探究递推数列与概率的交汇问题

赵 伟 (邮编:443501)

湖北省长阳县第一高级中学

《普通高中数学课程标准(2017年版》将“高中数学课程以学生发展为本,落实立德树人根本任务,培育科学精神和创新意识,提升数学学科核心素养”作为课程的基本理念[1].

2019年颁布实施的《中国高考评价体系》,明确“四翼”考查要求立足于素质教育应达成的内容表现与形式表现,在强调命题基础性的同时,特别提出综合性、应用性和创新性的试题命制要求[2].因而,素养导向和能力立意是高考数学命题的鲜明特征,在不同章节、不同学科知识的交汇点处设计题目,是高考命题的基本点,也是高考命题的热点.

递推数列背景下的概率问题,是高中数学重难点之一.递推数列就是用递推关系表达数列,此类问题综合性强、思维量大,需要学生能够从背景中准确提取信息,建立数列递推关系式,将概率问题转化为数量关系的数列问题.问题类型多种多样,如线性递推、二次递推、指数递推等.了解递推数列的概念,掌握不同类型的递推数列,能够帮助学生更好地理解递推数列的规律和解题方法,能够锻炼学生的数学思维,提高学生对转化与化归、分类讨论等数学思想的运用,有利于培养学生的分析问题、解决问题的能力,提升数学建模、逻辑推理、数据分析、数学运算等核心素养.

概率与其他数学知识的交汇点主要体现在随机过程、数理统计、马尔科夫链等领域.例如在数理统计中,我们通常利用概率知识来描述随机变量的分布规律;在马尔科夫链中,我们利用概率知识来描述状态转移的过程.了解这些交汇点,能够帮助学生更好地理解概率在数学和其他学科中的应用,加强学科之间的融合,提高学生的综合实践能力.

文章采撷一些近年的高考真题和模拟题,以此为例阐述递推数列与概率交汇问题的一般解法.

1 递推数列与概率交汇问题归纳与分类解析

1.1 一阶线性递推数列an+1=pan+q(pq≠0,p≠1)型

2023年新高考Ⅰ卷第21题以概率统计为背景,分别考查了全概率公式和数列递推式,试题特色鲜明,导向明确.

例1(2023年新高考Ⅰ卷第21题改编)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

(1)略;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)略．

分析第(2)问递推关系为:若第i+1次投篮的人是甲,有两种情况:

(1)第i次投篮的人也是甲,且投篮命中;

(2)第i次投篮的人是甲,且投篮未命中,第i+1次换为甲投篮;

根据全概率公式得到pi+1=0.4pi+0.2及递推数列知识,构造等比数列即可解决问题.

解(2)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,

设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi,根据全概率公式,则

P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)

=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),

即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)

=0.4pi+0.2,

构造等比数列{pi+λ},

评注由全概率公式构造概率递推关系式,其本质上就是由第n-1次的各种试验结果,结合全概率公式去计算第n次试验中某事件发生的概率.本题是一阶线性递推数列,an=pan-1+q型,第二问的解题关键是根据题意找到递推关系式,然后根据数列知识求解．

高中数学教科书(2019年人教A版)选择性必修三第91页第10题即是问题的原型:甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,求n次传球后球在甲手中的概率[3].

此题是一阶线性递推数列,是经典的传球模型.本题结合实际生活模型,需要学生具备一定的数学建模能力,对数列的通项与求和计算能力要求较高,重点考查数学建模、数学运算等核心素养.

例2(2020年江苏卷第25题)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn．

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．

分析重点考虑第(2)问的递推关系,若第n次交换后甲口袋中有2个黑球,则第n一1次甲口袋分为两种情况:有2个黑球或只有1个黑球.

①若有2个黑球,则乙口袋全是白球,此时甲口袋只能抽出白球与乙口袋白球交换;

②若只有1个黑球,此时甲口袋只能抽出白球与乙口袋中唯一的黑球交换.由全概率公式可得

若第n次交换后甲口袋中有1个黑球,则第n一1次甲口袋分为三种情况:有2个黑球、1个黑球或没有黑球,同上由全概率公式可得

还可以用特征根法解一阶线性递推数列.在数列{an}中,a1已知,且n≥2时,an=pan-1+q(p,q是常数),

①当p=1时,数列{an}为等差数列;

②当p=0时,数列{an}为常数数列;

③当p≠1,q=0时,数列{an}为等比数列;

1.2 二阶线性递推数列an+2=pan+1+qan型

二阶线性递推数列一般可以用待定系数法,实现二阶转化为一阶的目的,转化为特殊数列{an-kan-1}的形式求解．

设an+2-kan+1=h(an+1-kan),比较系数得h+k=p,-hk=q,可解得h、k,于是{an+1-kan}是公比为h的等比数列,这样就化归为an+1=pan+q型.

利用全概率公式,我们既可以构造某些递推关系求解概率问题,还可以推导经典的一维随机游走模型,即设数轴上一个点,它的位置只能位于整点处,在时刻t=0时,位于点x=i(i∈N+),下一个时刻,它将以概率α或者β(α∈(0,1),α+β=1)向左或者向右平移一个单位.

若记状态Xt+1=i表示:在时刻t该点位于位置x=i(i∈N+),那么由全概率公式可得:

P(Xt+1=i)=P(Xt=i-1)·P(Xt+1=i|Xt=i-1)+P(Xt=i+1|Xt=i+1)

另一方面,由于P(Xt+1=i|Xt=i-1)=β,P(Xt+1=i|Xt=i+1)=α,代入上式可得:

Pi=α·Pi+1=β·Pi-1.

假设在x=0与x=m(m∈N+)处各有一个吸收壁,当点到达吸收壁时被吸收,不再游走.于是,P0=0,Pm=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

若点在某个位置后有三种情况:向右平移一个单位,其概率为a,原地不动,其概率为b,向左平移一个单位,其概率为c,那么根据全概率公式可得:Pi=aPi-1+bPi+cPi+1.

例3(2019年全国1卷21题)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X．

(1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)．假设α=0.5,β=0.8．

(i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;

(ii)略．

分析试验进行过程中,若某一轮试验之后,甲的累计得分为i,则下一轮试验中甲的累计得分有如下可能:

①甲累计得分为i-1,即甲药得-1分;

②甲累计得分为i, 即甲药得0分;

③甲累计得分为i+1,即甲药得1分;

由此可得,pi=api-1+bpi+cpi+1(i = 1,2,…,7) .

由α=0.5,β=0.8结合(1)求得a,b,c的值,代入pi=api-1+bpi+cpi+1,得到(pi+1-pi)=4(pi-pi-1),由p1-p0=p1≠0,可得{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.

评注本题是函数与数列的综合题,主要考查数列和函数的应用,考查离散型随机变量的分布列,根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．全概率公式出现在高中数学新教材(2019年人教A版)选择性必修三中,是新高考考查内容.利用全概率公式,我们既可以构造某些递推关系求解概率,还可以推导经典的一维随机游走模型.

本题的递推公式pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)就是基于全概率公式得出的结论,题目根源是具有双侧吸收璧的直线上的随机游走问题,属于统计专业所学的随机过程中的马尔科夫链问题的特殊形式[4].

形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数)的二阶递推数列还可以用特征根法求得通项an,其特征方程为x2=px+q.

若方程有二异根α,β,则可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常数)

若方程有二重根α=β,则可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常数)

再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an.

1.3 三阶线性递推数列an+1=pan+qan-1+tan-2型

解决此类问题的一般策略是:

设其特征方程为x3=px2+qx+t.

若方程有三异根α,β,γ,则可令an=c1αn+c2βn+c3γn(c1,c2,c3为待定常数);

若方程有二重根α,β=γ,则可令an=c1αn+c2βn+nc3βn-1(c1,c2,c3为待定常数);

若方程有三重根α=β=γ,则可令an=c1αn+nc2αn-1+n(n-1)c3αn-2(c1,c2,c3为待定常数);

再利用a1=m1,a2=m2,a3=m3,可求得c1,c2,c3,进而求得an.[5-6]

(1)记X表示该团队一轮答题的得分,求X的分布列及数学期望E(X);

(2)假设该团队连续答题n轮,各轮答题相互独立．记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率,Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3(n≥4),求a,b,c;并证明:答题轮数越多(轮数不少于3),出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．

分析(1)略;(2)重点考虑递推关系:

故Pn+1P3>P4,

则P1=P2>P3>P4>P5>……

所以答题轮数越多(轮数不少于3),出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.

评注本题考查离散型随机变量分布列、数学期望的求解;第二问处理的关键是能够合理分析第n,n-1,n-2,n-3轮的得分对概率Pn的影响,从而求得递推关系.还有一些经典的递推问题,比如“环排列问题”“斐波那契数列”“错排问题”等,这些问题的处理方式也会给我们在数列递推和概率问题中带来启发.根据递推数列求通项公式的方法还有不动点法、特征根法等.

2 试题研究对教学及复习的启示

递推数列和概率是数学中两个重要概念,它们在数列基础知识和运算性质等方面有着密切的联系和交汇.数列是离散的函数,对学生理解函数及迭代思想有着重要的作用.有些递推数列具有一些特殊的性质,如周期性、收敛性等,这些性质在数学和实际应用中都有着广泛的应用,例如计算机科学中的密码学、数据加密等领域;物理学中描述量子力学、流体动力学等领域中的现象.概率是描述随机现象的数学模型,为我们认识和解决现实问题提供了思考的方法、重要的工具.

针对递推数列问题,教学及复习要归纳其基本类型、一般思路和相应的解题方法.例如,线性递推数列可以采用迭代法求解,而二次递推数列则需要利用公式进行计算,在解决问题的过程中,要求学生掌握必备的数学知识和技能,如代数运算、数学归纳法等.另外,对递推数列性质与应用的探究活动进行精心设计,丰富学生关于递推数列的知识储备.

在教学及复习过程中,教师要有针对性地设计一些关于“递推数列与概率交汇问题”的训练题和作业题,注重引导学生发现和把握问题的交汇点,有意识地加以注意和积累,从而为解决此类问题提供素材和奠定基础.同时,教师还可以通过典型问题的分析与讲解,学生的错解剖析和错题订正等反思性活动,提高学生思维的深刻性和发散性,教给学生思考问题的一般方法,提升学生的数学抽象及逻辑推理能力.帮助学生进行针对此类问题的数学阅读训练,在明晰运算对象的基础上,理解其中的算理并设计相应的算法解决问题,加深对递推数列与概率交汇问题的理解和掌握.进而,在解决递推数列与概率交汇问题的过程中,综合应用相关数学知识,融入不同的数学视角,植入多种数学思想方法,促进学生整体理解递推数列与概率的交汇问题,切实把握数学内容的本质,从而不断地提升学生的数学核心素养.