埃尔米特矩阵空间立方幂等保持问题

摘 要：保持问题是在一个给定的数学结构上研究保持某种不变量的映射的问题。针对埃尔米特矩阵空间保立方幂等的问题，通过刻画在保立方幂等的实线性映射下，研究了2×2维埃尔米特矩阵空间的基底到m×m维埃尔米特矩阵空间上的像，给出了从低维到高维埃尔米特矩阵空间保持立方幂等的实线性映射的表示形式。

关键词：保持问题；不变量；埃尔米特矩阵；立方幂等；线性映射

DOI：10.15938/j.jhust.2024.05.014

中图分类号： O110.21

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2024）05-0121-11

Cubic Idempotence Preserver Problem in Hermitian Matrix Space

ZHANG Haoran， XU Jinli

（School of Science， Northeast Forestry University， Harbin 150080， China）

Abstract：Preserver problems are the study of preserving maps of certain invariants on a given mathematical structure. In order to preserve the cubic idempotent of Hermitian matrix space， we study the image from the basis of 2×2-dimensional Hermitian matrix space to m×m-dimensional Hermitian matrix space， and give the representation of the real linear mapping from low-dimensional to high-dimensional Hermitian matrix space.

Keywords：preserver problems; invariants; Hermitian matrix; cubic idempotent; linear mapping

0 引 言

保立方幂等问题属于线性保持问题。线性保持问题由1897年 Frobenius^［1］提出，但并没有引起学者的关注。直到1962年，Marcus等^［2］给出保持秩1矩阵这一重要的研究成果之后，保持问题才引起大量学者的关注，随后对保持问题的研究成果^［3-7］才大量涌现出来。

此后，学者们对多种不变量的线性保持问题进行了研究。例如，秩保持问题^［8-9］，幂等保持问题^［10-11］，广义逆保持问题^［12-13］，伴随保持问题^［14］，交换保持问题^［15-18］等。保幂等问题是保持问题一个重要的分支，而立方幂等保持问题是对幂等保持问题的进一步研究；前人虽然对保幂等问题有了深入研究，但对保立方幂等问题研究的成果相对较少，本文在前人研究的基础上，进一步对文［19］定理3.1进行推广。

本文在给出定理证明之前，给出本文中所用到的数学符号说明：

令Mn（C）为复数域C上n×n阶的矩阵全体，Hn（C）为复数域C上n×n阶的埃尔米特矩阵全体，Pn（C）={A∶A3=A，A∈Hn（C}即Pn（C）为复数域C上n×n阶的埃尔米特立方幂等矩阵全体，Un（C）为复数域C上n×n阶的酉矩阵全体。

1 相关引理

定义1^［19］ 若α∈V1，Φ（α2）∈V2，当k∈C时，Φ（kα）=kΦ（α）成立，则称线性映射Φ：V1→V2为实线性映射。

引理1^［20］ 矩阵A∈C^n×n是一个立方幂等的埃尔米特矩阵，那么一定存在一个酉矩阵u∈C^n×n使得

A=uI^r1

－I^r2

0u*

其中：r1+r2=rA，rA表示矩阵A的秩。

2 埃尔米特矩阵保立方幂的实线性映射的刻画

定理1 令映射Φ1：H2（C）→Hm（C）是埃尔米特矩阵空间上的保立方幂等的实线性映射，使得A∈P2（C）Φ（A）∈Pm（C），则存在一个酉矩阵u∈Um（C），使得

Φ（A）=

uAI^k1

A－I^k2

ATI^k3

AT－I^k4

0u*

A∈H2（C），2（k1+k2+k3+k4）lt;m，其中AT为A的转置。

证明：由于Φ为实线性映射，且H2（C）在实数域上的基底为：

{E¹¹，E¹²，（E¹²+E²¹），i（E¹²－E²¹）}

下面分步骤刻画Φ的形式。

第一步：刻画Φ（E¹¹），Φ（E²²）的形式。

由于I2∈P2（C），由Φ的定义可知Φ（I2）∈^Pm（C^），由埃尔米特立方幂等矩阵的酉相似对角化性质，存在酉矩阵u1∈Um（C），使得

Φ（I2）=u1I^t1

－I^t2

0u*1

其中整数t满足0≤t1+t2≤m。

又由于E¹¹，E¹²，E¹¹－E²²，E¹²+E²¹=I2∈P2（C）

则由Φ的定义可知Φ（E¹¹），Φ（E²²）∈Pm（C），^Φ（E11－E²²），Φ（E¹¹+E²²）=Φ（I2）∈Pm（C）。

从立方幂等矩阵的定义可知：

Φ3（E¹¹）=Φ（E¹¹）（1）

Φ3（E²²）=Φ（E²²）（2）

（Φ（E¹¹）+Φ（E²²））3=Φ（E¹¹）+Φ（E²²）（3）

（Φ（E¹¹）－Φ（E²²））3=Φ（E¹¹）－Φ（E²²）（4）

由式（1）～（4）知

Φ（E¹¹）Φ（E²²）=Φ（E²²）Φ（E¹¹）=0。

令Φ1（A）=u1Φ^（A）mu*1，A∈H2（C），则可知Φ1：H2（C）→Hm（C）为保立方幂等的实线性映射，满足：

Φ1（I2）=I^t1

－I^t2

0，

Φ1（E¹¹）Φ1（E²²）=Φ1（E²²）Φ1（E¹¹）=0（5）

情形一：若t1=t2=0，则

Φ1（E¹¹）+Φ1（E²²）=0（6）

在等式（6）的两边同乘Φ21（E²²）可得

Φ21（E²²）Φ1（E¹¹）+Φ31（E²²）=0，

再由式（2）和式（5）可知

Φ1（E²²）=0，

同理Φ1（E²²）=0。

由1212

1212∈P2（C），

12－12

－1212∈^P2（C^），

0110∈P2（瘙綇），利用Φ1的定义可知

Φ11212

1212∈Pm（C），Φ112－12－1212∈^Pm（C^），

Φ1E¹²+E²¹∈Pm（C），

又由于Φ1（E²²）=0，Φ1（E²²）=0，可得

±12Φ1（E¹²+E²¹）∈Pm（C）。

由立方幂等的定义，直接计算可得

Φ1（E¹²+E²¹）=0。

再利用12i2

－i212∈P2（C），

12－i2

i212∈P2（C），0i－i0∈P2（C，

由Φ1的定义可知Φ112i2

－i212∈Pm（C），

Φ1（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C），

由Φ1（E²²）=0，Φ1（E²²）=0，可得

Φ1（i（E¹²－E²¹））=0。

综上可得：若Φ1（I2）=0，则Φ1（A）=0，A∈H2（C）。

情形2：若t1≠0，t2≠0，则

Φ1（I2）=I^t1

－I^t2

0，

满足0lt;t1+t2≤m，且

Φ1（E¹¹）Φ1（E²²）=Φ1（E²²）Φ1（E¹¹）=0（7）

由Φ1（E¹¹）∈Pm（C），则存在u¹¹∈Um（C），使得

Φ1（E¹¹）=u¹¹I^k1

－I^k2

0

0u*¹¹

其中整数k1满足0lt;k1lt;t1，k2满足0lt;k2lt;t1。令Φ1（E²²）=u¹¹

A¹¹A¹²A¹³A¹⁴A¹⁵

A*¹²A²²A²³A²⁴A²⁵

A*¹³A*²³A³³A³⁴A³⁵

A*¹⁴A*²⁴A*³⁴A⁴⁴A⁴⁵

A*¹⁵A*²⁵A*³⁵A*⁴⁵A⁵⁵u*¹¹

利用（7）得A¹¹=0，A¹²=0，A¹³=0，A¹⁴=0，A¹⁵=0，A²²=0，A²³=0，A²⁴=0，A²⁵=0，即Φ1（E²²）=u¹¹

00000

00000

00A³³A³⁴A³⁵

00A*³⁴A⁴⁴A⁴⁵

00A*³⁵A*⁴⁵A⁵⁵u*¹¹，

且A³³A³⁴A³⁵

A*³⁴A⁴⁴A⁴⁵

A*³⁵A*⁴⁵A*⁵⁵∈P^m－k1－k2（C），

由埃尔米特矩阵立方幂等的酉相似性可知，存在u²²∈U^m－k1－k2（C），

有A³³A³⁴A³⁵

A*³⁴A⁴⁴A⁴⁵

A*³⁵A*⁴⁵A*⁵⁵=u²²

I^k3

－I^k3

0u*²²，

其中整数k3=t1－k1，整数k4=t2－k2，即

Φ1（E²²）=

u¹¹I^k1

－I^k2

u²²

0

0

I^k3

－I^k4

0×

I^k1

－I^k2

u*²²u*¹¹，

Φ1（E¹¹）=

u¹¹I^k1

－I^k2

u²²

I^k1

－I^k2

000×

I^k1

－I^k2

u*²²u*¹¹，

由Φ1（E¹¹）+Φ1（E²²）=Φ1（I2）=

u¹¹I^k1

－I^k2

u²²

I^k1

－I^k2

I^k3－I^k40×

I^k1－I^k2u*²²u*¹¹=

I^k1－I^k2I^k3－I^k40。

那么u¹¹I^k1－I^k2u²²=Im，

即可得

Φ1（E¹¹）=I^k1－I^k2000=

E¹¹I^k1－I^k2O（8）

类似的，可得

Φ1（E²²）=00I^k3－I^k40=

E²²I^k3－I^k4O（9）

情形3：若t1≠0，t2=0，则

Φ1（I2）=I^t100，

即：

Φ1（E¹¹）=I^k10000=

E¹¹I^k100，

Φ1（E²²）=00I^k300=

E²²I^k300，

情形4：若t1=0，t2≠0，则

Φ1（I2）=0－I^t20，

即：

Φ1（E¹¹）=0－I^k2000=

E¹¹0－I^k2O，

Φ1（E²²）=000－I^k40=

E²²0－I^k4O。

第二步：骤刻Φ1（E¹²+E²¹）的形式。

情形一：若t1≠0，t2≠0，

由于12121212∈P2（C），12－12－1212∈P2（C），

则12（E¹¹+E²²）±12（E¹²+E²¹）∈P2（C），

利用Φ1的定义可知：

Φ112（E¹¹+E²²）±12（E¹²+E²¹）∈Pm（C），

且Φ1（E¹²+E²¹）∈Pm（C）。

那么（Φ1（E¹²+E²¹））3=Φ1（E¹²+E²¹），

令Φ1（E¹²+E²¹）=B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵

B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵

B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵

B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵

B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵，

则B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵

B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵

B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵

B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵

B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵3=

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵

B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵

B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵

B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵

B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵

由立方幂等矩阵的定义与等式（8），（9）可得

18I^k1－I^k2I^k3－I^k40+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18^B11B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵2×

I^k1－I^k2I^k3－I^k40+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴0B*¹²B²²B²³B²⁴0B*¹³B*²³B³³B³⁴0B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴0B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵0+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵00000+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵－B*¹²－B²²－B²³－B²⁴－B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵－B*¹⁴－B*²⁴－B*³⁴－B⁴⁴－B⁴⁵00000×

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18B¹¹－B¹²B¹³－B¹⁴0B*¹²－B²²B²³－B²⁴0B*¹³－B*²³B³³－B³⁴0B*¹⁴－B*²⁴B*³⁴－B⁴⁴0B*¹⁵－B*²⁵B*³⁵－B*⁴⁵0×

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18B¹¹－B¹²B¹³－B¹⁴0－B*¹²B²²－B²³B²⁴0B*¹³－B*²³B³³－B³⁴0－B*¹⁴B*²⁴－B*³⁴B⁴⁴000000=

12B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

12I^k1－I^k2I^k3－I^k40（10）

18I^k1－I^k2I^k3－I^k40－

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵2×

I^k1－I^k2I^k3－I^k40－

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴0B*¹²B²²B²³B²⁴0B*¹³B*²³B³³B³⁴0B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴0B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵0－

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵00000+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵-B*¹²-B²²-B²³-B²⁴-B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵-B*¹⁴-B*²⁴-B*³⁴-B⁴⁴-B⁴⁵00000×

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18B¹¹－B¹²B¹³－B¹⁴0B*¹²－B²²B²³－B²⁴0B*¹³－B*²³B³³－B³⁴0B*¹⁴－B*²⁴B*³⁴－B⁴⁴0B*¹⁵－B*²⁵B*³⁵－B*⁴⁵0×

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵－

18B¹¹－B¹²B¹³－B¹⁴0－B*¹²B²²－B²³B²⁴0B*¹³－B*²³B³³－B³⁴0－B*¹⁴B*²⁴－B*³⁴B⁴⁴000000=

－12B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

12I^k1－I^k2I^k3－I^k40（11）

等式（10），（11）结合可得

144B¹¹2B¹²4B¹³2B¹⁴2B¹⁵2B*¹²4B²²2B²³4B²⁴2B²⁵4B*¹³2B*²³4B³³2B³⁴2B³⁵2B*¹⁴4B*²⁴2B*³⁴4B⁴⁴2B⁴⁵2B*¹⁵2B*²⁵2B*³⁵2B*⁴⁵2B⁵⁵=

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵

即有 B¹²=0，B¹⁴=0，B¹⁵=0，B²³=0，B²⁵=0，B³⁴=0，B³⁵=0，B⁴⁵=0，B⁵⁵=0，

所以

Φ1（E¹²+E²¹）=B¹¹0B¹³000B²²0B²⁴0B*¹³0B³³000B*²⁴0B⁴⁴000000（12）

再利用等式（10）可以得到：

^B11B¹³B²²B²⁴B*¹³B³³B*²⁴B⁴⁴2=I^k1I^k2I^k3I^k4，

再利用45252515∈P2（C），即

15（4E¹¹+E²²）+25（E¹²+E²¹）∈P2（C），

利用Φ1的定义可知

Φ115（4E¹¹+E²²）+25（E¹²+E²¹）∈Pm（C），

通过等式（8），（9）和等式（12）以及立方幂等矩阵的定义可得：

154I^k1－4I^k2I^k3－I^k40+

25B¹¹0B¹³000B²²0B²⁴0B*¹³0B³³000B*²⁴0B⁴⁴000000∈Pm（C），

通过直接计算得B¹¹=0，B²²=0，B³³=0，B⁴⁴=0，

即

Φ1（E¹²+E²¹）=00B¹³00000B²⁴0B*¹³00000B*²⁴00000000，

又由

^0B130B²⁴B*¹³0B*²⁴02=I^k1I^k2I^k3I^k4，

得到B¹³B*¹³=I^k1，B²⁴B*²⁴=I^k2，B*¹³B¹³=I^k3，B*²⁴B²⁴=I^k4，

所以有k1=k3，k2=k4，即

Φ1（E¹²+E²¹）=00B¹³00000B²⁴0B*¹³00000B*²⁴00000000，

其中B¹³∈U^k1（C），B²⁴∈U^k2（C），

令

Φ2（A）=I^k1I^k2B¹³－B²⁴I^m－k1－k2

Φ1（A）=I^k1I^k2I^k2－B*²⁴I^m－k1－k2

A∈H2（C），

则

Φ2（E¹²+E²¹）=00I^k100000－I^k20I^k100000－I^k200000000=

（E¹²+E²¹）I^k1－I^k2O（13）

Φ2（Eⁱⁱ）=EⁱⁱI^k1－I^k2O，i∈［2］。（14）

情形2：若t1≠0，t2=0，

即：

Φ2（E¹²+E²¹）=00I^k10000000I^k100000000000000=

（E¹²+E²¹）I^k10O

Φ2（Eⁱⁱ）=EⁱⁱI^k10O，i∈［2］。

情形3：若t1=0，t2≠0，

即：

Φ2（E¹²+E²¹）=00000000－I^k20000000－I^k200000000=

（E¹²+E²¹）0－I^k2O，

Φ2（E_ii）=E_ii0－I^k2O，i∈［2］。

第三步：刻画Φ2（i（E¹²－E²¹））的形式。

情形一：若t1≠0，t2≠0，

由于

12i2－i212∈P2（C），12－i2i212∈P2（C），

则

12（E¹¹+E²²）±i2（E¹²－E²¹）∈P2（C），

利用Φ2的定义可知

Φ212（E¹¹+E²²）±12Φ2（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C

且Φ2（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C）。

那么（Φ2（i（E¹²－E²¹）））3=Φ2（i（E¹²－E²¹）），

令

Φ2（i（E¹²－E²¹））=C¹¹C¹²C¹³C¹⁴C¹⁵C*¹²C²²C²³C²⁴C²⁵C*¹³C*²³C³³C³⁴C³⁵C*¹⁴C*²⁴C*³⁴C⁴⁴C⁴⁵C*¹⁵C*²⁵C*³⁵C*⁴⁵C⁵⁵

由立方幂等矩阵的定义与等式（13），（14），可得

12I^k1－I^k2I^k3－I^k40±

12C¹¹C¹²C¹³C¹⁴C¹⁵C*¹²C²²C²³C²⁴C²⁵C*¹³C*²³C³³C³⁴C³⁵C*¹⁴C*²⁴C*³⁴C⁴⁴C⁴⁵C*¹⁵C*²⁵C*³⁵C*⁴⁵C⁵⁵∈Pm（C），

通过计算可得C¹²=0，C¹⁴=0，C¹⁵=0，C²³=0，C²⁵=0，C³⁴=0，C³⁵=0，C⁴⁵=0，C⁵⁵=0，

即

Φ2（i（E¹²－E²¹））=C¹¹0C¹³000C²²0C²⁴0C*¹³0C³³000C*²⁴0C⁴⁴000000（15）

且

C¹¹C¹³C²²C²⁴C*¹³C³³C*²⁴C⁴⁴2=I^k1I^k2I^k3I^k4（16）

再利用452i5－2i515∈P2（C），

即15（4E¹¹+E²²）+25（i（E¹²－E²¹））∈P2（C），

由Φ2的定义可知

15Φ2（4E¹¹+E²²）+25Φ2（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C），

通过等式（13），（14），（15）可得

154I^k1－4I^k2I^k3－I^k40+

25C¹¹0C¹³000C²²0C²⁴0C*¹³0C³³000C*²⁴0C⁴⁴000000∈Pm（C），

通过直接计算得C¹¹=0，C²²=0，C³³=0，C⁴⁴=0，即

Φ2（i（E¹²－E²¹））=00C¹³00000C²⁴0C*¹³00000C*²⁴00000000，

再利用等式（16）可知C¹³C*¹³=I^k1，C²⁴C*²⁴=I^k2，^C*13C¹³=I^k1，C*²⁴C²⁴=I^k2，

令C¹³=id¹³，d¹³∈U^k1（C），C²⁴=id²⁴，d²⁴∈^Uk2（C），则

Φ2（i（E¹²－E²¹））=00id¹³00000id²⁴0－id*¹³00000－id*²⁴00000000（17）

利用131－i31+i323∈P2（C），

即

13（E¹¹+2E²²+E¹²+E²¹）－13（i（E¹²－E²¹））∈^P2（C^）

由Φ2的定义可知

13Φ2（E¹¹+2E²²+E¹²+E²¹）－13Φ2（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C）

由立方幂等矩阵的定义与等式（13），（14）及（17）可得

d¹³=d*¹³，d²⁴=d*²⁴，

即d¹³，d²⁴为埃尔米特酉矩阵。

利用酉相似性可知，存在酉矩阵w¹³∈U^k1（C）

使得d*¹³=w¹³I^l1－I^l1w*¹³，

存在酉矩阵w²⁴∈U^k2（C）

使得d*²⁴=w²⁴I^l3－I^l4w*²⁴，

其中整数l1、l2、l3、l4满足l1+l2=k1，l3+l4=k2。

令Φ3（A）=w*¹³w*¹³w*²⁴w*²⁴I^m－k1－k2

Φ2（A）=w²⁴w²⁴w¹³w¹³I^m－k1－k2

于是

Φ3（i（E¹²－E²¹））=

00iI^l1－I^l200000iI^l3－I^l40－iI^l1－I^l200000－iI^l3－I^l400000000=

i（E¹²－E²¹）I^l1－I^l2I^l3－I^l4O（18）

其中l1、l2、l3、l4满足l1+l2+l3+l4=k1+k2。

Φ3（E¹²+E²¹）=（E¹²+E²¹）I^k1－I^k2O（19）

Φ3（Eⁱⁱ）=EⁱⁱI^k1－I^k2O（20）

对任意A=a¹¹a¹²a*¹²a²²则

A=a¹¹E¹¹+a²²E²²+Re（a¹²）（E¹²+E²¹）+

Im（a¹²）i（E¹²－E²¹），

通过等式（18）、（19）、（20）及Φ3的定义可知

Φ3（A）=Φ3（a¹¹E¹¹）+Φ3（a²²E²²）+

Φ3（Re（a¹²）（E¹²+E²¹））+

Φ3（Im（a¹²）i（E¹²－E²¹））=

a¹¹E¹¹I^k1－I^k2O+

a²²E²²I^k1－I^k2O+

Re（a¹²）（E¹²+E²¹）I^k1－I^k2O+

Im（a¹²）i（E¹²－E²¹）I^l1－I^l2I^l3－I^l4O=

AI^l1ATI^l2AT－I^l3A－I^l40

利用Φ3和Φ关系，可得存在u∈Um（C），使得

Φ（A）=

uAI^l1ATI^l2AT－I^l3A－I^l40u*

A∈H2（C）。

情形2：若t1≠0，t2=0，

即：

Φ（A）=uAI^l1ATI^l2000u*

A∈H2（C）。

情形3：若t1=0，t2≠0，

即：

Φ（A）=u00AT－I^l3A－I^l40u*

A∈H2（C）。

综上，定理1证明完毕。

3 结 论

本文研究了埃尔米特矩阵保立方幂等问题，以2×2维埃尔米特矩阵为例，利用埃尔米特立方幂等的酉相似分解引理，通过刻画埃尔米特空间的基底在映射下的像的表示形式，刻画了从低维到高维的埃尔米特矩阵空间保立方幂等的实线性映射，完成了定理1的证明。

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（编辑：温泽宇）

基金项目： 国家自然科学基金（11701075）.

作者简介：张浩苒（2000—），女，硕士研究生.

通信作者：徐金利（1982—），男，博士，副教授，E-mail：jclixv@qq.com.