母题探源：拓展教材习题的价值

王永军

摘要：从教材（教科书）的两个习题出发，整合出一个不等式链，探究其在数学“大题”中的应用价值.大单元统筹教材资源，帮助学生构建数学单元整体认知体系结构，着力突破教学重难点，提升数学核心素养.

关键词：母题；教材；不等式链

数学教材（教科书）中的习题是学生学习数学的重要载体，具有基础性的重要地位.教材习题的设置看似简单，有些甚至显而易见，但它们具有良好的梯度与针对性，是教材编写专家集体智慧的结晶.教材习题也必然是教师教育教学的载体，教师要引导学生用好教材习题资源，充分挖掘教材习题的“暗示”功能，即提供范例.高考数学试卷的命题专家们必然会潜心研究教材中的习题，数学试卷中也必然会恰当运用这些范例，从而引导教学、教法、思维.

本文中以普通高中教科书数学选择性必修第二册（人教A版）中“两个习题引出的不等式”的教学为例，探讨教材母题的应用价值，与大家分享.

1 课标要求

通过导数的学习，学生要掌握导数的基本运算，学会运用导数来研究函数的性质，进而解决一些实际问题.不等关系是数学中最基本的数量关系，用导数研究函数的单调性，由此得到函数在相应区间的极值（最值）能够建立一些重要的不等关系，同时通过函数图象能够直观理解导数的几何意义.

2 教学片段

问题呈现：

问题1  （教材第94页练习第2题）证明不等式：x－1≥ln x，x∈（0，+∞）.

问题2  （教材第99页习题5.3第12题）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：

（1）ex>1+x，x≠0；

（2）ln x0.

（Ⅰ）左右对称，有机整合至真

证明问题1、问题2，只需构造相应的函数：f1（x）=（x－1）－ln x（x>0），f2（x）=ex－（1+x），f3（x）=x－ln x（x>0），f4（x）=ex－x.接下来的任务就是对函数求导、判断单调性、由极值得最值，进而建立不等式，证明过程简单.

设计意图：对问题1、问題2进行整合，可以得到不等式链

ln x≤x－1

①式中的不等式链几乎无须附加任何条件.当且仅当x=1时，ln x=x－1；当且仅当x=0时，x+1=ex.注意涉及到对数ln x时需要考虑x>0，这其实是对数本身对真数的要求.

另外，①式左右两端是对称的.事实上，若①式左边不等式ln x≤x－1成立，结合指数函数y=ex的单调性，可得eln x≤ex－1，即x≤ex－1，这表明x+1≤ex成立，即①式右边不等式成立；反之亦然.

①式在很多数学问题（不等关系）的处理中可以大显身手、化繁为简，有些看似“莫名”的函数取值都可以通过①式得到解释.

取x=1a代入①式中的ln x≤x－1，则－ln a≤1a－1，从而1－1a≤ln a，于是可以得到下面的不等式链

1－1x≤ln x≤x－1（x>0）.②

当且仅当x=1时，②式等号成立.

另外，取x=1n代入①式中的x+1≤ex，可以得到经典的数列an=1+1nn，an

（Ⅱ）数形互动，几何直观至美

如图1，在平面直角坐标系xOy中作出函数y=ln x，y=x－1，y=x，y=x+1，y=ex的图象（图象由下向上依序）.

函数y=ln x，y=x，y=ex都是基本初等函数，是必须熟记的函数模型（图象、性质）；函数y=x+1，y=x－1的图象可以由y=x的图象经过上下平移而得到.

设计意图：从整体上看，图1中5个函数的图象是关于函数y=x的图象成轴对称的，图形简洁清晰，便于对①式中不等式链的记忆.其中y=x－1是y=ln x在点（1，0）处的切线，y=x+1是y=ex在点（0，1）处的切线.图象的几何直观突出了数形结合的思想方法，便于深刻理解函数及不等式的几何意义，可以有效提升学生直观想象和数学运算素养.

（Ⅲ）应用举例，习题再现至善

问题3  〔教材第104页复习参考题5第19题，2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第21题第（2）问〕已知函数f（x）=ae2x+（a－2）ex－x.若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

此题先讨论函数f（x）的单调性.求导得，f′（x）=（2ex+1）（aex－1）.当a≤0时，f′（x）<0，故函数f（x）在区间（－∞，+∞）上单调递减；当a>0时，f′（x）=a（2ex+1）ex－1a，此时f′（x）有唯一的零点－ln a，此为极小值点，也是最小值点，函数f（x）在区间（－∞，－ln a）上单调递减，在区间（－ln a，+∞）上单调递增.

于是，若f（x）有两个零点，只需考虑a>0，此时

f（x）min=f（－ln a）=1+ln a－1a<0.③

简单验证知，当a≥1时，③式不成立；当0

下面说明理由.

方法1： 结合函数y=ae2x（a>0），y=ex，y=x的增长快慢性，易知limx→－∞f（x）=+∞，limx→+∞f（x）=+∞.

结合f（x）的单调性及连续函数零点存在定理知，a的取值范围是（0，1）.

方法2： 注意到f（－1）=ae－2+（a－2）e－1+1>－2e－1+1>0；

fln3a－1

=ae2ln3a－1+（a－2）＼5eln3a－1－ln3a－1

=3a－1－ln3a－1>0.

显然－1<－ln a

设计意图：事实上，关于③式的成立与否，可以先观察，比如从ln 1=0入手进行思考.

方法1，看似简单，由于教材（教科书）中几乎没有提及极限知识（只是在导数的概念中“不得不”用极限引出导数），学生对极限的运算是陌生的，教师在平时的教学中渗透的极限思想是不足以用来解答该题的，因此方法1不是教师平时教学的最优方法.

方法2，对f（－1）的探讨与估计都是自然的.结合f（x）的单调性及连续函数零点存在定理知，函数f（x）在区间（－1，－ln a）内存在唯一的零点x1，这也是f（x）在区间（－∞，－ln a］内存在的唯一零点.类似地，函数f（x）在区间－ln a，ln3a－1内存在唯一的零点x2，这也是f（x）在区间（－ln a，+∞）内存在的唯一零点.于是函数f（x）有两个零点，故a的取值范围是（0，1）.

问题3也可以进一步通过二分法分割零点存在的区间来求出零点的近似解，这在数学的应用中是必要的.就本题的方法2而言，此方法是中学数学的“标准解”，关键是区间的端点ln3a－1是如何想到的？如果说－1或2甚至ln 3a好想，但揣测ln3a－1是不现实的，这个“中奖率”几乎为零.仔细探究发现这里有①式的影子，即ln x

结合函数f（x）=ae2x+（a－2）ex－x的结构特征及指数与对数的互化、对数恒等式——ab=Nb=logaN，N=alogaN，努力探寻f（x）>0.考虑f（ln m）=m－ln m，化简、比对即有m=3a－1.原来在偶然中存在必然.

问题3是很好的教材习题（高考真题）资源，蕴含了多种数学思想方法和思路策略，对各种数学运算能力（直观想象、转化化归、利用导函数处理问题的一般步骤等）的要求都很高，对此问题的深入研究为以后的数学学习提供了很好的示范引领.

（Ⅳ）高考数学，灵活应用至巧

问题4  〔（2021年高考数学全国乙卷理科第20题第（2）问〕已知函数f（x）=ln （1－x）.设函数g（x）=x+f（x）xf（x），证明g（x）<1.

对于此题，函数g（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，1）.

当x∈（－∞，0）时，f（x）>0；当x∈（0，1）时，f（x）<0.于是xf（x）<0.

欲证g（x）<1，去分母整理，即证x+（1－x）＼5ln （1－x）>0.

注意到1－x>0，1－x≠1，结合②式，可得x+（1－x）ln （1－x）>x+（1－x）1－11－x=0，这表明g（x）<1.

设计意图：本题中对于xf（x）<0的探讨，可以构造新函数v（x）=xf（x），然后用求导、极值、最值等来处理不等式，但这样会把简单的问题变得复杂.

①式是简洁、直观、形象的，其变形②式在放缩不等式的过程中也一样可以大放光彩.证明xf（x）<0也可以尝试用①式、②式得到：當x∈（－∞，0）时，xln （1－x）

3 教学思考

教学中，要注重教材中母题（例题，习题）的开发与利用.如本文中的问题1、问题2分散在教材各处，要有意识地去整合与提升，努力提炼出一些经典的结论；要善于研读教材习题（如问题3），看清、分析、吃透解题过程中每一步所运用的数学思想与方法.加强运算训练，特别是指数与对数的互化、不等式的各种等价变形、基本初等函数及其求导与化简等，这对学生的学习可以起到事半功倍的效果.如从问题1、问题2中整合得到的①式、②式，其应用范围极其广泛.运用中要注意观察所要证明的不等式的结构特征，必要时须先进行恰当的等价变形，还要注意等号成立的条件.恰当的运用通常可以将原本复杂的运算（传统解法）变得简单（如问题4），降低数学思维层次，节约考试时间，提高学习效率，提升数学运算素养.