巧借坐标运算，妙解向量问题

陈晨

摘要：利用坐标运算法解决平面向量问题是比较常见的一种技巧，也是解决平面向量中重点与难点问题的一大“法宝”.结合实例剖析，通过平面直角坐标系的构建与对应坐标的表示，合理数学运算，减少逻辑推理，实现平面向量解题的程序化运算处理，指导数学教学与解题研究.

关键词：平面向量；坐标；运算；数量积

平面向量自身同时兼备“数”的基本属性与“形”的结构特征，是衔接代数与几何的一个纽带，更是数形结合的典范之一.而利用坐标运算法来处理平面向量的一些相关问题，将相应的平面几何的“形”的问题加以符号化处理、坐标化表示，转化为“数”的问题，进行数量化应用与数学运算处理，使得推理应用问题转化为数学运算问题，可以更加深入地解决一些复杂的综合性、创新性等平面向量应用问题.

1 参数值的问题

在平面向量中，涉及向量线性关系的系数、线段的比例关系等相关参数值的求解，以及对应参数的代数关系式的求解问题，经常可以借助平面直角坐标系的构建，利用坐标运算法来进行数学运算与逻辑推理等.

例1  〔2023届广东省六校联盟（广东省实验中学、广州二中、中山纪念中学等）高三上学期第三次联考数学试卷〕如图1，在平面四边形ABCD中，∠BAD=5π6，∠BAC=π6，AB=3，AD=2，AC=4，AC=λAB+μAD，则λ+μ=（  ）.

A.2

B.23

C.4

D.6

分析：根据平面几何图形，合理构建平面直角坐标系，将平面图形中的线段长度与角度关系转化为对应的点的坐标，利用坐标运算来确定相应的向量，结合向量的坐标运算构建对应参数的关系式，进而确定所求关系式的值.

解析：如图2所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），D（－3，1），C（23，2），

于是AC=（23，2），AB=（3，0），AD=（－3，1）.

由AC=λAB+μAD，可得3λ－3μ=23，μ=2，解得λ=4，μ=2.

因此λ+μ=6.

故選择答案：D.

点评：解决此类问题的方法比较多，可以通过“数”的思维来应用，也可以通过“形”的特征来分析.而利用坐标运算法解决平面向量中对应参数值的求解问题时，关键是将直观形象的平面几何图形放置于对应的平面直角坐标系中，借助相应的坐标表示，化逻辑推理为数学运算，借助坐标运算来分析与求解.

2 向量模的问题

在平面向量中，涉及向量的模或模的取值范围（或最值）的求解问题，经常可以借助平面直角坐标系的构建，合理引入向量的坐标，进而利用坐标运算法来进行数学运算与逻辑推理等.

例2  已知平面向量a，b，c满足|c|=1，且满足a·c=2，b·c=1，则|a+b|的最小值为.

分析：根据题设条件，通过合理构建对应的平面直角坐标系，并引入向量a，b的坐标，结合向量的数量积公式确定相关参数的值，利用向量模的公式构建对应的关系式以及利用函数的基本性质来确定相应的最值问题.

解析：依题建立相应的平面直角坐标系，不失一般性，不妨设c=（1，0），a=（x，y），b=（m，n），其中x，y，m，n∈R.

结合条件a·c=2，b·c=1，利用向量数量积的坐标公式，可得a·c=x=2，b·c=m=1.

因为a+b=（x+m，y+n），所以|a+b|2=（x+m）2+（y+n）2=9+（y+n）2≥9，当且仅当y+n=0时，等号成立.

所以|a+b|≥3，即|a+b|的最小值为3.

故填答案：3.

点评：借助适当的平面直角坐标系的构建并引入向量的坐标，为和向量的模合理构建对应的函数关系式，进而结合参数之间的关系与表示，利用函数的基本性质来分析与转化.通过代数思维中的坐标运算来处理此类向量模的相关问题，借助纯粹的代数运算即可达到目的，目标明确.

3 数量积的问题

在平面向量中，涉及平面向量的数量积以及数量积的线性关系式等的求解、取值范围（或最值）的确定问题，经常可以借助平面直角坐标系的构建，利用坐标运算法来进行数学运算与逻辑推理等.

例3  〔2023届山东省潍坊市高考模拟考试数学试卷（2023年潍坊东营一模）〕单位圆O：x2+y2=1上有两定点A（1，0），B（0，1）及两动点C，D，且OC·OD=12，则CA·CB+DA·DB的最大值是（  ）.

A.2+6

B.2+23

C.6－2

D.23－2

分析：根据平面向量自身“数”的基本属性，通过数学运算，借助坐标法来转化与应用，巧妙引入点或夹角等参数，通过点的坐标、向量的坐标及其对应的运算、数量积公式等，综合三角函数等其他知识来应用.

解析：根据OC·OD=12，可得|OC||OD|＼5cos ∠COD=cos ∠COD=12，则∠COD=π3.

不失一般性，设点C（cos ，sin ），∈＼CA·CB+DA·DB=（1－cos ，－sin ）·（－cos ，1－sin ）+1－cos +π3，－sin +π3·－cos +π3，1－sin+π3=2－cos －sin －cos +π3－sin +π3=2+32－32sin －32+32cos =2－6sin （+φ）≤2+6，此时tan φ=2+3，当且仅当sin （+φ）=－1时，等号成立，即CA·CB+DA·DB的最大值是2+6.

故选择答案：A.

点评：通过题目条件合理引入对应的点或夹角等参数，进而利用平面向量数量积的坐标公式，将已知条件转化为涉及参数的代数关系式，结合函数的图象与性质、三角函数的有界性或不等式的基本性质等来确定对应关系式的最值问题.此类问题利用代数思维往往更加方便，利用相应的数学运算即可得到最终结论.

4 创新应用问题

创新意识与创新应用是新时代的一个主旋律.在平面向量中，涉及平面向量问题的创新应用也是一大主阵地，挖掘创新本质，合理构建平面直角坐标系，坐标运算法有时也是解决向量创新应用问题的一个不错的选择.

例4  （2022届浙江省杭州市高三年级下学期4月教学质量检测数学试卷）对于二元函数f（x，y），minx{maxy{ f（x，y）}}表示f（x，y）先关于y求最大值，再關于x求最小值.已知平面内非零向量a，b，c，满足：a⊥b，a·c|a|=2b·c|b|.记f（m，n）=|mc－b||mc－na|（m，n∈R，且m≠0，n≠0），则minm{maxn{ f（m，n）}}=.

分析：根据题目条件，巧妙建立相应的平面直角坐标系，引入对应向量的坐标参数，利用向量投影的几何意义并结合题设条件确定相关向量c的坐标关系，进而利用平面向量的坐标运算、向量模的公式等构建对应的函数解析式，结合创新定义并利用函数的基本性质加以分步处理，分层解决.

解析：依题建立相应的平面直角坐标系xOy，结合a⊥b，不失一般性，可设平面向量a=（a，0），b=（0，b），a，b∈R.

结合关系式a·c|a|=2b·c|b|，借助向量投影的几何意义，可知c在a方向上的投影恰为c在b方向上投影的两倍，故可设c=（2t，t），t∈R，于是

f（m，n）=|mc－b||mc－na|=|m（2t，t）－（0，b）||m（2t，t）－n（a，0）|=5m2t2－2mtb+b25m2t2－4mnta+n2a2=5m2t2－2mtb+b2m2t2+（2mt－na）2.

因此可得，当2mt=na时，maxn{ f（m，n）}=5m2t2－2mtb+b2m2t2=bmt－12+4，进而

可得，当bmt=1，即mt=b时，minm{maxn{ f（m，n）}}=4=2.

所以minm{maxn{ f（m，n）}}=2，当且仅当na=2mt=2b时，等号成立.

故填答案：2.

点评：通过建系，利用坐标运算法，合理把握创新应用问题的实质，是处理此类平面向量中创新问题比较常用的一种通技通法.

借助坐标运算法来解决平面向量的综合应用问题，通过点、向量等的坐标化处理，由“形”转化为“数”，利用代数思维来解决平面向量中的“数”或“形”的相关问题，避免变幻莫测的直观图形和繁杂的逻辑推理等，实现平面几何问题的代数化，由变化多端的平面向量应用问题转化为对应坐标的代数运算问题，方向性强，思维单一，技巧易懂，方法灵活，值得借鉴与推广.