厘清运算对象与法则，探究运算思路和方法

车慧

数学运算是“新课标”中提出的数学六大核心素养之一.因此，数学运算在高考中受到了高度关注，“成也运算，败也运算”，几乎成为一种共识.从当下高中数学教学的现状来看，学生的数学运算能力在整体表现上依然比较“孱弱”，“一听就懂，一做就错”的现象普遍存在.采取切实有效的措施，使数学运算素养在课堂教学中落地生根，是一个值得我们高度重视的课题.下面以高考及其模拟试题中的“函数”问题为例，谈谈笔者的一些认识和体会，供大家参考.

1 弄清运算对象，找准运算方向

数学运算素养是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的一种素养.对于具体的数学运算，我们要结合运算情境，正确地分析并弄清数学运算对象，深刻认识运算对象的特征，挖掘其内涵，明确运算的方向，以理性思维为基础，合理地将问题加以变形与转化，进而通过正确的运算使问题获得解决.

例1  （2023届上海市普陀区高考一模数学试题）设b，c均为实数，若函数f（x）=x+bx+c在区间＼.

分析：根据题设条件，结合所求结果中代数式的结构特征，对比最值或取值范围求解的一般形式，确定运算对象，合理联系对应的基本不等式的有关知识，通过基本不等式的变形公式的应用来分析与求解，简捷有效.而涉及分式函数的最值求解问题，则可结合运算对象的确定，直接利用对勾函数的图象与性质，或借助函数与导数的有关知识，通过合理的运算使问题获得解决.

解析：由题意，函数f（x）=x+bx+c在区间＼＼

由基本不等式的变形公式，可得（b2+c2）（1+x2）≥（b+cx）2=（－x2）2=x4，当且仅当b1=cx时等号成立，则问题可转化为b2+c2≥x41+x2在x∈＼12，+∞.

点评：弄清相应的运算对象是解决数学问题的一种最基本的思维方式，只有弄清了运算对象，才能知道怎么处理运算对象，运算才有方向感.在本例的求解过程中，根据问题的条件和目标，分析它们之间的联系，根据运算对象的结构特征，合理地联想由基本不等式引申变形而得到的公式（柯西不等式）及其成立的条件，通过运算实现问题的转化，找准运算的方向，再通过相应的数学运算获得了结果，问题迎刃而解.

2 理解运算法则，明晰运算依据

数学运算是在一定的法则下进行的，理解数学运算的法则，明晰数学运算的理论依据，是数学运算得以顺利实施、取得正确结果的基本保证.解决数学问题，在弄清了运算对象以后，紧接着就要思考“需要进行哪种数学运算？相应的运算法则是什么？”在正确认识和理解相应的运算法则的基础上，确定运算思路和途径，进行科学合理的数学运算，为问题的解决开拓出一个全新的局面.

例2  （2023年全国乙卷＼516）设a∈（0，1），若函数f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是.

分析：原问题等价于f′（x）=axln a+（1+a）x＼5ln （1+a）≥0在（0，+∞）上恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1+aax≥－ln aln （1+a），由左侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a的取值范围.

解析：根据题设条件，可得f′（x）=axln a+（1+a）xln （1+a）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，则

（1+a）xln （1+a）≥－axln a，即1+aax≥－ln aln （1+a）在区间（0，+∞）上恒成立.由a∈（0，1），得y=1+aax为增函数，故1+aa0=1≥－ln aln （1+a）.而a+1∈（1，2），则ln （a+1）≥－ln a，0

点评：理解数学运算的法则，明晰数学运算的依据，是让运算能够沿着既定的方向顺利进行的有力保证，对于解决一些与函数、方程和不等式有关的问题有着独特的功效.这里借助导数将函数的单调性问题转化为不等式恒成立，再借助参变分离的方法，利用指数和对数的运算法则巧妙地求出a的范围，使问题获解.

3 选择运算思路，设计运算程序

解决数学问题，一项十分重要的工作就是结合题目中的条件与结论的分析，通过理性思维打通条件向结论转化的途径，找到解题的思路，在明晰算理的基础上设计出运算的程序.结合问题的具体情境和基本特征，选择恰当的运算思路，设计合理的运算程序，算思结合，以思助算，无疑会对提高运算的效率、提升学生的思维品质起到很好的促进作用.

例3   （2023年浙江·统考一模）设函数y=f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x－1）为奇函数，当x∈［－1，1］时，f（x）=1－x2，则∑2023k=1f（k）=.

分析：根据题设條件，将抽象函数的奇偶性进行等价转化，通过函数基本性质的确定，探究运算思路，为问题的求解打开局面.

解析：因为函数y=f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x－1）为奇函数，则

f（1－x）=f（1+x），f（－x－1）=－f（x－1），所以，函数f（x）的图象关于直线x=1对称，也关于点（－1，0）对称.所以，f（－x）=f（x+2），f（－x）=－f（x－2）.所以f（x+2）=－f（x－2），则f（x+8）=－f（x+4）=f（x）.由此可知，函数y=f（x）是以8为周期的周期函数.

由题意，当x∈［－1，1］时，f（x）=1－x2，则f（1）=0，f（7）=f（－1）=0，f（8）=f（0）=1.

所以f（2）=f（0）=1，f（3）=f（－1）=0，f（4）=－f（－6）=－f（2）=－1，f（5）=f（－3）=－f（1）=0，

f（6）=－f（－8）=－f（0）=－1.

所以∑8k=1f（k）=0+1+0－1+0－1+0+1=0.

又2 023=8×253－1，故∑2023k=1f（k）=253∑8k=1f（k）－f（8）=0－1=－1.

点评：这里，基于函数的奇偶性、对称性、周期性之间关系的视角去分析函数的求值问题，将函数的奇偶性等价转换为函数的周期性，运算思路的选择和运算程序的设计，沟通了题目的条件和结论之间的联系，实现了问题的转化，使问题获得简捷巧妙的解决.

4 感悟运算方法，提升运算技能

培养学生的数学运算素养，不仅要让学生弄清运算对象、理解运算法则，使学生学会选择运算思路、设计运算程序，更要让学生掌握运算方法，提升运算技能.一个数学问题的解决，往往有多种方法，教学中，要注意指导学生通过观察、分析和比较，从这些方法中选取运算步骤少、变形简便、运算量小的最佳方法，使得解题运算科学合理、省时省力.

例题略.

“数学运算”并不是简单的数学计算，“数学运算”主要是对运算对象、运算法则、运算思路、运算方法等方面的理解、掌握、探究和选择，因此，提升学生的“数学运算”核心素养显得尤为重要.为促进学生“数学运算”核心素养的提高，倡导教师：（1）讲授新课时，应该将概念讲清楚，讲透彻，加强概念教学，注重概念的引入，分析概念的含义，了解概念的本质，掌握概念的内涵与外延，从多角度入手，加深学生对概念的理解.让学生能在概念与概念间建立联系.（2）讲授习题课时，将习题所涉及到的知识点，思想方法讲清楚，讲明白，帮助学生对相关知识制作思维导图，使零散的知识点建立起直观的联系.（3）复习课不要盲目刷题，多变式教学，一题多解.打破机械、套路、思维定式的答题思路，提升“数学运算”核心素养，维持关联结构水平并向拓展结构水平迈进.