发挥学生主体作用，助推学生深度学习

韩雪梅

目前，数学教学中依然存在着程序化、形式化、碎片化的浅层学习方式，影响了学生学习能力的提升和思维能力的发展.为了帮助学生获得更好的学习效果，数学课堂上需要对数学知识的深度学习，以此提高学生学习层次，强化学生学习能力，建构知识体系，让学生获得可持续学习能力，促进终身学习目标的达成＼.笔者以“等比数列的前n项和”教学为例，谈谈自己对深度学习的一些认识，供参考.

1 教学过程

1.1 联系旧知，明晰方向

问题1  回顾已学的等差数列和等比数列的相关知识，完成表1.

设计意图：引导学生回顾已学知识，以期通过新旧知识的有机融合让学生对数学知识的理解更加系统化、结构化，培养学生良好的思维习惯.

1.2 创设情境，让学引思

问题2  为了让全世界（约75亿人）的人都能了解南京，南京某校欲开展“信息传递”活动.小明作为第1天的“传递官”需要将南京的人文历史介绍给两个人.第2天包括小明在内就有3人知道信息了，两名新的“传递官”将之前获得的信息分别传递给两个人，这样第3天就有7人得知信息，以此类推，多少天后能够实现目标呢？请尝试用数学语言表述.

问题给出后，学生积极思考，很快就有了发现.

生1：第1天1人，第2天新增2人，第3天新增22人，第4天新增23人，……，第n天新增2n－1人，问题可以转化为不等式问题，即求1+2+22+……+2n－1≥7.5×109.

师：分析得很有道理，不过这个不等式该如何求解呢？（学生陷入沉思）

师：64天后会有多少人知道呢？S64=1+2+22+23+……+263=？

问题给出后，让学生分组探索求解方法.在教师的启发和引导下，学生给出了如下解法：

解法1：错位相减.

S64=1+2+22+23+……+263，①

2S64=2+22+23+……+263+264.②

②－①，得S64=264－1.

解法2：猜测归纳.

S1=1=21－1，S2=3=22－1，S3=7=23－1，……，猜测S64=264－1.

解法3：内部结构分析.

S64=1+2+22+23+…+263=1+2（1+2+22+23+…+262）=1+2S63，

所以S64=1+2（S64－263）.

故S64=264－1.

设计意图：活动与体验是发展学生学习能力、提升学生数学素养的重要途径.教学中，教师以贴近学生的生活情境为背景，引导学生用数学语言去表述，用数学思维去思考，提高学生数学能力.在问题的解决过程中，教师没有直接呈现问题分析和解决的过程，而是放手让学生去思考、去合作，鼓励学生从不同角度探寻解决问题的方法，以此提高思维活力，引发深度学习＼.

1.3 公式推导，揭示本质

问题3  如果将推导等比数列前n项和公式转化为一道数学题，可以怎样转化呢？

生2：已知等比数列{an}的首项为a1，公比q（q≠1），记Sn=a1+a2+a3+……+an，求Sn=f（n）（n∈N*）的解析式.

问题4  请结合探索“S64=1+2+22+……+263=？”的经验，求Sn=f（n）（n∈N*）的解析式.

问题给出后，预留充足的时间让学生思考.通过积极思考与交流，学生给出了如下推导过程：

证法1：当q≠1时，  Sn=a1+a2+a3+……+an+0，③

qSn=0+a2+a3+……+an+an+1.④

③－④，得（1－q）Sn=a1－qan=a1－a1qn.

故Sn=a1－a1qn（1－q）（q≠1）.

证法2：当q≠1时，因为

Sn=a1+a2+a3+……+an=a1+q（a1+a2+a3+……+an－1）=a1+qSn－1，

所以Sn=a1+q（Sn－an）.

故Sn=a1－a1qn（1－q）（q≠1）.

问题5  当q=1时，如何求等比数列的前n项和？请写出等比数列的前n项和公式.

学生归纳总结，得到等比数列的前n项和公式：

Sn=f（n）=na1，q=1，a1（qn－1）q－1，q≠1.

设计意图：公式推导是本节课的重难点内容，是诱发深度思考的重要途径.在本课教学中，教师一改往日以师为主的讲授模式，引导学生通过小组合作自主推导公式，以此通过经历公式推导的过程，理解公式的本质属性.在以上教学过程中，引导学生用精准的数学形式进行问题的表征，用不同的方法证明，让学生体验了等比数列前n项和的本质，为后期应用打下了坚实的基础.同时，不同角度的证明方式，拓宽了学生的视野，实现了数学思维的进阶.

1.4 公式应用，提高能力

问题6  回归最初的问题2，按照以上传递方式，多少天后可以让全世界的人认识人文荟萃的南京呢？

学生根据公式求解：2n－1≥7.5×109，所以n≥log2（7.5×109+1）≈32.8，故33天后可以完成.

问题解决后，教师又给出例题帮助学生巩固强化，题目如下：

例1  判断下列各式中公式的使用是否正確？若不正确，请给出理由.

（1）1－2+4－8+……+（－2）n－1=1（1－2n）1－2；

（2）1+2+4+8+……+2n=1（1－2n）1－2；

（3）若c≠0，c≠1，则c2+c4+c6+……+c2n=c2［1－（c2）n］1－c2.

例2  已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，Sn为数列{an}的前n项的和.

（1）若a1=1，ak=243，q=3，求Sk；

（2）若q=12，n=6，Sn=1894，求an；

（3）若S3=72，S6=632，求an.

设计意图：例题是课堂教学的重要组成部分，通过问题的解决既能达到巩固强化的目的，又能帮助学生积累丰富的解题经验.教师设计以上题目旨在引导学生辨析公式的本质属性，加强公式理解的深度，进一步提高学生数学抽象素养.

2 教学思考

在高中数学教学中，教师要打破传统的“讲授＋题海”，提供机会让学生去思考、去探索、去交流，以此通过亲身经历逐步培养“四基”、落实“四能”.为了实现这一目标，教师在教学设计中应注意以下几点：

2.1 重视突破重难点

公式的推导是本课教学的重点，也是难点.为了凸显重点、突破难点，教师没有直接将教材中的推导过程呈现给学生，而是让学生结合已有的知识和能力寻找适合的推导方法，以此激发学生探究兴趣，让学生更加全面、深刻地理解公式.推导公式时，学生给出了3种不同的推导方案，获得了对公式不同角度的理解，充分展示了思维的创新性，提高了自身的思维品质.

2.2 重视公式本质的理解

数学公式具有高度的抽象性，教学中需要引导亲身经历数学公式抽象的过程，以此帮助学生把握数学公式的本质.本课教学中，教师将公式推导的主动权交给学生，学生得到了不同的推导方案，对数学公式获得了本质的理解.

总之，数学教学中，教师要认真研究教学内容，认真研究学生，结合教学实际创设有效的问题，让学生在问题的驱动下积极思考、积极合作，通过深度学习加深学生对数学本质的理解，提升教学品质.

参考文献：

[1]吴小兵.结构化视角下数学深度学习的实践探究＼.教学与管理，2020（10）：53-55.

[2]马敬雄.以助力深度学习为目标的小组合作策略探究＼.新教师，2022（6）：53-54.