“三角函数”单元教学的起始课设计

⦿ 西华师范大学数学与信息学院 袁钊颖

1 单元教学

单元教学是指在一个明确的主题下,以整体性为原则,基于数学学科核心素养的要求,按照知识发生发展的脉络,选择教学内容,使其构建成为一个具有完整知识体系的相对独立的单元进行的教学[1].

单元教学从整体的角度分析教材,选择内容进行教学设计,能够使学生厘清知识发生发展顺序,建立完整的知识体系.同时,由于单元教学是按照一条主线或知识的某种联系开展的,学生在探究的过程中,能够掌握这一类知识背后蕴含的研究方法和数学思想,为以后的学习和工作打下良好基础.因此,单元教学能够作为提高学生核心素养的有效实施路径.

2 “三角函数”单元起始课教学过程设计

2.1 环节1:情境创设,引入新知

问题1“在现实世界中,各种各样的运动变化现象都可以用函数模型进行表示,从而把握物体的运动规律”,你能用函数描述以下情境吗?

情境1：一个正方形场地的面积为S,请表示该正方形的边长y与面积S之间的关系.

情境2：将一张正方形纸对折,你能表示出对折次数x与所得层数y之间的关系吗?

指数型:y=2x.

情境3：将一张正方形纸对折,经过几次对折后,若已知所得层数为x,求对折次数y的表达式.

对数型:y=log2x.

情境4：如图1,游客可以坐在摩天轮的座舱中俯瞰城市的景色,假设摩天轮做匀速圆周运动,摩天轮的中心O距离地面OQ=30 m,转轮半径为OP=10 m,转动一周大约需要30 min,若你所在座舱位置为点P,你能否判断经过一段时间后,摩天轮旋转了多少度以及点P距离x轴的距离呢?

图1

设计意图：学生通过已经掌握的函数模型,能够很快得到前三个情境问题的函数表达式,但最后一个却不容易表达出来.由此引发认知冲突,激发学生的求知欲,让学生意识到学习新函数模型的必要性,从而引出本单元学习的内容——三角函数.

2.2 环节2:回顾旧知,明确主线

问题2从三角函数的名称上可以推断出,三角函数是众多函数模型中的一种.大家还记得我们学过哪些函数内容吗?学过几类函数模型?根据之前的学习过程,你能总结出研究函数模型的一般路径吗?

师生活动:学生通过回顾学习过程和翻阅教材,会自然而然先罗列出函数概念与性质、幂函数、指数函数和对数函数等内容,并按照知识的学习过程梳理出学习路线(如图2所示)[2].

图2

笔者带领学生对比这几条路线,发现函数的研究有着共同的步骤.同时,发现在学习这几个函数概念前都会先了解与该函数有关的生活实例或者学习该函数所必备的预备知识,我们将这一过程统称为背景知识,最终师生共同确定函数研究的一般路径(如图3所示).

图3

设计意图：在这个过程中,学生会回顾所学的所有函数知识,以及所涉及的数学思想方法,有利于唤起学生对旧知的记忆,并能将旧知应用于新知的学习中,建立起旧知与新知之间的桥梁.同时,总结出的函数研究路径,不仅是学生学习三角函数单元的教学骨架,也是学生建立知识框架体系的主线,很好地体现了单元教学中整体性这一本质特征.

2.3 环节3:明确内容,构建框架

问题3在情境4中,当摩天轮分别旋转了15 min,45 min,1 h时,摩天轮旋转了多少度?

设计意图：通过具体的生活情境,认识到摩天轮在此过程中旋转了半周、一周半或者两周,打破了学生在初中所学的角的范围0°～360°,引发学生的认知冲突,由此说明角的概念扩展的必要性.

问题4在情境4下,点P从点A出发,逆时针旋转t°后,点P距离x轴的高度h为多少?

师生活动:笔者为学生展示三角函数的概念,引导学生利用新的函数模型解决问题.得到结果h=10sint°.

追问:结合函数的概念,你能判断上述表达式是一个函数吗?如果不是函数,怎样表达才能使之成为一个函数呢?

设计意图：该表达式不是一个函数,因为t°不是实数.通过这样一个过程,引导学生感知需要用另一种度量角的单位制来表达,激发学生的认知冲突,引发学生的主动思考,认识到引入弧度制的必要性.

根据上述描述,任意角和弧度制就成为我们学习三角函数的预备知识,在研究函数的一般路径中,就可以将其归入背景知识进行学习.

师生活动:按照函数学习的一般路线,在学习预备知识后,就开始进行三角函数的概念和表示的学习.教师展示三角函数概念,提炼出三角函数概念的重点——单位圆、终边和角.

问题5函数的性质可分为运算性质和图象性质.根据之前所学的知识,同学们知道在研究图象性质时,应该怎样研究以及具体研究什么内容吗?

设计意图：学生通过之前研究函数的经验,能很快回答出通过描点、作图去研究函数的单调性、最值和奇偶性等.此过程重点在于让学生回想研究函数图象性质时所需要掌握的数学思想方法,并明白数学方法的使用对象和途径.

问题6在了解了三角函数的图象和性质后,请思考三角函数之间存在着怎样的运算性质?

问题6-1由三角函数的概念可以知道,三种三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点唯一确定的,那么终边相同的角的三种三角函数值之间是否存在某种联系?这个问题我们将会在同角三角函数关系课时中得到解答.

问题6-2在上一个问题中,我们研究的是同角与边的关系,那么不同的角与边又会存在怎样的关系呢?这个问题我们将会在诱导公式课时的学习中得到解答(笔者展示相关公式).

问题6-3同学们观察刚刚所呈现的诱导公式,它们都是一个特殊角与任意角之间的关系.那么,我们能否推导出任意角与任意角之间的关系呢?这就是我们之后所要学习的三角恒等变换.

设计意图：在问题6中,通过问题串的形式,向学生展示三角函数运算性质中将要学习的内容及各个运算性质主要解决什么问题.层层设问,激发学生主动思考,提高学生发现问题、解决问题的能力,并且通过一连串问题,厘清知识的前后顺序,形成知识框架,为之后开展知识点的课时教学提供思路和骨架,明确教学路线[3].

2.4 环节4:课堂小结

师生活动:引领学生回顾本节课内容,再通过小组交流,形成三角函数单元的知识框架.最后对各小组展示的内容进行点评总结,确定三角函数单元教学知识框架(如图4所示).

三角函数—预备知识———任意角与弧度制三角函数的概念与表示正弦函数余弦函数正切函数 性质图象性质周期性对称性单调性最值 运算性质同角三角函数的基本关系诱导公式三角恒等变换 应用