山东卷第14 题) 将数列{2n-1} 与{3n-2} 的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为____.[答案]3n2-2n.

教学环节四: 发散思维 合理变式

师: 假如你是命题人,你会怎样改编这道题?

生7: 我想到求两个等比数列的公共项,然后求新数列的前n项和.

生8: 还可以改成一个等差和一个等比数列的公共项构成的新数列的前n项和.

师: 没错,老师这里就有两个例子,同学们可以尝试做一做.有时候,我们站在命题人的角度多想一想,发散思维,会发现其实很多题目都很熟悉.所以,理解基本概念、掌握基本方法、提升核心素养是应对瞬息万变的题目的最佳途径.

练习3将数列{4n}与{8n}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的通项公式为____.[答案]an=64n.

练习4将数列{2n} 与{3n+1} 的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an} 的通项公式为____.[答案]an=4n.

例2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2n=2an+1.

(Ⅰ)求a1,并证明数列是等差数列:

讲评实录:

教学环节一: 错题归因 积极应对

师: 这道题难度中等偏易,是解答题第一题,没有空白卷,但是满分率却不到50%.我们先看第1 问的解法(智慧教学平台展示错误解法).由Sn+2n=2an+1,得Sn=2an-2n+1,当n=1 时,S1=a1=2a1-2+1,所以a1=1,当n≥2 时,Sn-1=2an-1-2n-1+1,两式相减得an=2an-an-1-2n-1,即an=an-1+2n-1,所以,所以数列是以1 为首项,为公差的等差数列.

师: 上述解法是否正确?若不正确,错在哪里?

生11: 我也是先求出an=n·2n-1,然后用了错位相减法求和.生10 的方法更简单,我没有注意到条件Sn+2n=2an+1,过程反而复杂了.

师: 确实,有一部分同学用了错位相减法求和,结果变复杂了.所以,我们一定要认真审题,紧扣“已知条件”.接下来,该如何求不等式呢?

师: 答案正确,但确实不能仅凭两个数就说不等式成立.其实,当k≥4 时,k2-4k+2 ≥2,22k-1≥7,不等式(k2-4k+2)22k-1＜1 不成立.除此之外,还有其他同学用不同方法求解的吗?

师: 非常好.将不等式的问题转化成函数的问题,通过研究函数的单调性和零点所在的区间,确定k的所有取值.这道题入手易,难度适中,充分考察了逻辑推理和数学运算核心素养,是值得我们反思的一道好题.

教学环节二: 教材溯源 考题迁移

师: 回归教材溯本源,解析真题定方向.以下题目选自课本,是17 题的同类练习题.请同学们认真完成.

练习5(选择性必修第二册第四章数列习题4.3 第11 题)已知数列{an}的首项a1=,且满足an+1=.(Ⅰ)求证:数列{-1}为等比数列;(Ⅱ)若＜100,求满足条件的最大整数n.[答案](Ⅰ)略;(Ⅱ)99.

教学环节三: 完善脉络 小结提升

师: 对题目进行考后反思,是由点到面追溯源头重构网络,而解题训练,则需要由面及点寻求解决路径.因此,我们要着重强化和完善自己的知识网络结构图,希望同学们能够完善属于自己的知识网络结构图,细化网络图中的细枝末微.

师: 本节课你学到了什么方法?

生14: 数列中的公共项问题关键在于理解题目信息,注意观察、归纳.数列求和法中的裂项相消法和错位相减法.

生15: 对于与函数、不等式、方程综合起来的数列综合题要善于对问题进行化归.

师: 是的,另外,对于数列中的证明类问题,我们还要加强变形、转化能力的训练,并且要对常见形式进行归纳、总结.

3.3 课后提升

3.3.1 共同作业

练习6(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第12 题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案: 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,23,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N＞100 且该数列的前项和为2 的整数幂.那么该款软件的激活码是____.[答案]440.

练习7(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第15 题)等差数列{an} 的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=____.[答案].

练习8(2022 新高考全国Ⅰ卷·第17 题)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:＜2.[答案](Ⅰ);(Ⅱ)略.

3.3.2 个性化作业

教师根据学生答题情况,利用智慧课堂平台的“AⅠ考后练习”,分三个层级推送作业:

第一层级: 错题重做,主要针对基础薄弱的同学;

第二层级: 错题重做+基础训练,主要针对错题会做但没有满分的同学;

第三层级: 基础训练+拓展训练,主要针对该题全对的同学.

4 几点思考

4.1 回归教材,重视思维

试卷讲评课除了要讲评题目外,还要讲评题目涉及的知识和思维方法.通过引导学生回归知识基本概念和基本方法,建立题目与已有知识的联系,梳理解题的通性通法,并利用教材练习题或高考真题进行变式训练,提高解题能力和数学核心素养.

4.2 技术赋能,精准有效

讲评应讲在学生的思维偏差处和知识的薄弱处,通过暴露学生的解题过程或思维过程,及时巩固知识,纠正思维偏差.借智慧课堂平台,讲评课上能方便快捷地展示学生的解题过程,不仅增加了课堂容量,又不影响课堂效率,还提高了讲评的针对性.

4.3 课前自评,课后拓展

在智慧课堂技术支持下,讲评课延伸到了课前和课后.课前学生对错题进行分类和分析,尝试对错题自评自改,有利于提高讲评的效率,又能锻炼学生的总结和反思能力.课后的变式拓展又进一步促进学生深入思考,提升分析和解决问题的能力,发展学生数学核心素养.

总之,基于智慧课堂教学平台,教师既要在课前对考试数据、学生答卷和学生学情等做好考前分析,确定讲评思路和重点,又要在课中及时纠正思维、归纳思路、总结方法,还要在课后进行变式训练,巩固提升.只有这样,试卷讲评课才能上得真正有效.