一类k-体分划下基于量子熵的量子关联测度

李俊青,黄 丽,王银珠,马瑞芬

(太原科技大学 应用科学学院 太原 030024)

量子关联作为量子力学的奇特资源已被广泛应用在很多方面,通过对量子关联的研究,能更清楚的刻画蕴含在量子态之间的非经典关联特性以及刻画复合量子系统各子系统之间的关联程度,纠缠作为最早被发现的一种关联,已被广泛的应用到量子信息与量子计算的各个方面,目前,关于量子纠缠测度的研究,已经有了很多重要的结果,例如Concurrence纠缠测度[1],形成纠缠测度[2],Schmidt数纠缠测度[3],相对熵纠缠测度[4]等。但量子关联远不止纠缠,研究表明可分态中也存在某种量子关联性,目前已有许多有价值的量子关联测度[5-11],比如累积关联测度[12]、量子失协关联测度[13]、测量导出的非局域性[14]等。

本文给出了一类k-体分划下基于量子一致(q,s)熵的量子关联测度,证明了其满足量子关联测度的一些性质。Tsallis熵作为量子一致(q,s)熵的一个特例,最后给出了k-体分划下基于Tsallis熵的量子关联测度。

1 基本定义及主要结果

设H=H1⊗H2⊗…⊗Hm,dimH<+∞,其中Hi是第i个子系统对应的Hilbert空间,S(H)表示H中所有量子态组成的集合。

ΠA(ρ)=

如果ΠA(ρ)=ρ,则称ρ为k经典态,进而ρ可以被表示为:

其中{pi1,i2,…,ik}是概率分布。

在文献[19]中,作者基于量子一致(q,s)熵,提出了局部秩一投影测量诱导的量子关联测度,其中量子一致(q,s)熵定义如下:

S(q,s)(ρ)=

考虑两体复合量子系统H=HA⊗HB,dimH<+∞,ΠK表示两体复合量子系统H=HA⊗HB上的秩一正交投影组成的完备的投影测量,ρ基于一致(q,s)熵测量诱导的量子关联测度定义为:

K={A,B,AB}.

基于两体的情况,作者给出了多体情况下ρ基于一致(q,s)熵测量诱导的量子关联测度定义,Ω为{1,2,3,…,m}所有非空子集。ΠΩ表示对应Ω系统上的秩一正交投影组成的完备的投影测量,多体情况下ρ基于一致(q,s)熵测量诱导的量子关联测度定义为:

在了解了两体和多体的基于一致(q,s)-熵测量诱导的量子关联测度,接下来给出k-体分划下基于量子一致(q,s)熵的量子关联测度。

定义3设H=H1⊗H2⊗…⊗Hm,dimHi<+∞,设ρ∈S(H),则ρ在k-体分划下基于量子一致(q,s)熵的量子关联测度定义为:

接下来证明上述定义的量子关联测度满足非负性,酉不变性,系统添加局部非相干辅助子系统时测度保持不变。

证明定理1之前首先引用以下引理。

当且仅当ρ=ρ′时取等号。

定理1证明:已知测度为:

所以ρ是k-经典态。

定理2(酉不变性) 设H=H1⊗H2⊗…⊗Hm,dimHi<+∞,i=1,2,…,m,ρ∈S(H),U=U1⊗U2⊗…⊗Um,Ui为Hi上的酉算子,则:

证明：

定理3(系统添加局部非相干辅助子系统时测度保持不变) 设H=H1⊗H2⊗…⊗Hm,dimHi<+∞,i=1,2,…,m,ρ∈S(H),设H′为局部非相干辅助子系统,S(H′)表示H′中所有量子态组成的集合,ρE∈S(H′),有:

在文献[19]中作者提出,当量子一致(q,s)熵中的s=1时,即变为Tsallis熵,记为:

另外,文献[20-21]中给出了Tsallis熵的性质:

(1)Tsallis熵是非负的,Sq(ρ)≥0;

(3)Tsallis熵对任意的酉算子U,有Sq(UρU†)=Sq(ρ).

多体量子态基于Tsallis熵的量子关联测度的定义如下。

定义4对任意多体量子复合系统H=H1⊗H2⊗…⊗Hm,dimHi<+∞,i=1,2…m,ρ∈S(H),记

Ω为{1,2,3,…,m}所有非空子集,称Qq(ρ)为量子态ρ的基于Tsallis熵的量子关联测度。

多体量子复合系统中基于Tsallis熵的量子关联测度满足非负性,酉不变性,系统添加局部非相干辅助子系统时测度保持不变。接下来给出k-体分划相对于Tsallis熵的的量子关联度。

定义5设H=H1⊗H2⊗…⊗Hm,dimHi<+∞,ρ∈S(H),则ρ在k-体分划下相对于Tsallis熵的量子关联度定义为:

2 结论