基于统计过程的小学生“数据意识”培养探索

林长龙，彭 亮，徐文彬，马天红

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）明确提出，小学阶段的“统计与概率”内容需要培养学生的“数据意识”[1]36。在这个数字时代，人们的衣食住行方方面面都将留下“数据”的痕迹。如何利用数据、分析数据、阅读数据等成为学生立足大数据时代的必备素养之一。据此而言，在“新课标”的“数据意识”理念之下，“统计与概率”这一内容模块承担的不仅仅是“统计与概率”知识的学习，其更为重要的是培育学生的统计素养。正如统计教育研究者怀尔德（Wild,C.J.）和普凡库赫（Pfannkuch,M）所言，统计素养才是检验专家型统计学家的试金石[2]。鉴于此，指向“数据意识”培养的小学“统计与概率”的教学实践需要有所变化和调整，而这一变化和调整或许需要建立在统计过程之上。

一、基于统计学习的统计过程的环节分析

“新课标”强调学生在统计活动过程中，能够运用具体的统计量和统计图表表达数据并作出简单判断[3]。国际知名统计教育研究者达尼·本兹威（Dani Ben-zvi）认为，在统计的课堂上，学生除了学习统计知识，更重要的是要体验统计过程[4]。由此可见统计过程在学生学习“统计与概率”内容时的重要性。而关于统计过程，有的研究者认为这一过程是PCAIC 的循环，即提出问题（Posethequestion）、收集数据（Collect the data）、分析数据（Analyze）、理解与推断（Interpretation & Inference）以及交流（Communication）[4]；有的研究者则认为统计过程是PPDAC 的循环，即问题（Problem）、计划（Plan）、数据（Data）、分析（Analysis）和结论（Conclusions）[2]。综合上述两个方面观点以及从学生学习统计的角度出发，统计过程包括“问题与目的”“数据收集”“数据整理与表示”“数据分析与解释”以及“判断与决策”五个环节[5]。

（一）问题与目的

“问题与目的”是统计过程的首要环节，它是统计过程中其它环节的前提[6]，却常被忽视。对于统计而言，统计过程中的问题是基于数据去解决或解释问题，这是其与其他数学领域的问题最为重要的差异。鉴于此，相比于其他数学领域的学习而言，统计过程中的问题一定是实在的问题，即它来源于真实的情境，且需依托真实情境提供的富有信息的数据去解决或解释真实情境中的疑难。正如格雷厄姆（Graham，A.）所言，统计运行在有意义和有目的的情境中[7]28。因此，统计过程中的问题背后一定携有目的，这一目的源于个体或群体的某种主观或客观需求。因而，对于统计过程中的问题而言，需要基于数据来解决或解释只是其基本要求。与此同时，这一问题也必须是与某种主观或客观需求联系在一起，否则后续的统计过程无法充分地展现出统计所固有的特殊性和价值性，它可能会流于形式，进而成为学生学习中不必要甚至不情愿学习的负担。以此来看，这一“问题与目的”不仅影响统计过程中数据收集这一环节，而且也直接或间接地影响后续的每一个环节。

（二）数据收集

“数据收集”是在“问题与目的”基础上有目的地获取能够解决或解释疑难的数据。当然，对于规范的统计过程来说，数据收集涉及调查、抽样、类型、样本、总体、信度、效度等诸多概念，对于小学生而言，这些概念并不一定需要理解和掌握。尤其是，在世界上多数的小学数学教育中，统计数据一般都是给定的，但仍需在整个统计过程中，特别是统计过程开始之时，使其有一定的初步感受。学生需要知道：最初的统计问题是什么？这个变量是如何测量的？这些数据是如何收集起来的？为什么要收集这些数据？统计人员最初提出的问题是什么？从而为其后续感受到数据的多少、来源影响最终的结果和结论奠定基础[6]。正因此，“数据收集”需要在合适的“问题与目的”下考虑收集数据中的手段问题、多少问题、来源问题等，也可通过后续的环节来反思这些问题。总之，“数据收集”是有人为性的，正因为有人为性，收集来的数据不存在毫无偏差和误差的情况，我们需要合理地筹划“数据收集”的过程。

（三）数据整理与表示

“数据收集”来的数据是原始数据，这些原始数据在成为统计分析的数据之前需要进行整理和表示。正如吉格伦泽（Gigerenzer，G）和爱德华兹（Edwards，A）所言，每条统计信息都需要一种表示形式，这些表示形式可能有助于问题的解决[8]。原始数据整理的过程实则是分类的一个过程，因此，对于数据的整理来说，学生学习的关键在于通过分类来初步呈现数据中蕴含的信息。鉴于此，数据的整理需要让学生通过分类的方式感受到数据中蕴含的信息，甚至在不同分类之下感受到整理后的数据所带来的不同信息[9]。据此而言，数据的整理可以初步解决或解释统计过程中的问题，与此同时，数据整理后的表示是直观显现数据整理结果的一种方式，这种方式一方面体现为制作统计图表的能力，另一方面则要求学生具备阅读统计图表的能力。但其关键都在于识别统计图表中的分类标准。因而，“数据整理与表示”不仅只是让学生把数据按照某种要求整理好，更为关键的是意识到分类在统计中的重要性。

（四）数据分析与解释

“数据分析与解释”是整个统计过程中较为关键的一个环节，这也是人们对统计最为普遍的感受，即统计就是通过某种分析方式对数据进行分析，并且在这一分析基础上进行解释。这其中，对于数据分析来说，其关键在于选择合适的统计量来分析整理后的数据。鉴于此，数据分析并不只是人们印象中的，将数据用某种数据分析手段进行计算，以此得到某些统计量的数值，其更为重要的是在上述三个环节基础上，选择较为合适的统计量来解释或解决统计的问题[10]。否则，学生最终只是认识了一种统计量，但却并不能用它来解决统计问题，正如蔡金法教授对250 名六年级学生的平均数的调查发现那样，大多数学生都能认识平均数，但只有一半的学生能够应用平均数去解决统计问题[11]。据此而言，统计过程中的数据分析不能等同于其他数学领域中数学计算，如此则会演变成以“反统计”[12]的方式来教学统计，学生对统计意义和价值的感受将大打折扣。

（五）判断与决策

“数据分析与解释”之后并不意味着统计过程的结束，统计过程的特殊性还体现在需要通过“判断与决策”来解决或解释统计的问题，进而达到统计的目的。这也是统计学习中最有意义和价值的一个环节[13]，它能让学生意识到统计所形成的“判断与决策”是没有确立的、统一的乃至正确的结果，每一种“判断与决策”都有可能有效或正确，而这也是众多研究者在统计过程中增加“交流”这一环节的原因，即基于统计分析结果的决断是不确定的，这是统计思维与确立性最大的不同[14]。鉴于此，统计学习中，教师一方面需要通过互动、交流等方式促发学生形成多种“判断与决策”，另一方面，教师也不能简单地否定学生的“判断与决策”，而是要引导学生说出“判断与决策”背后的理由，并在不同的“判断与决策”中感受统计的不确定性。最后，“判断与决策”也并不意味着统计过程的结束，而是在“判断与决策”的基础上形成新的“问题与目的”，如此，统计的过程形成了循环。

整体而言，上述统计过程可以由图1 来表示。图1 的外围是统计的五个过程，这五个过程彼此相互联系，共同组成统计的整个过程，且这一过程是循环的。正如毕晓普（Bishop，G）和塔尔博特（Talbot，M）所言，在统计过程的每一个阶段，我们都必须向前和向后审查，与一个问题有关的结论或将引发一个新的问题[15]。此外，在图1 的中心是对话，这意味着对话在统计的每一个环节都有所体现，理想的统计过程应是对话无处不在的。

图1 统计过程图

二、基于统计过程的“数据意识”培养的要义解析

在“新课标”中，“数据意识”是指对数据意义的感悟，知道运用数据可以解释和分析实际问题[1]9。这一界定一方面要求学生对数据要有一种直观，另一方面也需要学生初步学会运用数据。以此来看，“数据意识”培养离不开统计过程的支撑，而在统计过程之下，“数据意识”的培养可能需要关注以下要义。

（一）真实性

“新课标”指出，“要在现实生活中感悟数据蕴含的信息”[1]9，这其实决定了“数据意识”的培养首先应具备“真实性”。“真实性”是指学生需要去解释或解决的统计问题是真实存在的，有真实需求的，具备真实的效用和价值。这其中，真实存在意味着学生所面对的统计问题来源于现实世界，存在于现实世界中；真实需求意味着学生所面对的统计问题是现实世界当前或未来需要解决的；据此，这些统计问题的解释与解决是有真实效用和价值的，即能够为现实世界中的个体或群体认识这个现实世界提供一定的帮助。总之，“真实性”是学生体会和感受数据意义的前提，也是“数据意识”形成的关键。

（二）选择性

“新课标”指出，“需要根据问题的背景选择合适的方式”[1]10，因而，“选择性”成为“数据意识”培养中必不可少的部分。“选择性”是指学生在统计过程中体会和感受到各种不同的可能，进而感受到这些不同的可能所导致的不同结果，体会到数据所蕴含的信息的丰富性以及选择的相对合适性。正因此，对于“数据意识”的培养而言，学生在统计的学习中要有尝试不同选择的机会，且需要给予学生一定的时间与空间去实践这种选择。与此同时，教师需要在适当的时候将学生间不同的选择进行比较，通过比较让学生感受到不同的选择是没有严格的正确与错误之分，只有相对合适性之分。这无疑会突显出“数据意识”这一素养的特殊性。

（三）交互性

“选择性”自然导致“数据意识”培养中“交互性”的存在，“交互性”是指学生与教师之间以及学生与学生之间，就统计过程中不同的选择以及选择后的结果、解释乃至判断与决策等进行充分地交流和互动。就学生与教师的交互而言，教师需要营造一种包容的氛围，让学生乃至教师自身的不同选择、解释以及判断与决策有充分展现的机会，进而最大限度地促成不同选择、解释以及判断与决策的碰撞；就学生与学生之间的交互而言，学生需要阐述这些不同选择、解释以及判断与决策的理由，进而让学生与学生间的交互成为理性精神培育的“摇篮”，从而逐步达成“数据意识”中“用数据说话的习惯”。

（四）批判性

统计推断是有可能犯错误的[7]88，这与“数据意识”中让学生选择“合适的方式”密切相关。正因此，“批判性”成为学生感受“合适”的重要途径。“批判性”是指在学生“数据意识”的养成过程中，需要让学生审视不同解释以及判断与决策背后的理由、依据以及潜隐的价值立场，进而提出自己的解释以及判断与决策。“数据意识”的培养过程中的批判性并不意味着要去驳斥乃至否定其他的解释以及判断与决策，而是要求学生仔细思考各自的价值需求和旨向，在此基础上意识到所有的解释以及判断与决策都有价值立场，在不同的价值立场之下，相对性带来的不是虚无性，而是批判性和在此基础上的建设性。如此，“数据意识”才能趋近人们在现今时代亟需的统计素养。

（五）反思性

在达尼·本兹威看来，学生不仅仅成为当今社会中数据的“消费者”，更为重要的是成为数据的“生产者”[4]。此种由被动到主动的转变需要统计学习具有反思性。统计学习中的反思性能让学生深切地感受到“数据意识”中“有许多问题应当先做调查研究，收集数据”，进而形成主动地用数据解决现实问题的意识。反思性是指在统计学习中，学生需要反思统计过程的每一个环节，反思每一环节与前面环节和后续环节的关联性，进而从整体上审视统计的过程。在“数据意识”的培养过程中，一方面需要在统计过程反思每一个环节的价值和作用，另一方面需要在统计过程结束之时反思统计的整个过程，帮助学生建立统计的整体意识，以期促进其形成数据“生产者”的意识，进而促使“数据意识”内化为学生的一种素养。

三、基于统计过程的“数据意识”培养的教学实践

之所以选择“百分数”这一内容作为“数据意识”培养的实践载体是因为“新课标”是将“百分数”作为一种统计量来进行学习的。“新课标”意在突显“百分数”作为统计量的价值和意义，这一变化使其成为培养小学生“数据意识”的较好的一个载体。鉴于此，以“百分数”一课来实践“新课标”背景下“统计与概率”的教学。

（一）基于真实情境引发统计问题

为了突显“数据意识”培养中的真实性，我们在“百分数”一课中设计了以下的问题情境。

最近学校正在进行体质健康测试，有一个项目是1 分钟跳绳，表1 是六班1 分钟跳绳成绩数据统计表，观察表格，男生和女生比，谁的成绩好一些？

表1 六班男、女生1 分钟跳绳成绩数据

体质健康测试是学校每年都会开展的活动，学生熟悉且真实存在，表格中的数据来源于学生所在学校的真实数据。这些条件保证了这一问题情境不仅真实存在且学生较为熟悉，能够引发学生学习的兴趣。此外，由这一情境所引发的“男生和女生比，谁的成绩好一些？”这一统计问题也是有真实需求的，而非只是为了设置问题而刻意设置的问题。需要说明的是，对于一节课的学习而言，省去了数据的收集和整理与表示这一环节，由教师直接出示，目的在于节省课堂学习时间。当然，这一数据的收集和整理与表示的环节也可交由学生课后或其他时间来完成。

（二）联结已知选择合适统计量

为了突显“数据意识”培养中“选择性”和“交互性”的要义，在上述问题情境中，教师添加了一个真实信息，即“《国家学生体质健康标准》1 分钟跳绳项目等级标准”，以及一个有意的设计，即两个性别的人数是不同的。这两个信息将促使学生选用不同的统计分析方式，并在不同的选择中初步感受不同统计方式的适合性。

在现实的课堂教学中，学生为了解决“男生和女生比，谁的成绩好一些？”这一统计问题，一般会有三种解决方式。第一种是运用平均数这一已学的统计量，部分学生首先会想到运用平均数来比较男生和女生谁的成绩更好一些。第二种方式是运用分段整理，部分学生观察到了“《国家学生体质健康标准》1 分钟跳绳项目等级标准”这一信息，在这一信息的帮助之下，学生意识到运用平均数可能并不十分合适，试图用分段整理来解决。有了这一意识之后，学生开始意识到统计分析方式是有适合性的，统计问题的解决需要关注各种数据信息和要求。由此将引发第三种统计分析方式出现，即运用“百分数”。选用“百分数”的理由在于两个性别的人数是不相等的，正因此，分段整理完之后，学生会发现还是不能合理地比较男生和女生的成绩，此时部分学生会调用已有的有关“百分数”的生活经验来予以解决。基于此，学生将初步地感受到“百分数”作为一种统计量的价值。

（三）借助多元表征理解统计量

作为一种统计量的学习，理解其含义是进一步运用这一统计量的前提，因而，我们有必要在“百分数”一课中让学生通过多元表征的方式来深入理解它的统计意义，以为进一步培养“数据意识”中的“选择性”奠定基础。

基于此，我们在学生选用“百分数”之后设计了一个“理解百分数意义”的小组探究活动，并且提出了两点要求：（1）用自己的方式表示出45%（男生优秀率）的含义（可以写一写、画一画、说一说）；（2）小组内交流自己的想法。总的来说，学生主要有三种回答，第一种，学生使用“男生优秀人数占男生总人数的45%”的句式来理解其所选择的百分数的含义；第二种，学生一般会画出线段图、饼图或者正方形的图，并且用阴影部分来表示百分数的含义；第三种，学生使用已学过的分数知识来理解百分数含义，即“假设男生总人数为100份，男生优秀人数占了其中45 份”。由此可以看出，学生模糊地把握住了百分数表示的是一种关系。据此，教师通过比较引导学生初步总结出“百分数表示的是一个数量与另一个数量之间的关系”。并进而通过其他百分数（男生的合格率、女生的优秀率、女生的合格率）来巩固这一百分数的含义。

（四）运用统计量对话判断与决策

基于“数据意识”培养中的“交互性”和“批判性”要义，上述过程结束之后，非常有必要让学生基于这些百分数意义的理解来进行初步的解释且开展必要的判断与决策。

我们设计了三个层次的交流和讨论的问题。首先，我们让学生基于这些百分数（如表2 所示）说一说“男生和女生比，谁的成绩更好一些？”

表2 跳绳成绩百分数统计结果

不同的学生在交流和讨论之后发现，根据百分数和平均数（如表3 所示）所得出的解释是不一样的，从而让学生进一步感受到在统计过程中选择统计量的重要性。其次，我们出示了“请你根据这些百分数和其他统计过程中的信息，说一说你还能获得哪些信息”的问题。在课堂教学过程中，学生能够给出不同的判断与决策。譬如，有的学生从合格率的角度来说，认为六班的女生应该加强体育锻炼；有的学生则认为，根据《国家学生体质健康标准》中等级标准的不同，不能简单地说男生和女生谁该加强锻炼，等等。最后，我们出示了更加开放的问题，即“请你分别扮演不同身份（校长、学生、体育老师、家长……）来说一说这些数据、平均数和百分数给你的启示”，这一问题启发学生试着站在不同的立场来使用数据、平均数和百分数，并且在与其他学生的交互中逐渐意识到不同立场所带来的决策的不同。如此让“数据意识”培养中的“交互性”和“批判性”得到展现。

表3 跳绳成绩平均数统计结果

（五）反思统计过程留有学习余地

正如上文所言，统计的学习并不是以一种统计量否定另一种统计量，而是要让学生感受到不同统计量的作用，统计量没有正确之分，只有相对于统计问题而言的合适与否的差异。

基于此，对于百分数的学习而言，应该借助反思来审视统计的整个过程，从而在整体上把握统计的过程，并为后续统计量的学习留有余地。因而，“百分数”一课的最后反思包括两个方面。一方面需要对整个过程进行回顾，明晰每个过程中的关键要义，尤其在统计量的选择以及判断与决策时的相对性，让学生在回顾中进一步感受到统计的不确定性以及这种不确定性所引发的统计与其他数学领域学习的差异性。另一方面，学生需要在学习完百分数之后建立起关于统计量的结构，换言之，百分数只是一种统计分析中的一种统计量，它与平均数都是统计分析的方式，并且在此基础上，让学生意识到统计量还有很多，从而为统计的学习留有余地，促发学生主动地关注统计相关的知识，保持数学学习的持久力。

上述的理论与实践的探索试图为“新课标”中相关统计素养的培养提供一些参考，与此同时，我们也希望“统计与概率”的学习建立在统计过程之上，唯如此，统计素养才能在学生的素养结构中生根发芽，进而让学生更好地立足于现在乃至未来的社会之中。