注重学历案的本质，促进学生深度学习

陈明朋

课题信息：江苏省教育科学“十四五”规划2021年度重点课题“基于学历案的高中数学主题单元教学模式建构与实践探究”，课题编号为B/2021/02/152.

“学历案”是基于传统的“教案”“学案”“导学案”，实现稳步跨越，突出一个“历”字，注重学生的学习经历与学习过程.它是基于学生的实际情况，在教师的合理设计及正确引导下学生学习过程中使用的一种文本方案，是教师因材施教、师生多元素互动的载体，成为“三新”背景下学生深度学习数学的蓝本，更是学业质量监测与评价的重要依据，成为学生立场的教案变革.

1 一个学历案的教学案例

下面以普通高中教科书数学必修第一册（人教A版）的“5.1.2弧度制”为例，阐述“学历案”的教学设计.

1.1 导学聚焦

导学聚焦如表1所示.

1.2 问题导学

预习教材第172～175页的内容，思考以下问题：

（1）如何规定1弧度的角？是如何定义的？

（2）基于规律，如何进行弧度制与角度制之间的互化与换算？

（2）初中平面几何中扇形弧长、面积公式是什么？弧度制下，扇形弧长、面积公式又是什么？

1.3 新知初探

1.3.1 度量角的两种制度

角度制与弧度制的对比如表2所示.

1弧度

的角

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，1弧度记作1 rad（rad可省略不写）

微思考1：在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？

提示：不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，因此圆心角也不同.

1.3.2 弧度数的计算与互化

（1）弧度数的计算

弧度数的计算如圖1所示.

（2）弧度与角度的互化

微思考2：①角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间是如何换算的？

提示：换算公式为π=180°.

②你认为式子|α|=lr中，比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？

提示：与半径大小无关.一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的.

1.3.3 弧度制下扇形的弧长与面积公式

表3

弧长公式

扇形面积公式

角度制

l=nπr180

S=nπr2360

弧度制

l=|α|·r

（0＜|α|＜2π）

S=12lr=12|α|r2

（0＜|α|＜2π）

注：表3中扇形的半径为r，扇形的圆心角为n°.

微思考3：在应用扇形的面积公式S=12|α|r2时，α的单位能是角度吗？

提示：不能.α的单位必须是弧度.

1.4 概念应用

1.4.1 角度制与弧度制的互化

例1  将下列角度与弧度进行互化：

（1）22°30′；  （2）－208°；

（3）5π12；  （4）－6π5.

1.4.2 用弧度制表示终边相同的角

例2  把－1 390°写成2kπ+α（k∈Z）的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限的角？

1.4.3 扇形的弧长与面积的计算

例3  （1）已知扇形的圆心角为150°，半径为2cm，则此扇形的面积为cm2.

（2）已知扇形的周长为12 cm，面积为3 cm2，求该扇形的圆心角的弧度数.

1.5 配套练习

略.

2 学历案设计及其应用需注意的问题

2.1 注重以学生为中心

“学历案”的创新点就是以学生为中心，改变传统教学中以教师为中心的教学设计方案，课堂教学与学习不再处处留下教师“教”的痕迹，淡化课堂教学中的教师风采.回归本源，教师站在更高的立场上去思考、去设计，在备教材、备学生的基础上，合理设计基于学生已有知识、经验基础的学习方案，让学生自己去体验，去学习，合理引导学生经历从未知到已知、从认识到理解、从分析到应用、从评价到创造等一系列学习过程.同时，在以学生为中心进行学习的基础上，借助“学历案”的形式加以深度学习，深入理解基本知识与知识脉络，突破瓶颈效应，进一步加以探究与反思，从而达到更加有效的学习效果.

例如，在讲授例2时，用弧度制表示终边相同的角要特别关注度量单位的一致性，以及解答过程中的正确性.

基于学生的解答，教师对一些典型的解答过程加以剖析，对错误细节及过程性等问题加以全面梳理.同时，让学生自主进行变式分析.以下是在实际教学过程中，学生反馈的几个典型变式，结合归纳加以展示：

变式1  （回归角度制变式）把－1 390°写成k·360°+α（k∈Z）的形式，其中0°≤α<360°，并判断它是第几象限的角？

变式2  （深入应用变式）保持条件不变，尝试在＼2.2 体现教学的整体性

“学历案”的设计必须依托高中数学课程的整体架构与方向，根据教学任务与要求，对现任班级学生的实际的学习需求、学习现状等作出正确的分析，从而正确把握教学内容的范围、知识点的难易程度以及学习深度等.

具体的课堂教学是整个高中数学课程学习的一个重要的、不可或缺的环节.对于整体性的把握，可以很好地确定教学内容的大方向，更能有针对性地设计学习过程，特别是对学生的不足点、补充点、易错点等方面的把握，能够更好进促进学生的学习，达到教学的整体性效果.

在实际“学历案”设计与应用中，经常采用知识模块、专题性问题、大单元教学等方式，使学生学习经历更加到位，深度学习更加明确，知识体验更加全面，评价检验更加合理.

2.3 构建“教—学—评”一致性

“学历案”除具有自身特色外，作为数学课程的“四要素”的教学目标、教学内容、教学实施和教学评价均在其中有所体现，能够更好地体现“教—学—评”的一致性，避免了“教”与“学”、“学”与“评”等方面的割裂.

而这其中就离不开教师的合理设计，根据教学内容与学生情况，基于全面考虑来合理设置问题与任务，合理的问题与任务更加契合学生的实际情况，这样才能有效达成教学任务的实施、学习过程的落实以及评价检验成果等方面的科学调配，形成一个“教—学—评”的一致性方案.

在一些专题教学设计中，经常借助“学历案”的方式来巧妙设计，让学生自主参与其中，自主学习、自主练习、自主评价.

例如，在例题中可以设置变式问题、配套练习等加以自主学习.

“学历案”有别于“教案”“学案”“导学案”，又高于“教案”“学案”“导学案”，是学生学习经历的体现，也是学生思维历练的过程，更是学生学习经验的积累，为促进“四基”的全面落实并深化深度学习夯实基础.

“学历案”坚定走学生立场的路线，为学生“学会”数学基础知识与基本技能等搭建架构，更加关注知识体系的统一性与完整性，倡导高中数学课程价值的引领；在一定程度上也提升数学教师的全面能力与水平，脱胎于原来教案的撰写为学历案的设计，从而迈向科学，稳步走向专业.