关注应用 提升素养

陈霞

基本不等式a+b2≥ab（a≥0，b≥0）是高考的一个重要考点，它在证明不等式与求函数最值中都有着重要的应用，它是一个值得深入研究的知识点.在基本不等式教学中，大多教师会从教学实际出发，设计符合学生认知的教学情境来激发学生探究的积极性，并提供时间和空间让学生经历公式的推导过程，以此让学生理解和掌握基本不等式.不过，学生虽然理解并掌握了基本不等式，但是在具体应用中还是会出现“一错再错”或“无从入手”的情况.基于此，笔者从应用的角度出发，提出了几点教学意见，仅供参考.

1 巧借錯误，形成正确认识

为了让学生能够灵活应用基本不等式这一知识点解决问题，首先要让学生形成正确的认识.在基本不等式的教学过程中，教师会重点强调“一正、二定、三相等”这一重要的适用条件，但是学生在具体应用中还是会发生遗忘，从而引发错误.为了减少或避免遗忘，教师不妨主动“示错”，让学生在“纠错”的过程中形成正确的、深刻的认识，以此提高解题准确率.

案例1  判断以下题目的解答过程是否正确？若有错误，请写出纠正过程.

（1）已知x，y都是正数，且x+2y=1，求1x+1y的最小值.

解：由x+2y=1，得1x+1y=（x+2y）1x+1y≥2x·2y＼521x·1y=42.

故1x+1y的最小值为42.

（2）设y=x2+2x+5+1x2+2x+5，求函数的最小值.

解：因为x2+2x+5>0，则由基本不等式可得y≥2，所以函数的最小值为2.

问题给出后，让学生独立纠错，教师巡视，并进行个别点拨，然后呈现学生的纠错过程.

师：谁来说一说，问题（1）的解题过程正确吗？为什么？

生1：问题（1）的解答是错误的，在应用基本不等式解决问题时，忽视了“相等”这一条件.若想让等号成立，则需x=2y和x=y同时成立，显然这是不可能的，所以该解法是错误的.

师：分析得非常好！你是如何求解的呢？

生1：由x+2y=1，得1x+1y=（x+2y）1x+1y=1+2yx+xy+2=3+2yx+xy≥3+2yx·xy=3+22，

当且仅当2yx=xy时，等号成立.

又x+2y=1，解得x=2－1，y=1－22.

所以，当x=2－1，y=1－22时，1x+1y取最小值，最小值为3+22.

生1的解题过程给出后，教师让学生点评，以此进一步深化对基本不等式的理解.学生理解并掌握问题（1）后，再继续呈现问题（2）的分析过程.

师：谁来说一说问题（2）？

生2：问题（2）的解题过程也是错的，与问题（1）的错误本质是相同的，也是忽视了基本不等式的取等条件.要想取得最小值2，当且仅当x2+2x+5=1x2+2x+5，显然该等式不成立，所以问题（2）的解题过程是错误的.

师：具体说一说，你是如何求解的.

生2：我是利用函数单调性来求解的.令u=x2+2x+5（u≥4），则函数f（u）=u+1u.若u1>u2≥4，则f（u1）－f（u2）=（u1－u2）1－1u1u2>0，可见f（u）在［4，+∞）上单调递增，因此当u=4时取最小值，其最小值为4+14=174，此时x=－1.所以，当x=－1时，函数取最小值，最小值为174.

师：很好，运用基本不等式时一定要注意等号成立的条件.虽然利用基本不等式求最值是一种重要的解题方法，但是这并不代表所有的求最值问题都可以用基本不等式来求解.解题时切勿盲目套用，要充分考虑公式的适用条件.

在实际教学中，有些易错点、重难点，教师是反复讲、重复练，但是解题效果依然难以达到预期.基于此，教师不妨主动呈现错误，让学生在错误中思考，在思考中深化，以此有效规避或减少错误的发生，培养学生的批判性思维能力.

2 巧借应用，促进知识深化

基本不等式在函数、不等式中有着重要的应用，是高考中极其重要的知识点.引导学生运用所学知识解决问题是数学教学的落脚点，也是提高学生学习能力，发展学生数学素养的必经之路.基本不等式的用法比较灵活，教师有必要引导学生从不同角度出发，思考不同的解决方法，让学生学会顺用、逆用、灵活用，以此提高学生解决问题的能力.另外，教学中，教师应重视呈现学生的思维过程，以此通过对比分析发现不同解决的策略，提高学生数学应用水平.

案例2  已知a+b=1，且a＞0，b＞0，求证：1a+1b≥4.

分析：本题若直接从结论出发，很难看到基本不等式的“身影”，因为在条件“a+b=1”的作用下，基本不等式被隐藏了起来，学生对“a+b=1”这一条件的处理直接影响着解题效果.本题求解时，不妨将“1”化身为“a+b”，由此可见基本不等式的“真面目”，从而顺利地解决问题.

解题时，让学生独立解决，并鼓励学生应用不同的方法证明.现将学生的证法总结如下：

证法一：因为a＞0，b＞0，所以a+b≥2ab（当a=b时取等号），1a+1b≥21ab（当a=b时取等号）.

两式相乘，得（a+b）1a+1b≥4ab·1ab=4.又a+b=1，所以1a+1b≥4.

证法二：因为a+b=1，所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+4=4（当a=b时取等号）.

教师呈现学生的解题过程，并让学生进行归纳整理，然后给出如下变式问题.

变式1  已知a+b=1，且a＞0，b＞0.求证：（2a+b）（a+2b）≤92.

变式2  已知a+b=1，且a＞0，b＞0.求证：a+12+b+12≤2.

变式3  已知a+b=1，且a＞0，b＞0.求证：（a+2）2+（b+2）2≥252.

在日常教学中，适度地运用变式训练，不仅可以帮助学生巩固知识、强化技能，而且可以凸显问题的本质，提升学生举一反三的能力.其实，基本不等式中蕴含着丰富的数学思想方法，如逆向思维、转化与化归、数形结合等.在日常教学中，教师应创造机会让学生总结归纳，以此感悟思想、提炼方法，提高学生的思维品质，提升学生解题能力.

3 联系实际，促进知识升华

在课堂教学中，教师应提供机会让学生利用所学知识去解决实际问题，以此激发学生学习的动机，提高学生学习兴趣.“学以致用”既是数学教学的出发点，也是数学教学的落脚点，教学中要引入一些学生熟悉的、感兴趣的生活实例，以此引发学生情感共鸣，激发学生学习积极性.

案例3  小明和小刚每个月都会相约到一家超市购买两次大米，他们采用了不同的购买方式，小刚每次购买10 kg大米，小明每次购买10元大米.假设大米的价格是有波动的，第一次购买时的价格为x元/kg，第二次购买时的价格为y元/kg，试问以上两种购买方式，哪种更划算？

分析：要想知道哪种购买方式更划算，其实就是要算出两次购买大米的均价.根据已知，小刚购买大米的均价为x+y2元/kg，小明购买大米的均价为2xyx+y元/kg.接下来利用基本不等式知识探讨，发现小明购买大米的方式划算.

这样从学生熟悉的生活情境出发，不仅可以调动学生参与的积极性，而且可以培养学生的应用意识.其实，生活中有许多关于最值问题都可以应用基本不等式来解决，教师要合理引入，以此让学生全面、系统地理解基本不等式.