作用到单位向量上的线性变换轨迹解析

李天竹 严维军 陈昊 肖业亮

摘 要：线性变换是线性空间到其自身的线性映射.当在线性空间中取定一组基以后，在线性变换与矩阵之间就建立起一一对应的关系，这样就可以使用矩阵运算来解决线性变换问题.尽管线性变换较为抽象，但在教学中可运用几何直观法将其显性化、可视化，从而降低教学难度，提高教学实效.为了挖掘教学深度，强化并优化概念教学，本文运用矩阵的特征值与特征向量等知识，从理论上对单位向量x经二阶矩阵A作用后所得到的新向量Ax的轨迹进行了分析，根据矩阵A的奇异性等特性给出了Ax轨迹的生成条件，并通过仿真实验对结果进行了验证.

关键词：线性变换；单位向量；轨迹；理论分析

一、概述

线性变换是线性代数的一个重要的基本概念和研究对象，有着丰富的理论内容.常用的线性变换有旋转变换、伸缩变换以及投影变换等［1］ .迄今，线性变换在机器学习、图像处理、语音识别、压缩感知等众多领域都得到了应用［23］ .正因为如此，熟练掌握线性变换知识对于学生更深入的学习是非常重要的.为了便于学生从几何上理解线性变换这一抽象的概念，引入恰當的动画模型进行可视化教学就显得十分必要.为此，作用在单位向量上的线性变换模型就以其典型、直观等特性在教学中被广为采用［46］ .为了使该模型在教学中更好地发挥作用，本文基于A取一般的二阶矩阵的情形，从理论上对向量Ax轨迹的类型及生成条件进行了深入细致的研究.

二、预备知识

令二阶方阵A=abcd（a，b，c，d∈R，且a2 +b2 +c2 +d2 >0），单位向量x=（cosθ，sinθ） T（0SymbolcB@

θ<2π）.做线性变换ξ=Ax=（X，Y）T ，则有

X=acosθ+bsinθ，

Y=ccosθ+dsinθ.（1）

于是

cX-aY=-（ad-bc）sinθ，

dX-bY=（ad-bc）cosθ.（2）

从而

（c2 +d2 ）X2 -2（ac+bd）XY+（a2 +b2 ）Y2 =（ad-bc） 2 .（3）

下面我们根据矩阵A的奇异性等特征，研究向量Ax随着x变化的轨迹.

三、A为非奇异矩阵

此时，有

A=ad-bc≠0，（4）

进而推出

a2 +b2 >0， c2 +d2 >0.（5）

（一）当ac+bd=0时

此时，方程（3）等号左端不含交叉项（即XY项）.结合（5）式，不妨假设d≠0.令ad=k，则有

a=kd，

b=-kc，（k≠0，k∈R）.（6）

从而（ad-bc） 2 =k2 （c2 +d2&nbsp;） 2 =（a2 +b2 ）（c2 +d2 ）.

于是，（3）式变为

（c2 +d2 ）X2 +（a2 +b2 ）Y2 =（a2 +b2 ）（c2 +d2 ）.（7）

以下分两种情形进行讨论.

情形一：当a2 +b2 =c2 +d2 时

结合（5）、（6）式，得：k=±1.代回（6）式，有

a=d，

b=-c，或 a=-d，

b=c.（8）

利用（5）、（7）式，得

X2 +Y2 =a2 +b2 .（9）

易知Ax的轨迹为圆，其圆心为原点，半径长为a2 +b2 .图1给出了此类的一个仿真示例，图2～图5的含义与图1相仿.

情形二：当a2 +b2 ≠c2 +d2 时

根据（5）、（7）式，得

X2 a2 +b2 +Y2 c2 +d2 =1.（10）

当a2 +b2 >c2 +d2 >0时，Ax的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上、短轴在y轴上的椭圆，其半长轴长为a2 +b2 ，半短轴长为c2 +d2 ；而当c2 +d2 >a2 +b2 >0时，Ax的轨迹为中心在原点、长轴在y轴上、短轴在x轴上的椭圆，其半长轴长为c2 +d2 ，半短轴长为a2 +b2 .

（二）当ac+bd≠0时

此时，方程（3）等号左端含交叉项.记

（c2 +d2 ）X2 -2（ac+bd）XY+（a2 +b2 ）Y2 =ξT Bξ，（11）

其中，B=c2 +d2 -ac-bd

-ac-bda2 +b2 .

B的特征多项式为

B-λE=λ2 -（a2 +b2 +c2 +d2 ）λ+（ad-bc） 2 ，（12）

特征值为

λ1 =α-Δ2=2（ad-bc） 2 α+Δ， λ2 =α+Δ2，（13）

其中，

α=a2 +b2 +c2 +d2 ，（14）

Δ=α2 -4（ad-bc） 2 =［（a-d） 2 +（b+c） 2 ］［（a+d） 2 +（b-c） 2 ］.（15）

根据题设及反证法，易知

α>0， Δ>0.（16）

利用（13）、（16）式，得

λ2 >λ1 >0.（17）

由（B-λE）U=0，求得實对称方阵B的互异特征值λ1 ，λ2 所对应的单位特征向量分别为

η1 =1τ1 （2γ，-β+Δ）T ，（18）

η2 =sgn（γ）τ2 （-2γ，β+Δ）T ，（19）

其中，

γ=ac+bd，（20）

β=a2 +b2&nbsp;-c2 -d2 ，（21）

τi =4γ2 +β+（-1） i Δ 2 （i=1，2）.（22）

因向量η1 与η2 正交，于是η1 ·η2 =0，从而

（-β+Δ）（β+Δ）=4γ2 >0，（23）

结合（16）式，有

-β+Δ>0， β+Δ>0.（24）

由（18）、（19）、（20）、（24）式知，向量ηi （i=1，2）的各个分量均不为零，这说明向量η1 与η2 都不在原坐标系OXY的坐标轴上.具体地，当γ>0时，向量η1 、η2 分别在第Ⅰ、第Ⅱ象限；而当γ<0时，向量η1 、η2 分别在第Ⅱ、第Ⅲ象限.

令P=（η1 ，η2 ），根据主轴定理［7］ ，得

PT BP=P-1 BP=diag（λ1 ，λ2 ）.（25）

做正交变换

ξ=Pξ′，（26）

其中，ξ′=（X′，Y′）T .分别以η1 、η2 为X′轴、Y′轴正方向上的单位向量建立平面右手直角坐标系.由（3）、（11）、（25）、（26）式得曲线（3）在新坐标系OX′Y′下的方程为

λ1 X′2 +λ2 Y′2 =（ad-bc） 2 .（27）

根据（17）、（27）式知，Ax的轨迹为中心在原点、对称轴不在原坐标系OXY的坐标轴上的椭圆，其长轴在X′轴上，短轴在Y′轴上，半长轴长为ad-bcλ1 ，半短轴长为ad-bcλ2 .

四、A为奇异矩阵

此时，有

A=ad-bc=0.（28）

根据（1）式及CauchySchwarz不等式，得

XSymbolcB@

a2 +b2 ，YSymbolcB@

c2 +d2 .（29）

（一）当a2 +c2 >0时

仿（6）式，利用（28）式，得

b=ka，

d=kc，（k∈R）.（30）

由（2）、（28）—（30）式，得Ax的轨迹方程为

cX-aY=0，XSymbolcB@

a2 +b2 ，YSymbolcB@

c2 +d2 .（31）

（二）当a=c=0，b2 +d2 >0时

结合（2）、（29）式，得Ax的轨迹方程为

dX-bY=0，XSymbolcB@

a2 +b2 ，YSymbolcB@

c2 +d2 .（32）

综上可知，当A为奇异矩阵时，Ax的轨迹为两端点关于原点对称的直线段.众所周知，行列式是线性变换下图形面积（或体积）的伸缩因子［1］ .结合行列式的这一几何意义，上述结果就非常容易理解了.

结语

本文对单位向量x经二阶矩阵A作用后所得到的新向量Ax的轨迹进行了详细的理论分析.结果表明，当A是非奇异矩阵时，Ax的轨迹为圆或椭圆；而当A是奇異矩阵时，Ax的轨迹退化为两端点关于原点对称的直线段.本文不仅可以使学生加深对线性变换、矩阵的行列式以及矩阵的特征值和特征向量等相关知识的理解和掌握，同时对教师的教学工作也具有一定的参考价值.为了方便应用，我们将所得到的结果进行了整理，具体可见下表.

线性变换Ax的轨迹表

矩阵A=［a  b；c  d］满足的条件

Ax的轨迹方程

曲线的类型

A为非奇异矩阵

a=d，

b=-c，或a=-d，

b=c.

X2 +Y2 =a2 +b2 .

圆

ac+bd=0，

a2 +b2 ≠c2 +d2 .

X2 a2 +b2 +Y2 c2 +d2 =1.

长轴与短轴分别在坐标轴上的椭圆

ac+bd≠0.

λ1 X′2 +λ2 Y′2 =（ad-bc） 2 ，

其中，λi =α+（-1） i Δ2（i=1，2），

α=a2 +b2 +c2 +d2 ， Δ=α2 -4（ad-bc） 2 .

长轴与短轴均不在坐标轴上的椭圆

A为奇异矩阵

a2 +c2 >0.

cX-aY=0，

X∈-a2 +b2 ，a2 +b2 ，

Y∈-a2 +b2 ，a2 +b2 .

关于原点对称的直线段

a=c=0，

b2 +d2 >0.

dX-bY=0，

X∈-a2 +b2 ，a2 +b2 ，

Y∈-a2 +b2 ，a2 +b2 .

关于原点对称的直线段

参考文献：

［1］戴维.C.雷，史蒂文.R.雷，朱迪.J.麦克唐纳.线性代数及其应用［M］.北京：机械工业出版社，2023.

［2］Wang Wencheng，Yuan Xiaohui，Wu Xiaojin，et al.Fast image dehazing method based on linear transformation［J］.IEEE Transactions on Multimedia，2017（19）：11421155.

［3］Liang Jia，Xiao Di，Tan Xue，et al.Secure Sampling and LowOverhead Compressive Analysis by Linear Transformation［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems II：Express Briefs，2022（69）：639643.

［4］Cleve B.Moler.MATLAB数值计算［M］. 北京：北京航空航天大学出版社，2023.

［5］刘慧敏，程建辉.线性代数的“可视化”教学［J］.河南工程学院学报（自然科学版），2014（26）：7880.

［6］崔秋珍.基于MATLAB的《线性代数实验课程》GUI平台设计与实现［J］.电脑知识与技术，2012（8）：75137515.

［7］樊恽，刘宏伟.线性代数与解析几何教程（下册）［M］.北京：科学出版社，2009.

资金资助：辽宁省教育科学规划“十四五”项目——高校创新型教学团队建设研究与实践（编号：JG22DB047）；辽宁省教育科学规划“十四五”项目——新时代应用型本科公共基础课混合式教学研究（编号：JG22DB055）

作者简介：李天竹（1989— ），女，辽宁大连人，硕士，研究方向：人工神经网络。