挖掘素材 提升素养——从“无穷”的概念教学看数学抽象的核心素养培养

唐 庚 (邮编:100086)

中国人民大学附属中学分校

“无穷”是学生初入高中时的一个重要概念,其定义涉及极限的思想,较为深奥.教材必修一在此做了简化处理,只是在区间的表示中引入了正(负)无穷的符号“+∞(-∞)”,并未做更多的解释.然而,无穷大(小)的运用经常出现在函数的作图中,为了让学生对无穷的概念有更多的理解,有必要设计一节关于无穷的讨论课,从学生的既有认知出发,结合一些生动有趣的实例,培养学生的数学抽象核心素养.

新课程标准指出:高中数学课程以学生发展为本,关注数学学科核心素养的形成和发展,培育科学精神和创新意识.“数学抽象”是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养[1].主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.

无穷概念的产生、形成、理解与运用,正是培养学生数学抽象素养的良好载体.

1 问题的提出

学生1:无法计算.因为老师说0不可以作除数!

学生3:最后就趋向于无穷大.

教师:非常好!这就是我们今天要学习、研究的无穷大量.我们可以回顾一下,大家都见过哪些无穷的数量或者事物呢?

学生举例直线无限延伸,反比例函数图象与x轴、y轴的无限接近,接近90°的锐角正切值等.

教师:生活中也有很多的无穷!如《庄子》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,麦比乌斯带(一条永远没有尽头的路),科赫曲线(分形的一种:任意画一个正三角形,将每条边三等分;以每条边的中间一段为边向外作正三角形,并把这“中间一段”擦掉;重复上述两步,画出更小的三角形.一直重复,直到无穷)等.

抽象是数学得以产生和发展的思维基础.正如史宁中教授所言,数学抽象可以分为两个阶段.第一阶段基于现实.学生通过对具体的、静止的数量与数量关系(除法),得到“无穷”的基本概念.主要包括:数学研究对象的定义、刻画研究对象关系的术语和计算方法.这种基于现实的抽象是从感性具体上升到理性具体的思维过程[2].

2 概念辨析

教师:很好!原来无穷大有正、负之分!

教师:大家思考这种无限趋近的方式还有哪些场景在用?

学生讨论,还有无限趋近于0的情形!

教师:请举例.

教师:很好!类比无穷大,我们可以把这个无限接近于0的量叫做无穷小量.简称无穷小.

教师:大家可以从反比例函数中感知到无穷大和无穷,你能总结出无穷量的某些性质吗?

学生总结:无穷量分为无穷大量与无穷小量,每一类又有正负之分!

学生补充:无穷大加上一个常数还是无穷大,非零常数除以无穷大则是无穷小.非零常数除以无穷小,则是无穷大.

数学抽象的第二阶段是基于逻辑的.学生在生成了“无穷”的概念后,需要更进一步解释第一阶段抽象得到的数学概念以及概念之间的关系.学生逐步学会将这些概念和概念间的关系符号化、形式化和公理化.这是从理性具体上升为理性一般的思维过程[2].

3 概念运用

我和老婆一走进雅4，姚琳琳便夸张指着手表叫嚷起来：我说哥们，你们俩行不行啊？看看这都几点了？咋才来呢？上官婉也跟着帮腔说：谁说不是了，这也太没组织没纪律了吧。

分析我们习惯上通过列表、描点的方式画函数图象,但这有很大局限性.往往自己都感觉画的“不像”.一个关键原因是我们没有研究函数值的变化趋势.这就需要对数(式)趋近于无穷时进行研究.

学生1:首先,这个函数的定义域是{x|x∈R且x≠-2}.

自变量x将从两个方向x<-2(即-2的左边)和x>-2 (即-2的右边)无限趋近于-2.

当x从右边趋近于-2时,分子x-1趋近于-3,分母则趋近于一个正无穷小,所以函数值趋向于负无穷.

其次,在x趋近于正无穷的时候,观察,会发现其函数值趋近于1,并且始终小于1.

同理,我们可以得到在直线x=-2左边的情形.

当x从左边趋近于-2时,分子x-1趋近于-3,分母则趋近于一个负无穷小,所以函数值趋向于正无穷.

在x趋近于负无穷的时候,观察发现函数值趋近于1,并且始终大于1.

图1

通过观察函数在四个方向上的变化趋势,得到函数的整体轮廓,在每一段比如(-2,+∞)上观察到是一个递增的趋势.在这里,我们由具体的、可计算的一些数和数量关系,通过无限逼近的方式,想象出了函数图象的变化趋势,正是用到了数学抽象这一思维方式!非常完美!

数学中的数,自然离不开形.“无穷”的概念是从实际运算中通过理想化的形式抽象出来的,教学中,我们可以让学生在“数学化”和“直观形象”中不断交织碰撞,相互印证.从而加快学生对这一概念的形成和理解.

4 拓展研究

教师:请大家思考:当x>0时,给x同样的增量△x>1,x2与x3谁增加的更多呢?

学生1:通过尝试一些特殊值比如x从2增到5,显然x3的函数值增加比x2更大!

教师:很好!当x趋近于正无穷时,x3趋近于无穷的速度比x2更快!

学生讨论并在黑板演示:

在x→-∞的过程中,分子(2x-1)→-∞,分母x2→+∞,分母趋近于无穷的速度更快.直观看来,他们的比值会趋近于0,是一个负无穷小量.所以左端趋势明了.

当x从y轴左侧无限趋近于0时,分子(2x-1)→-1,分母x2趋近于正无穷小,其比值会趋近于负无穷,即y→-∞.

当x从y轴右侧无限趋近于0时,分子(2x-1)→-1,分母x2趋近于正无穷小,其比值会趋近于负无穷,即y→-∞.

在x→+∞的过程中,分子(2x-1)→+∞,分母x2→+∞,然而分母趋近于无穷的速度更快,直观看来,他们的比值会趋近于0,是一个正无穷小量.这样右端趋势也明了.

图2

教师:非常好!这样的分析,既直观,又理性,逻辑性很强!

我们今天学习了数学中的无穷量,又研究了它的简单运算规则,这些为我们将来把握某些函数的整体性质带来帮助.

5 教学反思

数学中的“无穷”是一个有趣而神奇的概念.它有“数的无穷”和“形的无穷”两种形式.数学史中的很多故事都有无穷的影子,如“希尔伯特旅馆”以及前述科赫曲线(图形的周长无穷大,包围的面积却是有限的)等等.正是有了无穷分割(无穷小)等概念,微积分的创立和发展便有了逻辑上的合理性、严谨性.对刚入高中的新生来说,面对一个看似无意义的运算,一项无法完成的任务,需要突破既有认知框架,创新方法,采用无限逼近的方式,想象它的运算结果,并理解无穷运算的规律,开拓全新的数学空间,能大大激发他们对学习的兴趣.通过对“无穷量”的认识,能理解或表述具体情境中的数量关系,提升学生感悟数与数量、数量关系的能力．能估计运算的结果,并对结果的合理性作出解释,能有效提升学生的创新思维和发散思维.潜移默化中培养了学生的数学抽象的核心素养.

课标指出,数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.教师要能依据抽象的两个阶段特点,在教学中善于发现素材、抓住素材,结合学生实际,创设情境、引领思考、及时总结,逐步提升学生的数学核心素养.