基于路径补偿的激光投影图形转角偏差矫正研究

杨嘉亮，侯茂盛，李天雄，史铮雪，李丽娟

（长春理工大学 光电工程学院，长春 130022）

随着科技水平的提高，现代先进制造装配业对精度、速度和效率都有较高要求。国外从20世纪80 年代初就开展了激光扫描投影系统的研究与应用，激光扫描投影技术是利用CAD 数模，激光器发射出激光光束，通过双轴振镜运动，快速转折将投影图形轮廓数据以1∶1 的比例投影在物体表面上形成高精度的图形，激光扫描投影系统能够辅助操作人员大幅提高生产效率和装配精度，实现制造装配生产的智能化，现已广泛应用于先进制造领域［1-2］。

侯茂盛等人［3］针对激光扫描投影技术与仪器开展了较深入的研究工作，先后研究了改进Fleury 算法优化扫描投影路径、结合激光测距的新型激光扫描投影系统与标定方法［4-6］、特征自适应的激光扫描投影图形控制点提取及优化方法以实现针对不同图形特征的投影控制点自适应分布等［7-9］。然而，在利用激光扫描投影系统实际工作中，还发现在投影复杂或者同时投影较多的零部件图形时，易在转角点处产生轮廓偏差导致图形失真，严重影响了投影图形的精准度。上述问题影响激光投影系统在先进制造装配现场的实际应用效果。国内相关学者针对上述问题开展了相关研究，如赵毅［7］针对拐角轮廓误差提出了一种指令延时法消除转角轮廓误差；赵文路等人［10］研究了一种针对直线拐角的插补算法提高标记效果。上述几种针对消除转角偏差的研究方法都具有很大的局限性，如采用在拐角处设置激光转跳延时来消除轮廓偏差会降低投影扫描速度，而改变扫描图形拐角投影轨迹则又会影响投影图形显示效果，频繁控制激光器的通断和调整激光器的功率，使激光器在图形转角处降低功率，则对激光器要求较高，难以进行样机系统集成，无法达到理想效果。

为解决投影图形失真问题，本文提出并研究了基于转角点处路径补偿的轮廓偏差矫正方法，在转角处插补自适应路径以消除投影图形转角处偏转误差，使其具有更好的图形显示效果。

1 转角误差分析

在双轴振镜系统中，假设x、y轴振镜扫描系统均为I 型二阶系统，图1 是传递函数框图，图中Ri(S)为输入信号的拉氏变换，ki为各轴的刚度系数。

图1 典型二阶二轴轮廓系统框图

其开环传递函数Gi(S)为：

各轴的无阻自由振荡频率ωni和阻尼比ξi为：

在激光投影中投影的任何图形都可以看作是无数个矢量段的组成，所以任何投影轨迹都可以看作直线轨迹。本文在研究稳态轮廓误差时，将投影点的实际投影位置距离理论投影图形的垂直距离称为轮廓误差，见图2（a）中的ε；将同一时刻实际投影点的位置距离理论投影点位置的距离称为跟踪误差，跟踪误差在x、y轴的偏差分量设为ex、ey，如图2（a）所示。

图2 轮廓误差的定义和单位斜坡响应曲线

设扫描速度为v，则直线轨迹的稳态轮廓误差为：

在直线指令下，各轴输入信号为斜坡信号，各自的时域响应为：

单位斜坡响应曲线如图2（b）所示，响应曲线相对于指令信号的延时量为（各轴的伺服延迟）：

转角误差是指令轨迹发生转折时，在实际转角偏离指令轨迹而产生的误差，如图3 所示。

图3 转角误差示意图

如图3 设在t1时刻，激光实际图形投影轨迹还没有扫描到转角点R，由于此时指令轨迹突然换向的惯性作用，实际的投影点会继续向R点运动。但在理论轨迹坐标数据点新的指令作用下，投影点实际轨迹会偏离原投影轨迹，向下一个指令轨迹靠近，从而无法到达理论转角点R点造成实际投影处的弧形轨迹。仍从时域来进行分析，同样假设两轴的系统参数完全一样，并省略相应变量的x、y下标。设各轴的单位斜坡响应为c(t) ，扫描线速度v保持不变，各轴的指令速度在R点分别由vx1、vy1变到vx2、vy2，且：

则t＞t1时：

设t＞t1时，结束第一段指令轨迹的启动过渡过程，此时的投影轨迹方程为：

得到定义指令轨迹转折点到拐角轨迹的最短距离ε。

2 方法总体框架

所研究的基于路径补偿的激光投影图形校正方法，即为识别投影图形转角点和角度，并针对转角处进行投影图形路径插补，最后对插补的数据坐标点进行点云算法的压缩优化。本文所研究的方法具体流程如下：

首先，获取需要装配的零部件投影轮廓线框图形的三维坐标信息。

然后，用K 邻域搜索对已知的投影轮廓线框图形三维坐标数据点进行处理，通过计算坐标点的曲率和法向量信息判断出转角点位置，并针对投影图形转角点处进行路径插补。

最后，再引入弦高偏移算法对插补的数据点进行压缩优化处理，将压缩优化后的插补点和原投影图形的三维坐标结合作为最终投影图形的坐标点，再换算为扫描振镜的驱动信号完成投影。该方法能够实现对转角偏差的优化，提高投影图形显示频率，降低转角偏差现象发生概率，保证投影图形形状准确度的同时还能够提高扫描投影图形显示效果。本文方法的整体流程如图4 所示。

图4 整体流程图

3 基于K 领域搜索的转角点判断

本文把激光点云数据中能反映出投影图形拐角信息的数据点称为转角点。为了能够方便高效地识别和提取拐点及其转角角度，本文利用与点云数据有关的曲率和法向夹角来判断是否为转角点，并提取转角点。

3.1 曲率计算

曲率反映了局部曲线的变化程度，是本文用来识别转角点的重要依据。假设g1和g2为点云数模型中的任意两点，若g1点位于曲率变化的曲线上，其邻域点与切平面间的距离相对较远，则该点为转角点；g2点位于曲率不变的直线上，则其邻域点就在切平面的上，该点为非转角点。

为了计算数据点曲率，设gi为获取的N个数据点集合G={gi(xi，yi，zi)|i= 1，2，3，…，N}中的一点，用gij表示i点的第j个邻域点，则gi点的K个邻域点集表示为{gij(xij，yij，zij)|j= 1，2，3，…，K}，邻域的重心可以表示为：

则计算出gi点的协方差矩阵Ti表示为［12］：

求解出协方差矩阵Ti的特征值，本文只需对二维数据进行处理，所以只会得到两个特征值，并取最小特征值λ1，则数据点gi处的曲率ti可以表示为：

若某个数据点的曲率ti＞0，则g1点被判定为转角点，若某个数据点的曲率ti= 0，则g1点被判定为非转角点。通过上述计算可以将解析得到的数据点划分为转角点与非转角点，为后续转角点处插补路径做好准备。

3.2 法向量计算

法向量作为衡量曲线转角或者直线的度量，利用这一几何特征可以用来判断曲线的转角点的角度。通过得到矩阵Ti的最小特征值λ1，求解出对应的特征向量n1作为所求数据点的法向量。得到数据点g1和g2对应的法向量分别为n1和n2，则法向量夹角可以表示为：

其中夹角ρ的取值范围为[0，π ]，设转角点的角度为θ，则：

若cosκ≥0 则判断该角为锐角，转角点角度为θ=κg1g2，若cosκ≥0，则判断该角度为钝角，转角点角度和法向量角度互补为θ= π -κg1g2。通过上述方法可以计算出转角的角度θ，为后续转角点处插补路径做好准备。

4 转角点路径插补原理

路径插补的原理如图5（a）所示，由图可知插补的路径是由两段延长线段和与延长线段相切的原相切圆组成平滑的插补路径。其插补步骤如下：

图5 路径插补原理图和仿真结果

（1）获取到判断出的转角点c()x0，y0和角度θ并设定L；

（2）计算半径r以及x轴和y轴偏移分量Δx、Δy，可以得到E点和D点的坐标为()x0±Δx，y0±Δy，则有：

（3）已知M点为ED中点，根据向量和向量相乘为0，向量的长度平方为半径r的平方。可以得到圆心F的坐标：

（4）最后根据步长插补法对C点到D点，E点到C点进行直线步长插补，对D点到E点进行圆弧步长插补。插补仿真结果如图5（b）所示。

配合激光器通断的扫描原理为：投影点的实际行进轨迹为A-C-D-E-C-B，配合精确控制激光的开关，使出光段在折线ACB上而不超出其范围。即在A点处开光，C点处关闭激光，经过CD-E（此时采取相切折线和圆弧的方式补偿路径），回到C点后开光至B点处关闭激光，以此类推。

5 弦高偏移压缩算法

为了将插补后的点进行压缩优化从而达到在保证矫正角度偏差的前提下缩短投影图形扫描的时间。所以采用弦高偏移算法对插补后的数据点进行压缩优化处理，该算法处理对象时极大地保留了投影图形的轮廓特征，能够最好地完成对投影图形轮廓数据的压缩优化，从而使得投影出来的图形不失真，达到最好的投影效果。弦高偏移压缩算法的原理如图6 所示。

图6 弦高偏移压缩算法原理图

该算法具体步骤如下：

（1）根据获取的线框图形数据点，按照公式（17）设定弦高阈值ηh：

式中，dpspw为第s个和第w个数据点之间的欧氏距离；α为两个向量之间的夹角。如图6 中，h1=|p0p1|sinα，α为向量v1和v2的夹角。

式中，n为数据个数；hi为第i个数据点的弦高。

（2）判断两个数据点之间的弦高hi是否超过限高阈值ηh，若超过则保留该数据点，输出该数据点的坐标值，若未超过则删除该数据点，依次计算下一个数据点的弦高，如图6，若hi＞ηh则P1点被保留，将作为下一次计算弦高的起点；反之则删除掉P1点，然后继续以P0为起点计算弦的弦高，之后继续做判断，直到所有的数据点都判断完毕，输出最后保留下来的数据点［14］。

（3）最后得到的数据集就是被优化后的坐标数据，将优化后的点和线框图形坐标点融合。

图7 为用弦高偏移算法对插补路径数据点的优化前后仿真图对比图，仿真结果插补的路径处的坐标由52 个坐标点优化为27 个坐标点。

图7 本文方法优化前后的仿真对比

6 实验结果

激光扫描投影系统如图8 所示，本系统是由激光器、准直扩束模块、动态聚焦模块、二维振镜、数据采集卡、光电探测模块等组成。激光器发出激光通过准直扩束模块和聚焦模块实现在投影工作面的精准聚焦，通过二维扫描振镜扫描投影工作面的靶标点完成标定工作，通过数据采集卡和光电探测模块获取靶标点的数据信息解算出二维振镜和投影工作面的相对位置信息，解算出二维振镜的坐标系和投影工作面坐标系的转换关系，进而将投影图形理论坐标点转化为投影工作面坐标系下的坐标点。通过DAQ 数据采集卡将坐标信息转化为电压值，并将电压信号发送给双轴扫描振镜，通过驱动二维扫描振镜配合激光器的通断实现在待投影工作面上投影出图形精准清晰的轮廓［7］。

图8 激光扫描投影系统

为了验证本文方法的有效性及投影图形显示效果，实验将信号采样速率设置为12 × 104Sa/s，并选取30°、60°、90°、120°四个具有特征性的角度来进行实验论证。如图9 所示，可明显观察到实际投影图形相较于理论投影图形在转角点红色标记处有明显的形变。

图9 四个角度转角偏差

为了补偿转角点处偏差，按本文方法进行的路径补偿实验如图10 所示，可以清晰地看到转角点处路径补偿的过程。

图10 四个角度转角路径补偿

经过本文方法最终优化后的四个角度，配合激光的通断进行实验，如图11 所示，可以明显看到消除了转角点处的偏差。

图11 配合激光器通断的转角实验

7 结论

本文针对投影图形转角处明显的拐角钝化，提出了基于转角点处路径补偿的偏差校正方法。首先分析了在激光投影系统中投影图形转角处轮廓偏差产生的原因，然后通过计算曲率和法向量从坐标信息点中判断出转角点坐标信息和转交角度信息，并针对转角点进行自适应路径插补。同时为了提高扫描投影图形的扫描速率，对插补的路径数据信息点进行弦高压缩算法的优化和稀释，可将插补路径的数据点压缩至51.92%，从而达到减少路径补偿处扫描时间的效果。最后将优化后的路径插补数据点和原投影图形三维坐标点结合作为最终的投影图形坐标点，并配合激光器的通断进行投影，最终实现对投影图形转角偏差的矫正。所研究方法可以有效消除投影图形转角点处的偏差，提高投影图形的显示效果。在装配现场中具有更好的实际应用价值。