基于新一代几何技术规范的装配误差建模

杨朝晖,高天石,李崇赫,贺子力

(1.西北工业大学 航空学院,陕西 西安 710072; 2.西北工业大学 深圳研究院,广东 深圳 518057)

1 问题的提出

复杂机械装备制造和装配过程中的误差产生与累积对机械产品的性能影响显著,例如含有过盈配合的复杂机械装备,装配应力导致的零部件结构变形量大小接近甚至远远超过其制造误差大小,忽略结构变形将使机械装备装配精度预测结果与真实情况不符,进而可能大大降低机械装备的使用寿命以及可靠性,增加机械装备使用与维护成本。因此,亟需研究能够综合考虑制造误差与装配变形的公差分析方法,优化机械装备零件公差以提高装备使用性能与可靠性。

长期以来,众多学者对机械装备装配误差进行了研究,并在公差模型的建立、公差的计算方法等领域取得了许多进展[1]。在公差建模方法上,EVANS[2-3]提出可用于一/二维公差分析的数学表达式。REQUICHA等[4]提出了能够描述公差域的变动空间的实体漂移模型。CLEMENT等[5-7]提出了可以精确描述特征在空间位置与方向的旋量模型,可以准确地表达制造过程偏差。表1展示了不同形状的公差带对应的数学约束。MUJEZINOVIC等[8]提出了基于几何建模理论的T-MAP模型,该模型与ASME标准吻合并且较好地表达了公差间的耦合关系。LAFOND等[9]和LAPERRIERE等[10]引入了虚拟关节概念,提出了雅可比模型。在此基础上,DESROCHERS等[11]将小旋量模型与雅可比模型相结合,提出了雅可比旋量模型。然而,随着航空航天领域中柔性零部件的大量应用,假设零件为刚体的传统公差理论逐渐难以预测复杂机械产品的装配精度,考虑零件变形的公差分析方法成为了研究热点。

表1 常用特征的小位移旋量表示

近年来,许多学者针对这一问题进行了深入的研究。SAMPER等[12]利用弹性体刚度矩阵在公差模型中引入变形,改进了矩阵分析模型。BENICHOU等[13]通过将热变形引入到公差分析模型中,分析了热膨胀对产品间隙造成的影响。胡鹏浩等[14]利用热力学和弹性力学理论对滑动轴承变形进行了定量分析并确定了滑动轴承的设计公差。张为民等[15]提出了基于雅可比旋量的公差建模方法,计算了实际工况下齿轮泵的装配公差。冯等[16]提出了基于GPS理论的齐次坐标变换方法,计算了某型尾座顶尖在工作载荷下的装配精度。刘检华等[17]提出了综合表面形貌与受力变形的装配精度分析方法,计算了某多面体模型的装配精度。MA等[18]研究了载荷对产品装配偏差的影响,提出了一种基于肤面模型的统计学装配仿真方法。刘建永等[19]通过研究加工与变形离散误差,提出了考虑加工误差与变形误差的装配传递模型。上述方法难以解决载荷作用下零件产生的复杂变形的求解问题,并且忽略了针对机械零件的复杂变形提取与公差转化这一核心问题,除此之外,以上模型还存在计算模型较为复杂,计算效率较低,计算精度不够等问题。

针对以上问题,本文基于小位移旋量法和雅可比矩阵法,提出一种考虑零件变形的修正的雅可比旋量分析方法来预测变形后的机械产品真实装配精度。该方法结构简单,算法简洁,计算效率较高,具有较高的工程应用价值。本文首先构建了基于雅可比旋量法的考虑变形的公差分析模型,然后研究了基于有限元的特征表面误差提取方法与公差折算方法,并以某型作动筒为分析对象,揭示了作动筒装配精度的形成机理。

2 基于雅可比旋量方法的公差建模

雅可比旋量模型由DESROCHERS等[11]提出的公差分析模型,该模型结合了适合公差表达的小旋量模型和适合公差传递的雅可比矩阵,结构清晰,算法简洁,得到了广泛的关注和深入的研究。

雅可比旋量模型包括公差表达和公差累计计算两部分,其三维公差信息采用小旋量模型进行表达,如图1所示,该理论的核心认为一个零件的几何要素的变动可由一个小位移旋量D表示。小位移旋量D由一个表示沿坐标轴平动的向量ε和一个沿坐标轴转动的向量ρ构成,即

(1)

图1 特征的公差域及旋量模型

式中:u,v,w表示几何要素沿坐标轴x,y,z的微小平动,α,β,γ表示几何要素绕坐标轴x,y,z的微小转动。

公差域是用来控制零件几何要素变动的范围和区域,是加工与检验的技术依据。常见的公差带形状有圆形公差带、环形公差带、平面公差带、圆柱面公差带等。不同形状的公差带可以转化为如表1的数学形式。

雅可比旋量模型的公差累计计算是通过雅可比矩阵实现的,公差累计是在公差表达的基础上,对公差进行解算的过程,该方法通过矩阵乘积的形式表达特征间的误差积累过程。雅可比矩阵将因为生产或装配等因素产生的实际零件功能元素FE,通过矩阵传递到装配体的尾端,得到反映零件设计的实际零件装配结果FR。每个零件都包含一个局部坐标系,每个局部坐标系对应一个雅可比矩阵,各部分雅可比矩阵组合成为该装配体的总体雅可比矩阵如下:

(2)

局部坐标系对应的雅可比矩阵为:

(3)

(4)

雅可比模型适合公差传递,小旋量模型擅长公差表达,将两者进行结合,充分利用各自优点,即组成了雅可比旋量模型。对于由n个特征组成的装配体,其雅可比旋量模型的表达式如下所示:

(5)

3 考虑变形的雅可比旋量模型构建

在产品制造和服役过程中,机械产品会受到负载、温度等因素的影响,这些因素将使零件特征表面产生微小的变形,这使得以理想状态计算得到的公差结果无法真实地反映产品的实际情况。为了解决雅可比旋量模型对产生变形的产品公差预测不准的问题,需要考虑实际工况的影响,构建考虑变形的雅可比旋量模型。如第2章所述,雅可比旋量模型包括公差表达和公差累积计算两部分。在稳定状态下,外部因素对零件的影响主要体现在其尺寸、形状和位置的变化。即外部因素会对零件的雅可比矩阵J和功能特征FE均造成一定影响,进而影响到装配体的最终装配精度。

3.1 功能特征修正

雅可比旋量模型是通过小旋量模型对零件的公差进行表达,小旋量模型是通过一个表示沿坐标轴平动的向量和一个沿坐标轴转动的向量对零件功能特征进行描述。但由于装配、载荷等因素作用,实际零件的功能特征必然发生改变,这些改变将导致零件的实际公差值也发生改变。如何以数学形式来描述零件功能特征变形对公差的影响,是考虑变形的公差分析过程中的一大难点。本文根据新一代产品几何技术规范(Geometrical Product Specifications,GPS)对产品进行规范认证的思想,提出采用拟合表面的方法对产品功能特征进行描述,并在此基础上对小旋量模型进行修正。

(1)有限元分析

以产品的公称表面模型对产品进行有限元分析,以该变形近似代替实际配合表面产生的变形。冯等[16]通过对比同一公差域内多组理想配合表面的有限元分析结果发现,实际配合表面的变形量与理想设计表面的变形量基本相同。为了便于公差的表达,同时不损失计算精度,故采用公称表面模型的变形量代替实际配合表面的变形量。

(2)变形量叠加

通过公称表面模型的产品有限元结果,提取公差分析所需的关键功能特征的原始节点坐标以及各节点沿全局坐标系的x,y,z轴3个方向的变形量,将对应节点的变形量与原始坐标沿对应方向进行叠加,得到代表实际几何表面的点集。

(3)特征拟合

拟合是依据特定准则用理想要素逼近非理想要素的操作,目的是用某一理想要素对某一非理想要素的特征进行描述和表达,并根据相应的准则完成非理想要素到理想要素的转化。拟合可以表示为满足一定约束和目标的要素集。常用的几种拟合方法有最小二乘法、最小区域法、单边切比雪夫法、最大内切法、最小外接法等。选用某一特定准则对实际几何表面的数据点进行拟合,得到拟合结果。

(4)小旋量模型修正

根据理想要素对非理想要素的转化结果,得到理想要素对非理想要素的表达。将拟合得到的理想要素转化为对应的公差信息,可以得到拟合的理想要素的形状公差,假设该偏差与理想设计表面形状公差不发生耦合,因此可将该偏差与理想设计表面形状公差叠加可得Δd,Δd表示变形后零件的实际形状公差。按照表1进行求解,即可得到修正后的小旋量模型D′,

3.2 雅可比矩阵修正

小旋量模型针对特征面变形后的形状公差进行修正,雅可比矩阵针对特征面变形后的尺寸公差与位置公差进行修正。由于载荷、温度等因素作用,零件特征面的尺寸和位置必然发生改变,这些改变将导致以理想特征面构建的参考坐标系位置与姿态的改变,变形后特征面的位置与姿态变化可由坐标系的平移和绕坐标轴的旋转两部分组成,变形前后坐标系变动可用如下矩阵进行表示:

式中:δui,δvi和δwi分别表示变形后坐标系原点与变形前坐标系原点在全局坐标系x,y,z方向的平移量;δαi,δβi和δγi表示变形后坐标系绕着变形前坐标系在全局坐标系x,y,z轴的旋转量。局部坐标修正矩阵如下所示:

(8)

(9)

式中:

(10)

(11)

4 工程应用案例

如图2所示是某型作动筒的三维装配图。该结构由筒体、外衬套、活塞杆、内衬套、后盖等零部件组成。其中内外衬套的材料均为铝青铜,作动筒其余零件的材料均为不锈钢。其中,内外衬套与筒体均采用过盈配合进行装配,以保持衬套与筒体位置的相对固定;内外衬套与活塞杆均属于间隙配合。该机构需要保证和控制外衬套凹槽与活塞杆外表面的距离,以保证密封圈的正常使用。

图2 某型作动筒三维爆炸图

经初步分析,外衬套凹槽与活塞杆表面距离仅与外衬套和活塞杆这两个零件有关。因此,仅选取这两个零件作为公差分析对象,构建三维公差分析模型。如图3所示的组成环A1即为外衬套凹槽的基本尺寸大小,组成环A3即为活塞杆的基本尺寸大小,封闭环A2即为外衬套凹槽到活塞杆的表面距离。

图3 各局部坐标系的相对位置

4.1 建立雅可比旋量模型

以活塞杆外表面为基准建立全局坐标系,在各零件适当位置建立零件坐标系,并在零件功能特征的对应位置建立局部坐标系。各坐标位置如图3所示,各局部坐标均建立在特征的理论中间或装配中心位置。

根据零部件的功能特征、公差以及装配特点,利用图论理论,可建立如图4所示的零件装配关系图。该图体现了外衬套与活塞杆外表面之间的配合,表明了该部件串联的装配连接形式。

图4 功能连接图

由图4可知,该装配体存在一条公差传递路径:O0-O1-O2-O3-O4。因此有如下表示公差传递的雅可比旋量关系式:

(12)

依据第2章理论,可计算出各功能特征雅可比矩阵及旋量。计算得到的雅可比矩阵与功能特征的旋量表达如表2所示。

表2 变形前雅可比矩阵与特征旋量模型

利用雅可比旋量法,通过式(5)计算可得:

(13)

FE4/0表示无变形的情况下,坐标系O3和O4在空间的变动范围。该向量表达式表示了理想情况下活塞外表面到外衬套凹槽之间的距离。由式(13)可以看出,沿y方向上活塞外表面与外衬套凹槽的距离为[-0.2098,0.2098]。

4.2 构建修正的雅可比旋量模型

由于外衬套与筒体采用过盈配合,会使外衬套与筒体的表面要素产生相应变形,过盈配合导致的零件表面要素变化会改变零件原有的功能特征,进而影响其他部分的装配性质。为了获得更加准确的装配体精度预测结果,需要建立考虑变形的公差分析模型。本文以某型民机方向舵作动筒为例,首先对其装配变形进行了有限元分析,然后将发生形变的零部件特征面离散成点云数据,并基于新一代几何技术规范(GPS)将其拟合,构建了综合考虑装配应力、制造与装配误差的公差分析模型。

4.2.1 有限元分析

为了简化模型以提高运算效率,本文选择外衬套与筒体作为研究对象进行有限元分析,基于Ansys求解该部件的过盈变形。首先将模型导入至Workbench,并设置筒体的材料为不锈钢,外衬套的材料为锡青铜;然后设置两零件接触为有摩擦,摩擦系数选择0.2,并划分网格,网格数量为230 578;设置筒体外表面固定约束,选择迭代求解器进行迭代求解,仿真结果如图5所示。在此基础上,提取所需特征面的变形信息数据,并对所得数据进行处理。

图5 装配后外衬套凹槽变形云图

本文中外衬套插入筒体后的密封槽内表面是进行装配体公差分析的关键特征。该变形特征尺寸尺度较小,变形云图如图5所示。该特征变形后在空间分布如图6所示,蓝色圆点表示特征变形前的位置,红色圆点表示特征变形后的位置,由图不难看出,该特征变形前后仍为一个圆柱,其中红色圆点相较于蓝色圆点沿径向收缩了一个位移量。为了便于观察变形前后的微小变形,将所得的特征点在xoy平面上进行投影,并将变形前后数据叠加在直径为0.1 mm的基圆上,得到如图7所示的图像。其中,蓝色部分表示特征变形前的位置,红色部分表示特征变形后的位置,该图像可以清晰地显示外衬套特征表面的径向变形量。

图7 0.1 mm基圆叠加变形图像

4.2.2 坐标点处理与拟合

本文采用MATLAB编写圆柱特征拟合程序,该程序基于MSAC(M-estimator sample consensus)方法对提取的数据进行拟合。MSAC方法可以较好地剔除“噪声点”对拟合结果的影响,有效地避免了对初始试验数据分析判断过程,相较于其他拟合方法更加简洁易用,有较好的鲁棒性与准确性。

采用该拟合方法可以获得变形后的圆柱模型,并求得变形后圆柱特征的平动和转动信息。该程序将整个变形点云作为输入,通过控制点到拟合位置的最大距离,找到满足此条件下的最优解。圆柱拟合结果如图8所示。

图8 拟合圆柱图像

由程序运行结果可知,拟合得到的圆柱面半径为22.10 mm,方向向量为(0,0,1),高度为4.87 mm。变形前圆柱面半径为22.11 mm,方向向量为(0,0,1),高度为4.78 mm。即该圆柱变形后沿径向收缩了0.01 mm,并沿着z轴方向伸长了0.09 mm。

4.2.3 修正矩阵的确定与计算

因为活塞未发生变形,所以其全局坐标系与局部坐标系未发生变化。以外衬套建立的局部坐标系由于变形的影响将会发生改变。以外衬套凹槽特征为例,该凹槽理想设计圆柱轴线为平行于轴线z的直线,即该圆柱方向向量为(0,0,1),并且该向量经过点(0,0,0)。由程序运行结果可知,拟合该特征得到的圆柱轴线方向向量为(0,0,1),且该向量经过点(0,0,0.0152),即坐标系x3o3y3与x4o4y4沿z轴平移了0.015 2 mm。同理可得坐标系y的变化情况。假设特征的形状公差为对应点沿拟合特征法线方向变形前后最大距离,由程序结果还可以得到特征的形状公差约为0.001 mm。由此,并结合上节的变形数据,可以计算出变形后的雅可比矩阵与功能特征的旋量表达。变形后的雅可比矩阵与功能特征如表3所示。

表3 变形后雅可比矩阵与特征旋量模型

将变形后的数据代入式(11),利用雅可比旋量法,计算可得变形后的目标公差分布规律:

(14)

由表3可知,过盈配合导致作动筒的参与公差分析的特征表面均产生变形。将式(13)和式(14)的结果进行对比易知,过盈配合引起的作动筒的特征表面变形将导致活塞与外衬套凹槽之间距离的公差范围变大。变形前活塞外表面与外衬套凹槽在y方向的公差范围为(-0.2098,0.2098),变形后y方向的公差范围在(-0.2194,0.2194)之间,沿y方向的极限偏差增大了约0.01 mm,该范围大约增加了5%。同理可得沿x,y,z方向的移动或者偏转的公差变化范围,相对于不考虑变形的分析结果,考虑变形的作动筒装配精度在x,y,z方向上的变化范围均偏大。以上结果定量地体现了表面特征与受力变形对于产品装配精度的影响,提供了更加准确的公差分析结果。该结果同时说明了零件的变形将导致外衬套凹槽到活塞表面的距离范围变大,运动精度将随之变差,这将极大地增加外衬套处密封圈与活塞外表面的磨损的风险。为了降低密封圈的磨损风险,提高作动筒的使用寿命,需要考虑减小凹槽的尺寸公差或增加特征基本尺寸来弥补过盈配合导致凹槽内缩的情况。该结果能较好地解释密封圈与活塞杆之间在相对运动时非正常磨损的现象。

5 结束语

本文基于小位移旋量理论与雅可比模型理论,构建了考虑工况作用下产品变形的公差分析模型,提高了装配精度分析的准确性,并应用该模型对某型作动器进行了公差分析。结果发现变形后的作动器的装配精度要小于变形前的装配精度,该结论较好地解释了密封圈在做动时的非正常磨损现象。

本文首先对工况下的误差分类以及折合方法进行了探讨:工况下的产品误差可以划分为尺寸误差、位置误差以及形状误差3类。其中,特征表面的尺寸公差与位置公差可以用雅可比矩阵表达,特征的形状公差可由小旋量模型进行表达,该方法准确地表达了全部的变形信息。然后本文采用上述方法对圆柱特征进行拟合,得到了拟合表面与相应的公差信息。

本文以某型机载作动筒为工程案例,构建了该产品的考虑变形的装配误差分析模型,通过对该产品装配误差的精确计算,更精确地了解作动筒的装配状态,并以计算结果作为依据,为产品零件的公差优化提供了指导。

未来可在如下方面作进一步研究:

(1)针对复杂并行的装配体进行装配精度研究。雅可比旋量模型仅适用于串联零件的公差模型的构建,然而在实际机械产品设计中,许多零部件采用并联进行连接,需要对并联条件下的公差模型进行研究,以扩大该模型的适用范围。

(2)在公差分析计算累计误差的同时进行敏感度分析,从而获得不同公差值对累计误差的贡献度。目前基于雅可比旋量方法的敏感度分析已有一定的研究,可以结合成本、质量、贡献度之间的影响规律实现公差优化设计。

(3)具有工程应用价值的公差分析软件开发。各个步骤之间均需要手动对其进行操作,并人工对所有信息进行汇总构建公差分析模型。后续研究工作可以在Ansys平台的基础上,对其进行二次开发,使其能够自动对产品装配精度进行计算。