DFR法和LDG法解线性三阶KdV方程的等价性

摘 要：研究了直接通量重构方法（Direct Flux Reconstruction，简称DFR）和局部间断Galerkin方法（Local discontinuous Galerkin，简称LDG）求解线性三阶KdV方程的等价性问题。首先分别利用DFR法和LDG法对线性三阶KdV方程进行空间离散并给出两种数值算法的空间离散格式，其次用两种方法证明了DFR法和LDG法求解线性三阶KdV方程的等价性。第一种方法借助高斯求积的性质：M点高斯求积具有2M-1阶代数精度；第二种方法利用洛巴托多项式的特殊性质：M+1次洛巴托多项式导数的零点是M个高斯点。最后以M=1为例，给出了两种数值算法求解线性三阶KdV方程的离散常微分方程组，验证了两种方法的等价性。

关键词：直接通量重构法；局部间断Galerkin法；线性三阶KdV方程；高斯求积；洛巴托多项式

DOI：10.15938/j.jhust.2024.05.016

中图分类号： O241.3

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2024）05-0142-07

Equivalence Between DFR Method and LDG Method for Solving Linear Third-Order KdV Equation

BI Hui， LI Xiaotong

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：The equivalence between direct flux reconstruction method and local discontinuous Galerkin method in solving linear third-order KdV equation is studied. Firstly， the linear third-order KdV equation is spatially dispersed by DFR method and LDG method respectively， and the spatial discretization schemes of two numerical algorithms are given. Secondly， the equivalence of DFR and LDG methods is proved by two methods. The first proof relies on the property of Gauss quadrature： the M-point Gauss quadrature has 2M-1 order algebraic accuracy; the second proof takes advantage of the special property of the Lobatto polynomial： the zeros of the derivative of Lobatto polynomial of degree M+1 are M Gauss points. At last， taking the value of M to be 1 as an example， it is shown that the two numerical algorithms are equivalent to the ordinary differential equations used for programming when solving the linear third-order KdV equation.

Keywords：direct flux reconstruction method; local discontinuous Galerkin method; linear third-order KdV equation; Gauss quadrature; Lobatto polynomial

0 引 言

1973年，Reed和Hill^［1］在研究中子运输问题时提出了一种将投影作为近似解的数值解法——间断Galerkin（discontinuous galerkin，简称DG）法。该法具有高阶精度和易于处理复杂几何形状或复杂边界问题的优点，但是对于含有高阶偏导数的偏微分方程，直接应用DG法很难得到相容的数值格式。1998年，在Bassi和Rebay^［2］处理可压缩的Navier-Stokes方程的启发下，Cockburn和Shu^［3］在求解对流扩散方程时提出了局部间断Galerkin（local discontinuous galerkin，简称LDG）法。该方法的主要思想是通过引入辅助变量把原有的高阶偏微分方程转化为等价的一阶偏微分方程组，再对所得到的一阶偏微分方程分别使用DG法，作为DG法的推广，可以灵活的处理含有更高阶偏导数的偏微分方程，例如：含有三阶偏导数的KdV方程^［4］、含有四阶偏导数的双调和方程^［5］、非线性波动方程^［6-7］、含有对流项和扩散项的四阶线性偏微分方程^［8］等。更多关于DG法和LDG法的研究成果可以查阅文［9-15］。

2007年，Huynh^［16］在求解守恒律方程时提出了一种将插值和投影结合起来的高阶精度的数值解法——通量重构（flux reconstruction，简称FR）法。该方法的灵活性体现在先用插值法近似构造通量函数，再选择一个校正函数将分段的不连续通量重建为全局连续通量，但是使用校正函数时需要许多不同的计算步骤，使得该方法的复杂性和计算费用大大增加。2016年，Romero、Asthana和Jameson^［17］提出了一种通量重构法的简化方法——直接通量重构（direct flux reconstruction，简称DFR）法，同时证明了DFR法和FR法求解双曲守恒律方程的等价性。该方法是一种仅使用插值法的数值解法，更多关于FR法和DFR法的研究成果可以查阅文［18-23］。2020年，Huynh使用更简洁的方法证明了DFR法、FR法和DG法求解一维非线性双曲守恒律方程的等价性^［24］，求解抛物方程、线性对流扩散方程^［25］的等价性也有了严格的数学证明。但是，求解含有更高阶偏导数的偏微分方程是否具有等价性仍需进一步求证。

Korteweg-de Vries（简称 KdV）方程最初是用于研究一种单向运动浅水波的偏微分方程，随后又被用来描述超流费米气体、离子声波等不同类型的物理现象。该方程在流体力学、水文学、物理学等领域中有着广泛应用，因此，对于KdV方程数值方法的研究一直是偏微分方程数值解法的重要课题之一。本文研究了DFR法和LDG法求解含有三阶偏导数的线性KdV方程的等价性问题，并列举了M=1时两种方法对方程进行空间离散后得到的常微分方程组，更直观的展示两种数值方法的等价。

本文的结构如下：第一节预备知识介绍了本文证明等价性时所用到的符号、线性变换、拉格朗日插值基函数；第二节首先给出线性三阶KdV方程的DFR法格式和LDG法格式，其次用两种方法证明DFR法和LDG法求解线性三阶KdV方程的等价性，最后以M=1为例，给出两种数值算法用于编程的常微分方程组；最后一节给出结论和工作展望。

1 预备知识

1.1 网格剖分和有限元空间

考虑计算区域Ω=［0，2π］，并对其进行如下的网格剖分：

0=x^1/2lt;x^3/2lt;…lt;x^N+1/2=2π

当j∈{1，2，…，N}时，将剖分出来的第j个区间记为Ej=［x^j－1/2，x^j+1/2］，区间中点和区间长度分别记为xj=（x^j－1/2+x^j+1/2）/2，hj=（x^j+1/2－x^j－1/2）。数值解空间定义为：

Vh={v∈L2（Ω）：v|^Ej∈P^M－1j（Ej），j=1，2，…，N}

其中P^M－1j（Ej）为定义在区间Ej上次数不超过M－1次的多项式所构成的空间，L2（Ω）为定义在Ω上平方Lebesgue可积函数所构成的空间。对于任意的v∈Vh，定义函数v（x）在点x^j+1/2处的左、右极限分别为v－^j+1/2，v+^j+1/2，函数v（x）在Ej的边界点上的跳跃和平均值为［v］=v+^j+1/2－v－^j+1/2和{v}=（v+^j+1/2+v－^j+1/2）/2。

1.2 线性变换

设I=［－1，1］，将I上次数不超过M－1次的多项式所构成的空间记作P^M－1（I）。对于I上任意的点ξ可以通过线性变换：

x=ξhj/2+xj（1）

得到Ej上与ξ对应的点x；对于I上任意的可微函数rI（ξ），可以通过线性变换：

rj（x）=rI（ξ（x））=rI（ξ）（2）

得到Ej上与rI（ξ）对应的函数rj（ξ）；rj（ξ）的导数可以通过线性变换：

drjdx=2hjdrIdξ（3）

得到。

1.3 两组拉格朗日插值基函数

设v（ξ，t）是［－1，1］×［0，T）上的一个二元函数，规定：ξ0=－1，ξ^M+1=1，I上M次勒让德多项式的零点为ξ1，ξ2，…，ξM。若将ξ1，ξ2，…，ξM作为I上M点高斯求积节点，那么其也被称为高斯点。若固定v的第一个变量，此时得到的v是一个一元函数，如果用v0表示v（ξ0，t），那么同样的方法可以得到v1，v2，…，v^M+1。

当n∈{1，2，…，M}时，分别以ξ1，ξ2，…，ξM与ξ0，ξ1，…，ξ^M+1为插值节点构造两组拉格朗日插值基函数：

n=∏M^m=1，m≠n（ξ－ξm）（ξn－ξm）（4）

^{^}n=∏^{M+1m=0，m≠n}（ξ－ξm）（ξn－ξm）（5）

此时v在I上的M点与M+2点拉格朗日插值近似分别为

vM=∑Mⁿ⁼¹vnn（6）

v^M+2=∑^M+1n=0vn^{^}n（7）

当j∈{1，2，….N}时，设uj是Ej×［0，T）上的一个二元函数，通过式（1）～（3）可以得到Ej上M次勒让德多项式的零点为x^j，1，x^j，2，…，x^j，M，并规定：x0=x^j－1/2，x^M+1=x^j+1/2。

当n∈{1，2，…，M}时，通过式（1）～（5）可得到分别以x^j，1，x^j，2，…，x^j，M与x^j，0，x^j，2，…，x^j，M+1为插值节点的两组拉格朗日插值基函数：

^j，n=∏M^m=1，m≠n（x－x^j，m）（x^j，n－x^j，m）（8）

^{^j，n}=∏^{M+1m=0，m≠n}（x－x^j，m）（x^j，n－x^j，m）（9）

此时uj在Ej上的M点与M+2点拉格朗日插值近似分别为

u^j，M=∑Mⁿ⁼¹u^j，nj，n（10）

u^j，M+2=∑^M+1n=0u^{j，n^j，n}（11）

其中u^j，n=uj（x^j，n，t）。

2 DFR法和LDG法解线性三阶KdV方程的等价性

2.1 线性三阶KdV方程的DFR法格式

考虑如下格式的线性三阶KdV方程：

ut+ux+u^xxx=0（x，t）∈［0，2π］×［0，T）

u（x，0）=u0（x）x∈［0，2π］（12）

假设初值u0（x）充分光滑且方程的精确解^u（x，t）满足周期性边界条件。

DFR法对方程式（12）进行空间离散的具体步骤如下：

第一步，按照本文1.1节的要求去处理方程式（12），按照1.3节的要求构造两组拉格朗日插值基函数。在每个Ej上用一个次数不超过M－1次的多项式uj去表达DFR法的数值解，由式（10）得：

uj=∑Mⁿ⁼¹u^j，nj，n（13）

用一个次数不超过M+1次的多项式Fj近似表达－（uj+u^jxx）。由式（11）得：

Fj=∑^M+1n=0F^{j，n^j，n}（14）

Fj的具体构造如下：

F^j，0=F（x^j，0，t）=－（j+j）|^xj，0

F^j，n=F（x^j，n，t）=－（u^j，n+q^j，n） n∈{1，2，…，M}

F^j，M+1=F（x^j，M+1，t）=－（j+j）|^xj，M+1

其中qj是定义在Ej上的用来近似表达p^jx的不超过M－1次的多项式，pj是定义在Ej上的用来近似表达u^jx的不超过M－1次的多项式，pj与qj的具体构造如下：

pj=∑Mⁿ⁼¹pj（x^j，n，t）^j，n=∑Mⁿ⁼¹p^j，nj，n

qj=∑Mⁿ⁼¹qj（x^j，n，t）^j，n=∑Mⁿ⁼¹q^j，nj，n

p^j，n=u^jx（x^j，n，t）+2hjwn［（j－u－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－u+j）+^j，n|^xj－1/2］

q^j，n=p^jx（x^j，n，t）+2hjwn［（j－p－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－p+j）+^j，n|^xj－1/2］

其中j，j，j为数值通量，选取方法如下：

j=u－j，j=p+j，j=q+j（15）

第二步，令uj和Fj在Ej上的x^j，1，x^j，2，…，x^j，M点处满足方程（12）式：

^（uj）t（x^j，n，t）=^（Fj）x（x^j，n，t） n∈{1，2，…，M}（16）

根据拉格朗日插值基函数的性质，^j，n仅在点x^j，n处取值为1，其余点处取值为0可将（16）式化简为

^（uj，n）t=^（Fj）x（x^j，n，t） n∈{1，2，…，M}（17）

式（17）即为DFR法对方程式（12）的空间离散格式，它是一个由M个常微分方程所组成的常微分方程组，利用Runge-Kutta法求解式（17）可以得到Ej上的DFR法数值解uj。将u1，u2，…，uN连起来就可以得到［0，2π］×［0，T）上的DFR法数值解uh。因为uh是在每个Ej上分别求得的，所以uh仅能保证在每个Ej上连续，不能保证在整个定义域上连续。

2.2 线性三阶KdV方程的LDG法格式

LDG法对方程（12）进行空间离散的具体步骤如下：

第一步，引入辅助变量p，q将含有三阶偏导数的方程（12）等价的改写为仅含有一阶偏导数的偏微分方程组：

ut=－（ux+qx）

q=px

p=ux（18）

第二步，按照本文1.1节的要求处理式（18），在每个Ej上，先用一个次数不超过M－1次的多项式uj表示数值解，其次用一个次数不超过M－1次的多项式pj表示u^jx，最后用一个次数不超过M－1次的多项式qj表示p^jx。要求uj满足：

∫^Eju^jtj，ndx－∫^Ej（uj+qj）^j，nxdx=

－（j+j）－^j，n|^xj+1/2+（j+j）+^j，n|^xj－1/2

∫^Ejqj^j，ndx+∫^Ejpj^j，nxdx=

j－^j，n|^xj+1/2－j+^j，n|^xj－1/2 n∈{1，2，…，M}

∫^Ejpj^j，ndx+∫^Ejuj^j，nxdx=

j－^j，n|^xj+1/2－j+^j，n|^xj－1/2（19）

其中j，j，j为数值通量，选取方法如下：

j=u－j，j=p+j，j=q+j（20）

本文选用以M点高斯点作为插值节点的拉格朗日插值基函数作为投影空间基函数，这种方法称为节点局部间断有限元（nodalLDG法）法。

式（19）即为nodalLDG法对方程（12）的空间离散格式，它是一个由M个常微分方程所组成的常微分方程组，利用Runge-Kutta法求解式（19）可以得到Ej上的LDG法数值解uj，被写作式（13）的形式。将u1，u2，…uN连起来，就可以得到［0，2π］×［0，T）上的LDG法数值解uh。与DFR法数值解一样，uh仅能保证在每个Ej上连续，不能保证在整个定义域上连续。

2.3 DFR法和LDG法求解线性三阶KdV方程的等价性证明1

定理1 DFR法和LDG法求解线性三阶KdV方程（12）所得到的数值解等价。

证明：由本文2.1节、2.2节对DFR法和LDG法解线性三阶KdV方程的格式介绍可以看出要证明两种数值解法等价只需证明：当j∈{1，2，…，N}时，在每个Ej上，对于n∈{1，2，…，M}，式（17）和式（19）等价即可。

对于n∈{1，2，…，M}，先对u^jt和F^jx分别乘以^j，n再在Ej上积分得到：

∫^Eju^jtj，ndx=∫^EjF^jxj，ndx（21）

下面我们分别证明式（21）和式（17）、式（19）都是等价的。对式（21）左右两侧应用M点高斯求积，由高斯求积的性质，M点高斯求积具有2M－1阶代数精度可以得到：

wnhj2^（uj，n）t=wnhj2^（Fj）x（x^j，n，t）（22）

其中：wn为Ej上的M点高斯求积系数。对式（17）左右两侧同时乘以wnhj/2也可以得到式（22），即证得式（21）和式（17）等价。

下证式（21）和式（19）等价。首先需要证明Fj与－（uj+u^jxx）在Ej上的x^j，1，x^j，2，…，x^j，M点处取值相等。对于n∈{1，2，…，M}，对式（19）第三式和式（19）第二式的左侧第二项使用分部积分可以得到：

∫^Ejpj^j，ndx－∫^Eju^jxj，ndx=

（j－u－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－u+j）+^j，n|^xj－1/2（23）

∫^Ejqj^j，ndx－∫^Ejp^jxj，ndx=

（j－p－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－p+j）+^j，n|^xj－1/2（24）

对式（23）左侧应用M点高斯求积可得：

wnhj2pj（x^j，n）=∫^Ejpj^j，ndx=∫^Eju^jxj，ndx+

（j－u－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－u+j）+^j，n|^xj－1/2=

wnhj2u^jx（x^j，n）+（j－u－j）－^j，n|^xj+1/2－

（j－u+j）+^j，n|^xj－1/2=wnhj2p^j，n

对式（24）左侧应用M点高斯求积可得：

wnhj2qj（x^j，n）=∫^Ejqj^j，ndx=∫^Ejp^jxj，ndx+

（j－p－j）－^j，n|^xj+1/2－（j－p+j）+^j，n|^xj－1/2=

wnhj2p^jx（x^j，n）+（j－p－j）－^j，n|^xj+1/2－

（j－p+j）+^j，n|^xj－1/2=wihj2q^j，n

于是有：

F^j，n=Fj（x^j，n，t）=－（u^j，n+q^j，n）=－

（u^j，n+p^j，nx）=－（u^j，n+p^j，nx（x^j，n））=－

（u^j，n+q^j，n（x^j，n））

以上过程就证明了Fj与－（uj+u^jxx）在Ej上的x^j，1，x^j，2，…，x^j，M点处取值相等，上述分析也能够说明DFR法与LDG法对qj与pj的定义是等价的。然后对式（21）右侧使用分部积分可以得到：

∫^Eju^jtj，ndx+∫^EjFj^j，nxdx=

F^j，M+1－^j，n|^xj+1/2－F^j，0+^j，n|^xj－1/2（25）

对式（19）第一式和式（25）应用M点高斯求积，由高斯求积的性质和Fj的定义可知式（19）第一式和式（25）相等。综上可知式（21）和式（19）第一式等价。

以上证明了式（21）和式（17）、式（19）都是等价的，故式（17）和式（19）等价。证毕。

这样就完成了DFR法和LDG法求解线性三阶KdV方程的第一种等价证明，证明的关键在于M点高斯求积具有2M-1阶代数精度。接下来，通过先构造多项式^{f^}j使其满足：在P^M－2j上的投影与－（uj+qj）在P^M－2j上的投影相同，在Ej边界处的通量与－（uj+qj）在Ej边界处的通量取值相同，再利用洛巴托多项式的特殊性质，证明FR方法分别与DFR法、LDG法等价，给出第二种等价证明。

2.4 DFR法和LDG法求解线性三阶KdV方程的等价性证明2

证明：定理1的第二种证明主要分两步：

第一步，对于每个Ej构造一个多项式^{f^}j，要求^{f^}j满足：

P^M－2j（^{f^}j）=P^M－2j［－（uj+qj）］（26）

^{f^}j（x^j，0）=－（j+j）|^xj，0（27）

^{f^}j（x^j，M+1）=－（j+j）|^xj，M+1（28）

第二步证明：

^{f^jx}（x^j，n）=F^jx（x^j，n），n∈{1，2，…，M}（29）

具体证明过程如下：本文2.3节中已经证明了DFR法和LDG法对于qj与pj的定义是等价的，故不再重复证明。首先令：

^{f^}j=－（uj+qj）+（－（j+j）|^xj，0+

（uj+qj）（x^j，0））RM^j，R+（－（j+j）|^xj，M+1+

（uj+qj）（x^j，M+1））RM^j，L

其中，当M≥1时，RM^j，L是定义在Ej上的标准M次左拉登多项式，RM^j，R是定义在Ej上的标准M次右拉登多项式。

由左拉登多项式和右拉登多项式的正交性，RM^j，L和RM^j，R在Ej上任意不超过M－2次多项式构成的空间P^M－2j投影为0，可计算^{f^}j在P^M－2j的投影证得式（30）成立。由左拉登多项式的性质，RM^j，L在点x^j，0处取值为0，在点x^j，M+1处取值为1，右拉登多项式的性质，RM^j，R在x^j，0处取值为1，在点x^j，M+1处取值为0，可以计算^{f^}j在点x^j，0，x^j，M+1处的取值证得式（27）和式（28）成立。

对于n∈{1，2，…，M}，观察下式：

∫^Eju^jtj，ndx+∫^{Ejf^}j^j，nxdx=

^{f^}j－^j，n|^xj+1/2－^{f^}j+^j，n|^xj－1/2（30）

式（19）第一式和式（30）左侧第一项相同。由式（26）可得：式（19）第一式和式（30）左侧第二项相等。由式（27）和式（28）可得：式（19）第一式和式（30）右侧两项一一对应相等。即式（19）第一式和式（30）等价。

对（30）式左侧第二项使用分部积分可得到：

∫^Eju^jtj，ndx=∫^{Ejf^jxj，n}dx（31）

对式（31）左右两侧同时应用M点高斯求积，再对两侧同时乘以wihj/2得到：

^（uj，n）t=^{f^jx}（x^j，n）（32）

显然式（32）与式（31）等价。然后令：

Q^M+1j=Fj－^{f^}j（33）

由式（25）左侧第二项和式（26）可得：

P^M－2j（Q^M+1j）=0（34）

将Q^M+1j写作勒让德多项式的展开形式：

Q^M+1j=∑^M+1n=0CnLnj（35）

其中，当n≥0时，Lnj是定义在Ej上的标准n次勒让德多项式，Cn是勒让德多项式展开系数。由（34）式得：

P^M－2j（Q^M+1j）=P^M－2j（∑^M+1n=0CnLnj）=

P^M－2j（∑^M－2n=1CnLnj）+P^M－2j（∑^M+1n=M－1CnLnj）=0

由勒让德多项式的正交性，Lnj在Ej上任意不超过M－1次多项式组成的空间P^M－1j投影为0，可得到：

C0=C1=…=C^M－2=0

由Fj和^{f^}j左、右端点的定义可以得到：

CM=0，C^M－1=－C^M+1

于是式（33）可以被写为如下形式：

Q^M+1j=cLo^M+1j（36）

其中，当M≥2时，Lo^M+1j是定义在Ej上的标准M+1次洛巴托多项式，c是一个常数。

由洛巴托多项式的性质，M+1次洛巴托多项式导数的零点是M次勒让德多项式的零点，可以得到：

^{f^jx}（x^j，n）－F^jx（x^j，n）=^{（f^}j－Fj）x（x^j，n）=

^（QM+1j）x（x^j，n）=^（cLoM+1j）x（x^j，n）=0

n∈{1，2，…，M}

再由式（32）可得到：

^（uj，n）t=^{f^jx}（x^j，n）=F^jx（x^j，n）

n∈{1，2，…，M}（37）

式（37）说明：式（17）和式（32）是等价的。因为式（19）第一式和式（30）是等价的，所以式（19）第一式和式（17）也是等价的。证毕。

2.5 两种算法用到的常微分方程组

针对方程（12），以M=1为例说明DFR法和LDG法用于编程的常微分方程组是等价的。

考虑在每个Ej上，使用DFR法处理方程（12）如下：

uj=u^j，1

Fj=F^{j，0^j，0}+F^{j，1^j，1}+F^{j，2^j，2}

^{^j，0}=（x－x^j，1）（x－x^j，2）（x^j，0－x^j，1）（x^j，0－x^j，2）

^{^j，1}=（x－x^j，0）（x－x^j，2）（x^j，1－x^j，0）（x^j，1－x^j，2）

^{^j，2}=（x－x^j，0）（x－x^j，1）（x^j，2－x^j，0）（x^j，2－x^j，1）

F^j，0=－（u^j－1，1+q^j，1）

F^j，1=－（u^j，1+q^j，1）

F^j，2=－（u^j，1+q^j+1，1）

因此：

^（Fj）x（x^j，1）=F^{j，0（^j，0}）x（x^j，1）+

F^{j，1（^j，1}）x（x^j，1）+F^{j，2（^j，2}）x（x^j，1）=

（x^j，1－x^j，2）（x^j，0－x^j，1）（x^j，0－x^j，2）（－（u^j－1，1+q^j，1））+

（x^j，1－x^j，0）（x^j，2－x^j，0）（x^j，2－x^j，1）（－（u^j，1+q^j+1，1））

最终得到的常微分方程组为

^（uj，1）t=（x^j，1－x^j，2）（x^j，0－x^j，1）（x^j，0－x^j，2）（－（u^j－1，1+q^j，1））+（x^j，1－x^j，0）（x^j，2－x^j，0）（x^j，2－x^j，1）（－（u^j，1+q^j+1，1））

q^j，1=1（x^j，2－x^j，0）（p^j+1，1－p^j，1）

p^j，1=1（x^j，2－x^j，0）（－（u^j－1，1－u^j，1））

使用LDG法处理方程（16）最终得到的常微分方程组如下：

^（uj，1）t=1（x^j，2－x^j，0）（－（u^j，1+q^j+1，1））+

1（x^j，2－x^j，0）（－（u^j－1，1+q^j，1））

p^j，1=1（x^j，2－x^j，0）（－（u^j－1，1－u^j，1））

q^j，1=1（x^j，2－x^j，0）（p^j+1，1－p^j，1）

由于M=1时，勒让德多项式的零点x^j，1=（x^j，2+x^j，0）/2。对比以上两组常微分方程组可知，两方程组相等。

3 结 论

本文研究了DFR法和LDG法求解高阶偏微分方程的等价性问题。针对线性三阶KdV方程，用两种方法证明DFR法和LDG法所求得的数值解等价，进一步完善了求解偏微分方程时使用插值理论和投影理论的联系。以上工作是针对线性方程所做出的研究，这使得研究过程中所用到的高斯求积结果具有高精度，但对于非线性方程这一点是难以满足的。关于含有更高阶偏导数的非线性方程的插值法与投影法是否具有等价性有待证明。

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（编辑：温泽宇）

基金项目： 国家自然科学基金青年基金（12201157）；黑龙江省自然科学基金联合引导项目（LH2020A015）.

作者简介：李晓彤（1997—），女，硕士研究生.

通信作者：毕 卉（1982—），女，博士，教授，博士研究生导师，E-mail：bihui@hrbust.edu.cn.