基于素养导向的新高考复习创新教学实践——让学生由“做题者”向“命题者”转变

徐 朴 (邮编:230071)

安徽省合肥市第八中学

张永超 (邮编:230071)

安徽省合肥市教育科学研究院

随着《深化新时代教育评价改革总体方案》和《中国高考评价体系》的贯彻落实,“改变相对固化的试题形式,增强试题开放性,减少死记硬背和‘机械刷题’现象”“强化基础考查,突出关键能力,加强教考衔接,服务‘双减’政策实施,助力基础教育提质增效”,已成为高考命题的显著特点.

为了积极应对素养导向的命题要求,契合教考衔接的命题趋势,在高考复习时,必须重视课本的基础性作用,深入挖掘教材内涵,引导学生加强对教材典型例习题、复习参考题和高考真题的分析研究;必须变革教师一言堂的高三复习教学模式,围绕主干知识和核心内容设计问题串,按照学生的认知基础与思维特点设计教学,让学生通过阅读理解、深度思考和自主探究,寻求解决问题的思路和方法,全面提升学生的“四基”“四能”.

在高考复习教学中,应该注重引导学生对典型问题进行深度挖掘,让他们尝试对例习题的条件、结论作必要的拓展和变化,努力让学生从被动的“做题者”转变为主动的“命题者”,不断发展学生的数学核心素养,形成主动提炼、善作变式、自觉挖潜的学习习惯,为此,我们作了如下一些有益的实践和探索.

1 教师选定母题,学生改编拓展

用导数研究函数的性质是高考的必考内容,既是重点也是难点,为此,在进行《导数在函数中的应用》复习时,一方面注重知识结构的梳理和完善,重视一般思路与方法的理解和应用;另一方面注重对课本经典例习题的内涵挖掘与利用,努力让学生在吃透原题情境与考查要点的基础上,对原题条件和待求结论进行变化和改进、拓展和延伸,通过设计一个个开放性问题,探究新问题的解题方法与策略,并与原题及其解法进行对照,发现异同,总结提炼.

母题1求函数f(x)=x2-2lnx的单调区间.

引导1回顾用导数研究函数单调性的解题步骤,将问题改造成含一个参数的求函数的单调区间问题.

师: 若在函数解析式中适当添加一个参数a,求函数f(x)的单调区间,你将如何改编、如何解答?

变式1求函数f(x)=ax2-2lnx(a∈R)的单调区间.

变式2求函数f(x)=x2-2alnx(a∈R)的单调区间.

变式3求函数f(x)=x2-2lnx+a(a∈R)的单调区间.

课堂上学生给出了多个变式,这里只选取了具有代表性的三个变式,供同学们在课堂上研究解答,其他变式由学生课后作为作业或小组讨论解决.

设计意图添加一个参数后,引导学生深入体会参数在解析式中不同位置带来的函数单调性的变化,进一步提升学生的数形结合意识和分类讨论能力.

引导2对调母题1的条件和结论,改造成一个已知函数的单调性,逆求参数范围的问题.

师:对于变式2,如果已知函数f(x)在某个区间上的单调性,你能求得什么?

变式4已知函数f(x)=x2-2alnx(a∈R)在区间(0, 1)上单调递减,求a的取值范围.

引导3让学生尝试用不同的方式表述条件,加强多种语言的转换表达能力.

师:对于变式4中的条件“在区间(0, 1)上单调递减”,你能否换一种方式表述?请尝试给出表述.

变式5已知函数f(x)=x2-2alnx(a∈R),且f′(x)≤0在区间(0, 1)内恒成立,求a的取值范围.

设计意图让学生学会运用多种不同的方式表述函数的单调性,考查学生对函数的单调性定义的理解和表示能力.在学生有了变式5这种不同表述后,就可能会想到把问题改成变式6,这是课堂上生成的新问题,体现了学生思维的灵活性和发散性.要相信学生能够命好题,要敢于放手让他们自己去探索.

引导4接着让学生变换不同的条件,使得问题条件的指向多元.

师:对于变式2,你能否改造成已知函数的一个性质,逆求参数范围的问题?

生:可以是已知函数的极值、最值或零点,不等式恒成立、能成立等问题 .

变式7已知函数f(x)=x2-2alnx(a∈R)在区间(0, 1)内存在极小值,求a的取值范围.

变式8已知函数f(x)=x2-2alnx(a∈R)在区间(0, 1)内不是单调函数,求a的取值范围.

变式9已知函数f(x)=x2-2alnx(a∈R)在定义域内有两个零点,求a的取值范围.

变式10已知函数f(x)=x2-2alnx(a∈R)在定义域内恒不小于0,求a的取值范围.

设计意图改编问题时,要提醒学生不必拘泥于函数的单调性,可以命制考查函数的所有性质问题.在创设开放的复习情境中,有的学生可能会命制已知函数的奇偶性或周期性求参数的问题,即使学生提出的问题可能存在错误,但通过探讨可以发现,根据二次函数和对数函数的特点无法命制涉及这类性质的问题,从而加深了学生对基本初等函数性质的理解.

对于初次尝试命题的学生,教师可以让他们从简单题改编开始,降低命题难度.改编命题不只是改动几个数字,而要进行全面审视与内涵挖掘,如以上问题改编,有设置字母参数,改变问题表述方式,对调或改变条件与结论,使得命题难度由浅入深,让不同层次的学生都能进行命题.在命题的过程中,教师要善于引导,精心点拨,及时进行评价,使学生在不断调整已知、未知关系过程中命出满意的问题.以上命制的这组题涵盖了含参数的函数单调性的判断,已知单调性逆求参数,利用导数研究函数的极值、零点,以及不等式恒成立等问题,学生通过自主命题,自己解答,不仅夯实了“四基”,极大地提升了“四能”,同时也获得了学好数学的自信心和内驱力,享受命题的快乐.

2 教师确定方向,学生发散新编

在高考复习教学中,教师可以进一步放手,给学生以更大的思维空间,让他们不断积累命题经验.教师可以只给定知识与方法的拓展方向,或是给定一个研究的专题,而不给具体的求解目标,让学生自主探究、发散设计新的问题,进入开放的、自主的命题境界.

引导1本题的条件是什么?在命制新问题时,为了简化运算,给定什么形式的椭圆方程比较合适?

师:根据椭圆的定义,椭圆上的点P满足|PF1|+|PF2|=2a,当P,F1,F2构成三角形时,我们可以研究这个三角形中的一些几何问题,请你给椭圆选定一个具体的方程．

引导2在焦点三角形△PF1F2中,你认为可以求解哪些几何问题?

(以上问题具有开放性,有的学生可能想求△PF1F2的边长,有的可能想求△PF1F2的面积、内角等)

师:给出椭圆的方程后,可以求出△PF1F2的哪些几何量?

生:求△PF1F2的周长.

师:大家认为前面给出的方程中,用哪一个方程求对应的△PF1F2的周长最简便?

经过启发引导,学生命制出如下问题:

引导3根据学生想求解的结果,引导学生继续添加或转变条件,进行多个变式,举一反三.

师:除了求△PF1F2的周长外,你还想求解这个三角形的哪些几何量呢?

生:求△PF1F2的面积.

师:只给出椭圆的方程,能否求出△PF1F2的面积?随着点P的移动,显然△PF1F2的面积在变化,求△PF1F2的面积的条件不够,还需要提供什么几何条件?

生:可以给出三角形的一条边或一个内角,有三个独立条件,就可以解三角形了,进而可求△PF1F2的面积.

师:分三组合作探究,请第一组同学给出一条边|PF1|的长度,第二组同学给出内角∠F1PF2,第三组同学给出内角∠PF1F2,分别求△PF1F2的面积.

师:对于变式2,若∠F1PF2=90°,能否求出△PF1F2的面积?请同学们试一试.

师:若∠F1PF2=90°,你能求出|PF1|, |PF2|的长度吗?

生:因为m2+n2=4,m2+(4-m)2=4,所以m2-4m+6=0,△=16-24=-8<0,m没有实数解(无解).

引导4由问题无解自然引出求范围问题,引导学生探究,设计求长度和角度等几何量的最值或取值范围问题时,需要关注其存在性,从而拓展命题的广度和深度.

师:当我们发现|PF1|, |PF2|的长度无解时,说明∠F1PF2的大小变化有范围限制.为了避免命制错题,我们有必要研究∠F1PF2的范围.请命制一个与∠F1PF2的大小变化相关的问题.

师:根据对变式4的研究,在命题时,给出∠F1PF2的大小不能超过多少度?

生:不能超过60°.

师:通过研究发现,当点P位于短轴顶点时,∠F1PF2取得最大值.除∠F1PF2外,你觉得△F1PF2中还有哪些几何量存在最值?

生:边长、面积等.

引导5让学生用类比的方法,对上述讨论的△PF1F2作变式与拓展,提出并解决新问题.

师:我们已经研究了△PF1F2的相关几何量,我们能否研究与椭圆C相关的其他三角形的周长、面积等问题?

师:还记得椭圆这一章一道课后习题吗?如果我们延长PF1交椭圆C于点Q,连接QF2,线段QF1与QF2长度有什么关系?参照前面的问题设计,请你命制出新的问题.

让学生自己给出椭圆方程,命制有关焦点三角形的几何元素求解问题,具有较大的开放性,学生需要根据自己对椭圆的定义、标准方程及其几何性质的掌握和熟练程度,以及相关的解题经验进行命题,综合性、应用性都很强,难度也更大,所以开展这种形式的问题探究和命题活动,适宜在高考二轮复习时进行.

教师在组织学生开展这类具有发散性的命题活动时,需要为学生搭建好“脚手架”,布置学生课前作好专题知识、方法和典型试题的回顾复习工作,做到目标明确,针对性强.在课堂复习教学时,教师要根据预设的主题,让学生尽情展示,发散新编,必要时给予精妙的点拨和引导,切忌越俎代疱,欲放不忍.

以上讨论的是椭圆的焦点三角形问题.我们还可以让学生课后继续研究双曲线的焦点三角形问题等.

3 教师约定要求,学生创新挖潜

数学试题的价值体现在它的综合性、应用性和创新性.若想命制一道体现“四层四翼”要求,考查多个知识模块或系列知识,考查数学学科核心价值、学科素养、关键能力和必备知识的综合题,需要教师在复习教学时,精选例习题,精准指出挖潜改编方向,让学生由浅入深地探索母题涉及知识和方法的横、纵向联系,不断提高学生的命题和解题能力.

在基本不等式复习时,由于基本不等式背景丰富,应用广泛,现选择了一道可以用基本不等式求解的最值问题,引导学生结合数学知识和方法的不同应用设置不同的问题背景,让学生从不同的角度辨析和理解问题,打通知识间的相互联系,取得了不错的教学效果.

引导1从长度、角度、面积等几何角度,引导学生给题目的条件设置不同的背景命制试题.

师:这是一道考查用基本不等式求最值的典型问题.条件是一个代数等式,我们能否赋予条件以几何背景,变成一个考查几何要素的新问题呢?

师生合作讨论,教师适当给予点拨,学生陆续命制出如下试题:

问题1在Rt△AOB中,|OA|=a, |OB|=b,过斜边AB上一点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,若|OC|=2, |OD|=1,求|OA|+|OB|的最小值.

师:在引例中,除了求a+b的最小值外,还可以求哪些最值?

生:求ab的最小值.

师:ab可以看成Rt△AOB中的哪个几何量?

生:|OA|·|OB|或Rt△AOB面积的2倍.

问题2在Rt△AOB中,|OA|=a, |OB|=b,过斜边AB上一点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,|OC|=2, |OD|=1,求△AOB面积的最小值.

引导2让学生尝试把几何图形放入直角坐标系中,将几何条件坐标化,命制一道解析几何问题.

师:如果把Rt△AOB的边放入直角坐标系中,分别以OA,OB所在的直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,此时直线AB的方程是什么?点P的坐标是什么?问题2的条件又可以如何表示?

问题3已知直线l经过点P(2, 1),并分别与x,y轴正半轴交于点A,B,求△AOB面积的最小值.

引导3引导学生应用向量设计问题,考查向量的几何表示和坐标运算.

师:我们能否利用向量的代数运算和几何运算,把条件改造成一个考查向量运算的问题呢?

引导4数学来源于生活又服务于生活,让学生从实际应用的角度改编试题,展现数学的应用价值.

师:我们知道,数学来源于生活,能否赋予问题以生活背景,变成一个应用题呢?

生:行程问题中路程除以速度等于时间,工程问题中工作总量除以工作时间等于工作效率,商品买卖中总价除以数量等于单价……

问题6小明购买甲、乙两种糖果共1千克,其中甲糖果每千克a元,花去2元,乙糖果每千克b元,花去1元.如果小明购买甲、乙两种糖果各1千克,最少需要多少元?

这样的试题,融几何、代数于一体,考查学生对所学知识和方法的融会贯通能力,考查转化化归思想、数形结合思想和逻辑推理能力等.如果能够坚持让学生深刻理解题目所蕴含的几何与代数关系,不仅可以帮助他们更深刻地认识到试题的结构和命制方法,而且可以突破他们解题、命题的畏难情绪,增强他们的解题能力和学习信心,激励他们敢于迎接更大的挑战.

以上改编拓展、发散新编、创新挖潜三种方法,不论是否有母题,只要教师给出明确的命题目标与方向,学生总可以从不同的方向、不同的视角尝试命制试题,这样做,不仅有助于学生养成多角度、多方位、多层次认识与探究问题内涵的习惯,而且有助于更全面、更深刻地解析知识和方法,构建成完整的发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的思维能力体系.

让学生参与课堂例习题的改编拓展、发散新编、创新挖潜,是培养学生问题意识与创新能力的重要途径,也是高考复习的必然要求.若能长期坚持,必将增强学生的命题、解题能力,让他们既能高效地复习高中数学主干知识和常用方法,深化对知识和方法相互联系的理解,又能让他们感受到知识与方法的演化和递进,逐步做到融会贯通、举一反三,有助于他们养成用联系的观念理解和认识问题的习惯,有利于他们进行知识和方法的纵、横向比较与综合,有助于他们将新知识纳入自己已有的知识系统中,有利于他们构建知识的整体性,突出了高考复习单元整体教学思想,有助于促进他们学会学习、主动探究、敢于创新,增强学习的自信心.

4 结语

如果我们在高考复习教学时,能够让教师由“讲题者”变为“引导者”,让学生由“做题者”变为“命题者”,学生真正地成为课堂的主人,真实地经历自主探究的过程,学生就会站在命题者的角度分析思考问题,清晰地解析试题结构,揭示试题考查的知识与方法,准确地找到解题的思路与方法,就会有“会当临绝顶,一览众山小”的感觉,不断提高自己的解题能力,从而使高考复习教学事半功倍,走向高效、走向成功.