拓扑系统中的内部元及其应用

白荣荣, 吴洪博

(陕西师范大学 数学与统计学院, 陕西 西安 710119)

根据研究对象的不同,拓扑学的研究方法可以分为有点化方法和无点化方法[1-2].两种方法各有其特点与优势,可以相互借鉴[3-6].1989年,Vickers[7]引进了一种新型的拓扑学研究对象-拓扑系统,成功的将两种方法融合为一体.Vickers[7]主要从格序理论方面对拓扑系统的性质和应用进行了讨论.近几年来,国内学者对拓扑系统的性质和应用均有研究,并且取得了一些相关成果[8-16].

本文结合拓扑空间中开集和拓扑系统中开元的关联性,在拓扑系统中提出了内部元的概念,并对其相关性质进行了研究.本文的工作主要包含三部分:1) 在拓扑系统中引入内部元概念,讨论了内部元的基本性质;2) 在点集X与FrameA之间通过映射范围Ex:A→2X,内部元映射Int:2X→A定义了内部元算子,讨论了内部元算子的相关性质,给出了由内部元算子确定拓扑系统的方法;3) 利用内部元对拓扑系统之间的连续映射进行了等价刻画.

1 预备知识

定义1[3,7]FrameA是满足以下条件的偏序集:

1) ∀S⊆finA,S的下确界存在,即∧S存在;

2) ∀S⊆A,S的上确界存在,即∨S存在;

3) 满足第一无限分配律,即,∀a∈A,∀S⊆A,有a∧(∨S)=∨{a∧s:s∈S}.

注11) 本文中S⊆finA表示S是A中的有限子集;

2) 由于∨-完备格是完备格,完备格是有界格,将其中最大元记作1,最小元记作0.又在格中两个分配律等价,因此Frame是分配格.

定义2[3,7]设A,B是Frame.若映射f:A→B满足以下条件:

1) ∀S⊆finA,f(∧S)=∧f(S);

2) ∀S⊆A,有f(∨S)=∨f(S);

则称f:A→B是Frame同态.

定义3[7]设A是Frame,X是集合,|=⊆X×A,若(x,a)∈|=,则称x满足a,记作x|=a.若|=满足:

1)∀S⊆finA,∀x∈X,x|=∧S⟺∀a∈S,x|=a;

2)∀S⊆A,∀x∈X,x|=∨S⟺∃a∈S,使得x|=a;

则称(X,A,|=)为一个拓扑系统.

在本文中,将拓扑系统(X,A,|=)记为D,将X记为PtD,将A记为ΩD.

引理1[7]设D=(PtD,ΩD,|=)是拓扑系统,1,0分别是ΩD的最大元和最小元.∀a,b∈ΩD,则

1) ∀x∈PtD,x|=1;

2) ∀x∈PtD,x|≠0;

3) 若x|=a,a≤b,则x|=b.

引理2[7]设D=(PtD,ΩD,|=)是拓扑系统.定义映射ex:ΩD→2PtD,

∀a∈ΩD,ex(a)={x∈PtD,x|=a}

设Ω(PtD)={ex(a)|a∈ΩD},则Ω(PtD)是PtD上的拓扑,并且,

1) ex(0)=∅,ex(1)=2PtD;

2) ∀a,b∈ΩD,ex(a∧b)=ex(a)∩ex(b);

3) ∀S⊆ΩD,ex(∨S)=∪{ex(s)|s∈S}.

2 拓扑系统中的内部元及基本性质

借助拓扑系统中的Frame的成员定义拓扑系统中点集部分的子集的内部元, 并讨论与内部元相关的性质.

定义4在拓扑系统D=(PtD,ΩD,|=)中,设A⊆PtD.令

A°=∨{a|a∈ΩD,ex(a)⊆A}

称A°为集合A在拓扑系统D=(PtD,ΩD,|=)中的内部元.

定理1在拓扑系统D=(PtD,ΩD,|=)中,内部元有如下的性质:

1) ex(1)=PtD,(PtD)°=1;

2) ∀A⊆PtD,ex(A°)⊆A;

3) ∀A,B⊆PtD,若A⊆B,则A°≤B°;

4) ∀A,B⊆PtD,A°∧B°=(A∩B)°;

5) ∀a∈ΩD,a≤(ex(a))°;

6) ∀A⊆PtD,a∈ΩD,则ex(a)⊆ex(A°)当且仅当a≤A°;

7) ∀A⊆PtD,(ex(A°))°=A°;

8) ∀a∈ΩD,ex((ex(a))°)=ex(a).

证明在拓扑系统D=(PtD,ΩD,|=)中,

1) 由引理1中1)知∀x∈PtD,x|=1.即,∀x∈PtD,x∈ex(1).因此,ex(1)=PtD.

因为∀a∈ΩD,则a≤1,结合引理2中2)可知:ex(a)⊆ex(1)=PtD.所以,由定义4得

(PtD)°=∨{a|a∈ΩD,ex(a)⊆PtD}=
∨{a|a∈ΩD}=1

2) ∀A⊆PtD,根据定义4,引理2中3)得

ex(A°)=ex(∨{a|a∈ΩD,ex(a)⊆A})=
∪{ex(a)|a∈ΩD,ex(a)⊆A}⊆A

3) ∀A,B⊆PtD,若A⊆B,因此,

{a|a∈ΩD,ex(a)⊆A}⊆

{a|a∈ΩD,ex(a)⊆B}

因此,

∨{a|a∈ΩD,ex(a)⊆A}≤

∨{a|a∈ΩD,ex(a)⊆B}

因此,

A°≤B°

4) ∀A,B⊆PtD.首先,由于A∩B⊆A,根据3)得

A°≥(A∩B)°;同理,B°≥(A∩B)°

其次,由2)知:ex(A°)⊆A,ex(B°)⊆B,因此,A°∧B°≥(A∩B)°,

ex(A°)∩ex(B°)⊆A∩B

结合引理2中2)得

ex(A°∧B°)⊆A∩B

因此,A°∧B°∈{a|a∈ΩD,ex(a)⊆A∩B},再结合定义4得

(A∩B)°=∨{a|a∈ΩD,ex(a)⊆A∩B}≥A°∧B°

综合以上两方面得

A°∧B°=(A∩B)°

5) ∀a∈ΩD,因为a∈{b|b∈ΩD,ex(b)⊆ex(a)},因此,根据定义4得

(ex(a))°=∨{b|b∈ΩD,ex(b)⊆ex(a)}≥a

6) 设A⊆PtD,a∈ΩD.

一方面,若ex(a)⊆ex(A°),又由定理1中2)得

ex(A°)⊆A

因此,ex(a)⊆A.结合3)得

(ex(a))°≤A°

又根据5)得

a≤(ex(a))°

因此,a≤A°.

另一方面,若a≤A°,结合引理2中2)可得

ex(a)⊆ex(A°)

结合两方面得ex(a)⊆ex(A°)当且仅当a≤A°.

7) ∀A⊆PtD,首先,A°∈ΩD,其次,A°≤A°,利用6)得

8) ∀a∈ΩD,由2)得ex((ex(a))°)⊆ex(a);由5)得a≤(ex(a))°,由范围映射的保序性直接可得ex(a)⊆ex((ex(a))°),所以,ex((ex(a))°)=ex(a).

定理2在拓扑系统D=(PtD,ΩD,|=)中,

{A°|A∈2PtD}={(ex(a))°|a∈ΩD}

证明一方面,∀a∈ΩD,由于ex(a)∈2PtD,因此,∀a∈ΩD,(ex(a))°∈{A°|A∈2PtD}.所以,

{A°|A∈2PtD}⊇{(ex(a))°|a∈ΩD}

另一方面,∀A∈2PtD,由定理1中7)得(ex(A°))°=A°.又由于A°∈ΩD,因此,

(ex(A°))°∈{(ex(a))°|a∈ΩD}

两者结合得A°∈{(ex(a))°|a∈ΩD}.所以,

{A°|A∈2PtD}⊆{(ex(a))°|a∈ΩD}

综合以上两方面得

{A°|A∈2PtD}={(ex(a))°|a∈ΩD}

定理3在拓扑系统D=(PtD,ΩD,|=)中,

{A∈2PtD|ex(A°)=A}={ex(a)|a∈ΩD}

证明一方面,∀A∈2PtD,如果ex(A°)=A,由于A°∈ΩD,因此,ex(A°)∈{ex(a)|a∈ΩD},从而,A∈{ex(a)|a∈ΩD}.所以,

{A∈2PtD|ex(A°)=A}⊆{ex(a)|a∈ΩD}

另一方面,∀a∈ΩD,由定理1中8)知:

ex((ex(a))°)=ex(a)

因此,ex(a)∈{A∈2PtD|ex(A°)=A}.所以,

{A∈2PtD|ex(A°)=A}⊇{ex(a)|a∈ΩD}

综合以上两方面知:

{A∈2PtD|ex(A°)=A}={ex(a)|a∈ΩD}

3 拓扑系统中的内部元算子

定义5(内部元算子) 设X是非空集合,L是Frame.若双映射:Ex:L→2X,Int:2X→L满足条件:

1) Int(X)=1,Ex(1)=X;

2) ∀A⊆X,A⊇Ex(Int(A));

3) ∀a,b∈L,Ex(a∧b)=Ex(a)∩Ex(b);

4) ∀A,B⊆X,Int(A)∧Int(B)=Int(A∩B);

5) ∀a∈L,Int(Ex(a))≥a;

则称(Ex,Int)是(X,L)上的内部元算子.

引理3设X是非空集合,L是Frame,(Ex,Int)是(X,L)上内部元算子.则

1) Ex:L→2X是保序映射.即,∀a,b∈L,若a≤b,则Ex(a)⊆Ex(b);

2) Int:2X→L是保序映射.即,∀A,B∈2X,若A⊆B,则Int(A)≤Int(B);

3) ∀A∈2X,Int(Ex(Int(A)))=Int(A);

4) ∀a∈ΩD,Ex(Int(Ex(a)))=Ex(a);

证明1) ∀a,b∈L.若a≤b,则a∧b=a.因此,Ex(a∧b)=Ex(a).结合定义5中3)得

Ex(a)∩Ex(b)=Ex(a)

因此,Ex(a)⊆Ex(b).

2) 类似1)的证明,结合定义5中4)可证,略.

3) 一方面,由内部算子的条件2)得

Ex(Int(A))⊆A

结合引理3中2)可得

Int(Ex(Int(A)))≤Int(A)

另一方面,由内部算子的条件5)得

Int(Ex(Int(A)))≥Int(A)

综合两方面得

Int(Ex(Int(A)))=Int(A)

4) ∀a∈ΩD.由定义5中2)得

Ex(Int(Ex(a)))⊆Ex(a)

由定义5中5)得Int(Ex(a))≥a,结合引理3中1)得

Ex(Int(Ex(a)))⊇Ex(a)

所以,Ex(Int(Ex(a)))=Ex(a)

引理4设X是非空集合,L是Frame,(Ex,Int)是(X,L)上内部元算子.则集族

Τ={A∈2X|Ex(Int(A))=A}

是集合X上的拓扑.

证明1) 由定义5中1)得

Ex(Int(X))=Ex(1)=X

因此,X∈Τ;

再由定义5中2)得∅⊇Ex(Int(∅)),因此,∅=Ex(Int(∅)),因此,∅∈Τ;

2) 设A,B∈Τ,则

A=Ex(Int(A)),B=Ex(Int(B))

结合定义5中3),定义5中4)得

Ex(Int(A∩B))=Ex(Int(A)∧Int(B))=

Ex(Int(A))∩Ex(Int(B))=A∩B

因此,A∩B∈Τ;

3) 设{Aj|j∈J}⊆Τ,则

∀j∈J,Aj=Ex(Int(Aj))

一方面,由定义5中2)得

进而,

再结合∀j∈J,Aj=Ex(Int(Aj))得

因此,

综合上面两方面得

由1)～3)的结果知:集族

Τ={A∈2X|Ex(Int(A))=A}

是集合X上的拓扑.

引理5设X是非空集合,L是Frame,(Ex,Int)是(X,L)上内部元算子.则Ex:L→2X是Frame同态.

证明1) ∀a,b∈L.根据定义5中3)可得

Ex(a∧b)=Ex(a)∩Ex(b)

2) ∀{aj|j∈J}⊆L.

一方面,由于∀j∈J,aj≤∨{aj|j∈J}.结合引理3中1)得

∀j∈J,Ex(aj)⊆Ex(∨{aj|j∈J})

因此,

∪{Ex(aj)|j∈J}⊆Ex(∨{aj|j∈J})

另一方面,由于∀j∈J,

∪{Ex(aj)|j∈J}⊇Ex(aj)

由引理3中2)得∀j∈J,

Int(∪{Ex(aj)|j∈J})≥Int(Ex(aj))

又由定义5中5)得

∀j∈J,Int(Ex(aj))≥aj

将两者结合得

Int(∪{Ex(aj)|j∈J})≥aj

因此,

Int(∪{Ex(aj)|j∈J})≥∨{aj|j∈J}

结合引理3中1)得

Ex(Int(∪{Ex(aj)|j∈J}))⊇Ex(∨{aj|j∈J})

再由定义5中2)得

∪{Ex(aj)|j∈J}⊇Ex(Int(∪{Ex(aj)|j∈J}))

因此,由传递性得

∪{Ex(aj)|j∈J}⊇Ex(∨{aj|j∈J})

综合以上两方面得

∪{Ex(aj)|j∈J}=Ex(∨{aj|j∈J})

因此,根据定义2知Ex:L→2X是Frame同态.

引理6设X是非空集合,L是Frame,(Ex,Int)是(X,L)上内部元算子.定义从X到L的二元关系|=如下:

∀(x,a)∈X×L,x|=a当且仅当x∈Ex(a)

则(X,L,|=)是拓扑系统.

证明由引理5知:Ex:L→2X是Frame同态.下面验证二元关系|=满足定义3中1)和2).

1) ∀S⊆finL,结合定义5中3)得x|=∧S,当且仅当x∈Ex(∧S),当且仅当x∈∩{Ex(s)|s∈S},当且仅当∀s∈S,x∈Ex(s),当且仅当∀s∈S,x|=s;

2) ∀S⊆L,由引理5知:

Ex(∨S)=∪{Ex(s)|s∈S}

因此,x|=∨S,当且仅当x∈Ex(∨S),当且仅当x∈∪{Ex(s)|s∈S},当且仅当∃s∈S,x∈Ex(s),当且仅当∃s∈S,x|=s.

根据定义3知:(X,L,|=)是拓扑系统.

4 Kuratovski型内部元算子定理

定理4(内部元算子定理) 设X是非空集合,L是Frame,(Ex,Int)是(X,L)上内部元算子.则存在唯一的拓扑系统D=(X,L,|=),使得在该拓扑系统中,∀A⊆X,A°=Int(A).

证明设X是非空集合,L是Frame,(Ex,Int)是(X,L)上内部元算子.定义从X到L的二元关系“|=”如下:

∀(x,a)∈X×L,x|=a当且仅当x∈Ex(a)

则由引理6知D=(X,L,|=)是拓扑系统,且由“|=”定义和引理2可知:∀a∈L,

ex(a)=Ex(a)

在拓扑系统(X,L,|=)中,∀A∈2X,由定义4知:A°=∨{a|a∈L,Ex(a)⊆A}.

一方面,由定义5中2)知:Ex(Int(A))⊆A,又Int(A)∈L,因此,

Int(A)∈{a|a∈L,Ex(a)⊆A}

另一方面,∀a∈L,若Ex(a)⊆A,则结合引理3中2)可得Int(A)≥Int(Ex(a));又由定义5中5)得Int(Ex(a))≥a.因此,Int(A)≥a.

综合两方面知:

A°=∨{a|a∈L,Ex(a)⊆A}=Int(A)

下面证明满足条件的拓扑系统D=(X,L,|=)的唯一性,若拓扑系统D1=(X,L,|=1)也满足:

∀A⊆PtD,A°=Int(A)

在拓扑系统D1=(X,L,|=1)中,∀a∈L,用ex1(a)记a在D1中的范围,因此,

1) (ex1(a))°=Int(ex1(a));

2) (Ex(a))°=Int(Ex(a)).

先证∀a∈L,ex1(a)=Ex(a).

∀a∈L.

一方面,由定理1中5)得(ex1(a))°≥a,再结合1)得

a≤Int(ex1(a))

再结合引理3中1)得

Ex(a)⊆Ex(Int(ex1(a)))

又根据定义5中2)得

Ex(Int(ex1(a)))⊆ex1(a)

因此,

Ex(a)⊆ex1(a)

另一方面,由定义5中5)得Int(Ex(a))≥a,再结合2)得

(Ex(a))°≥a

再结合引理2可知:

ex1((Ex(a))°)⊇ex1(a)

又根据定理1的2),得

ex1((Ex(a))°)⊆Ex(a)

因此,Ex(a))⊇ex1(a).

综合以上两方面得

∀a∈L,Ex(a)=ex1(a)

再证|=1=|=.∀a∈L,∀x∈X.

由引理2知:

x|=1a当且仅当x∈ex1(a)

结合Ex(a)=ex1(a)可知:

x|=1a当且仅当x∈Ex(a)

由|=的定义可知:

x∈Ex(a)当且仅当x|=a

因此,∀a∈L,∀x∈X.x|=1a当且仅当x|=a.所以,|=1=|=.

因此,两个拓扑系统是一致的.

5 连续映射的等价刻画

利用内部元对连续映射进行等价刻画.

定义6[7]设D=(PtD,ΩD,|=),E=(PtE,ΩE,|=)是拓扑系统,映射Ptf:PtD→PtE和Frame态射Ωf:ΩE→ΩD构成的偶对(Ptf,Ωf)称为从拓扑系统D=(PtD,ΩD,|=)到拓扑系统E=(PtE,ΩE,|=)的映射,记作f:D→E.

再若∀x∈PtD,∀b∈ΩD,

x|=Ωf(b)当且仅当Ptf(x)|=b

则称f:D→E是连续映射.

为后面讨论方便,先给出下面的连续映射的等价描述.

定理5设D=(PtD,ΩD,|=),E=(PtE,ΩE,|=)是拓扑系统,映射f:D→E连续的充要条件是:∀b∈ΩD,

ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b))

证明必要性) 设f:D→E是连续的.∀b∈ΩD.

根据引理2定义6和f:D→E连续可得∀x∈PtD,x∈ex(Ωf(b)),当且仅当x|=Ωf(b)当且仅当Ptf(x)|=b,当且仅当Ptf(x)∈ex(b),当且仅当x∈(Ptf)-1(ex(b)).

因此,∀b∈ΩD,

ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b))

充分性) 设∀b∈ΩD,

ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b))

∀b∈ΩD,∀x∈PtD.

根据引理2和ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b))可得x|=Ωf(b)当且仅当x∈ex(Ωf(b)),当且仅当x∈(Ptf)-1(ex(b)),当且仅当Ptf(x)∈ex(b),当且仅当Ptf(x)|=b.

因此,∀b∈ΩD,∀x∈PtD,x∈ex(Ωf(b))当且仅当Ptf(x)|=b.

因此,根据定义6可知:映射f:D→E是连续映射.

定理 6设D=(PtD,ΩD,|=),E=(PtE,ΩE,|=)是拓扑系统,f:D→E是连续映射.则以下结论成立.

1) ∀U⊆PtE,ex(Ωf(U°))=(Ptf)-1(ex(U°));

2) ∀U⊆PtE,ex(Ωf(U°))⊆ex(((Ptf)-1(U))°);

3) ∀b∈ΩE,ex(Ωf((ex(b))°))=ex(Ωf(b)).

证明1) ∀U⊆PtE,

由定义4知:U°∈ΩE,已知f:D→E是连续映射,因此由定理5直接得

ex(Ωf(U°))=(Ptf)-1(ex(U°)).

2) ∀U⊆PtE,∀x∈PtD.

若x∈ex(Ωf(U°)),由引理2中ex:ΩD→2PtD的定义可知:Ptf(x)|=U°.因此,Ptf(x)∈ex(U°).结合定义4和引理2可知:

∃b∈ΩE使得Ptf(x)∈ex(b)⊆U.

因此,∃b∈ΩE使得

x∈(Ptf)-1(ex(b))⊆(Ptf)-1(U)

由于f:D→E是连续映射,由定理5可得

ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b))

因此,∃b∈ΩE使得

x∈ex(Ωf(b))⊆(Ptf)-1(U)

根据定义4可知:x∈ex(((Ptf)-1(U))°).因此,

ex(Ωf(U°))⊆ex(((Ptf)-1(U))°)

3) ∀b∈ΩE,由定理1中8)得ex((ex(b))°)=ex(b),又f:D→E是连续映射,结合定理5得

ex(Ωf((ex(b))°))=

(Ptf)-1(ex((ex(b))°))=

(Ptf)-1(ex(b))=ex(Ωf(b))

推论1设D=(PtD,ΩD,|=),E=(PtE,ΩE,|=)是拓扑系统,f:D→E是连续映射,U⊆PtE.则

(Ptf)-1(ex(U°))⊆ex(((Ptf)-1(U))°)

证明结合定理6中1)和2)直接可得.

定理7设D=(PtD,ΩD,|=),E=(PtE,ΩE,|=)是拓扑系统,映射f:D→E连续的充要条件是下面1)和2)同时成立:

1) ∀U⊆PtE,ex(Ωf(U°))=(Ptf)-1(ex(U°))

2) ∀b∈ΩE,ex(Ωf((ex(b))°))⊆ex(Ωf(b))

证明必要性) 根据定理6中1)和3)直接可得.

充分性) ∀b∈ΩE,则ex(b)⊆PtE,代入1)得

ex(Ωf((ex(b))°))=(Ptf)-1(ex((ex(b))°))

又根据定理1中8)得ex((ex(b))°)=ex(b),因此,

ex(Ωf((ex(b))°))=(Ptf)-1(ex(b));

再根据定理1中5)得(ex(b))°≥b,结合Ωf:ΩE→ΩD和ex:ΩD→2PtD的保序性可得

ex(Ωf((ex(b))°))⊇ex(Ωf(b))

结合2)得

ex(Ωf((ex(b))°))=ex(Ωf(b))

结合上面的等式得

∀b∈ΩE,ex(Ωf(b))=(Ptf)-1(ex(b))

因此,根据定理5可知:映射f:D→E是连续映射.