基于雨课堂和案例教学法的特征值及特征向量教学研究

摘" 要：特征值与特征向量是两个既抽象又应用广泛的概念，若只专注于理论内容的讲授，忽视其在实际应用中的背景和意义，会使学生对理论知识感到难以理解，从而失去学习的兴趣和热情，继而影响到后续课程的学习。以雨课堂教学平台为基础，采用课程思政融入基础课教学的方法，将矩阵的特征值和特征向量与离散动力系统联系起来，以捕食者-食饵系统为应用案例，引导学生分析实际问题并建立相应的数学模型，然后通过矩阵特征值与特征向量来求解数学模型，加深了学生对基本理论知识的理解，提高了学生课堂参与度，达到了很好的教学效果。

关键词：特征值" 特征向量" 案例教学" 雨课堂

中图分类号：G642.4;O151.2-4

Research on" Eigenvalue and Eigenvector Teaching Based on Rain Classroom and Case Teaching Method

LI Wen" ZHAO Liyun" CAO Fujun

School of Science， Inner Mongolia University of Science and Technology， Baotou， Inner Mongolia Autonomous Region， 014010 China

Abstract： Eigenvalue and eigenvector are two abstract and widely used concepts. If teachers only focus on teaching theoretical content and ignore their background and significance in practical applications， it will make students feel difficult to understand theoretical knowledge， thereby losing interest and enthusiasm for learning， and ultimately affecting their subsequent course learning. Based on the Rain Classroom teaching platform， this article adopts the method of integrating ideological and political education into basic course teaching. It links the eigenvalues and eigenvectors of matrices with discrete dynamical systems， and takes the predator-prey system as an application case to guide students to analyze practical problems and establish corresponding mathematical models， and then solves the mathematical models through the eigenvalues and eigenvectors of matrices， deepening students' understanding of basic theoretical knowledge， improving students' classroom participation， and achieving good teaching results.

Key Words： Eigenvalue; Eigenvector; Case teaching; Rain Classroom

在矩阵理论研究中，特征值与特征向量是两个非常重要的概念，也是线性代数教学的重点与难点所在。特征值与特征向量的应用很广泛，已渗透到多个科学技术领域[1]。在计算机领域，人们将其应用到视觉与图像处理、数据挖掘和机器学习中。在动力系统研究中，常常用特征值的符号来判断系统的稳定性。张艳硕等人[2]借助于特征值，提出了一种无可信中心的门限秘密共享方案。袁驰[3]设计出了基于特征向量的非随机WSN密钥预分配方法。

为了提高教学质量，很多教师从不同的角度介绍特征值与特征向量。如雍龙泉[4]以矩阵的可逆性和对称性作为分类原则，给出了矩阵特征值与特征向量的几何意义。王小春[5]在引出特征值与特征向量时，运用数形结合的方法，以线性不变量为切入点。朱玲[6]给出了矩阵的特征值和特征向量在谷歌的网页排名算法 PageRank 和层次分析法中的应用。

线性代数[7]作为一门核心课程，应在课堂教学中充分挖掘课程的思政元素。在教学实践中，在讲授特征值与特征向量时，通过介绍其在科学领域的实际引用案例，激发学生的爱国情怀和社会责任感。

1" 特征值与特征向量的思政元素

在系统与控制科学领域内，特征值和特征向量对于系统的稳定性有着直接的影响。高机动性战斗机控制是系统控制领域的一个非常重要的分支。歼-20是中国自主研制的第五代战斗机，在高隐身性、高态势感知、高机动性等方面取得了重大突破，提升了中国空军的作战能力和战略威慑力，为中国航空工业的未来发展奠定了坚实的基础。

控制系统在深海钻井平台的自动定位中发挥关键作用。我国“海洋石油981”深水半潜式钻井平台具备极强的稳定性和抗干扰性，凭借8个分列四角的螺旋桨推进器通过控制系统实现自动定位，能够在南海3 000 m的水深作业区域内稳定工作。

课堂上通过介绍我国自主研制的第五代战斗机和“海洋石油981”深水半潜式钻井平台，不仅使学生认识到“ 矩阵的特征值和特征向量”这一基础知识点的重要性，而且使学生认识到中国的进步和发展，增强学生的民族自豪感和责任感。

2" 基于雨课堂的特征值与特征向量混合式教学模式设计

由于学生对抽象的理论知识缺乏相应的学习兴趣，没有积极主动探索的学习习惯。通过借助于雨课堂教学工具，改变以教师为主的传统教学模式，开展学生线上的自主学习与教师的线下课堂教学相结合的混合式教学模式，在教学过程中让学生主动积极地参与进来。

2.1" 利用雨课堂课前提升学习兴趣

利用雨课堂推送功能提前发布学习任务，要求学生通过雨课堂预习有关特征值与特征向量的知识点并了解相关实际应用案例，学生收到学习资料后围绕特征值与特征向量的实际应用进行研讨。为下一步学习特征值与特征向量的实际应用做好准备工作。

2.2" 基于雨课堂反馈进行课堂讲授

课堂教学步骤如下。

（1） 在引入特征值与特征向量时，可先回顾前面的学习内容：矩阵变换，线性变换。为引出特征值和特征向量做铺垫。 通过下面的例题让学生感受矩阵变换，也让学生做好接受特征值和特征向量这两个概念的准备。

例1 设，分别计算的值

解" ，。

接下来让学生思考和比较的值，通过比较的值可以看出，是的2倍，但不是的倍数。接下来引导学生思考什么样的向量经过矩阵变换后能得到其倍数？如果这样的向量存在该如何得到？通过层层发问，学生在听课时就会紧跟教师的教学思路，品尝到学习的乐趣，乐于去解答问题，最后会因成功解答问题而收获学习信心。当观察到学生对接下来的学习有浓厚的学习兴趣时，强调形如这样的方程就是学习的重点，接下来给出特征值和特征向量的定义。以问题为导向引导学生思考，不但能使学生更专注于课堂，而且能促使学生课后去主动学习，积极寻找课堂上问题的答案，从而将知识内化于心，在无形中培养了学生的数学思维。

如何使学生在学习抽象且难懂的理论知识时不产生排斥畏难情绪，不但在于学生的学习基础和学习态度，更在于教师的教学设计和教学风格，若能通过巧妙的教学设计，结合雨课堂的提前预习，由问题入手，通过发问引领学生思考，利用已学知识和新知识之间的内在联系，让学生体会到知识的拓展，使学生以接受的心态来学习，那么在讲授抽象的理论知识时会产生意想不到的教学效果。

（2）给出特征值和特征向量的定义。

定义[7]" 设是一个阶方阵。若存在一个数和一个非零列向量， 使得关系式成立，则称数为方阵的一个特征值，非零向量称为的对应于（或属于）特征值的特征向量。

（3）给出特征值与特征向量的计算方法。

求解阶方阵的特征方程， 从而得到个特征值。当时，求解方程得到的全部非零解即为的特征值的全部特征向量[7]。

以上内容已通过PPT提前在雨课堂发布，学生可通过雨课堂进行实时反馈，教师提前了解学生的预习情况，对大部分学生反映不太理解的内容在课堂上重点讲授。上述概念和计算抽象难懂，如果缺少必要的雨课堂预习过程，将导致学生理解困难，甚至对此部分内容失去兴趣。经过调查发现，通过雨课堂提前了解了所学内容的同学在课堂中能够紧跟教师的教学，和没有在雨课堂进行预习的同学相比能够更快速地抓住学习重点。基于雨课堂教师能更清楚地了解学生的学习状态，并在课堂中进行针对性讲授，引导学生思考从而掌握所学内容。

2.3" 特征值与特征向量的实际应用案例

通过雨课堂的课前自主学习过程与课堂的讲授内容，大多数同学已对特征值与特征向量的实际应用有了一定的了解。接下来将给出易于理解的应用案例，设计逻辑清晰的引入过程，以问题为导向抓住学生的注意力，力争使每个学生都能够理解特征值与特征向量的基本概念，掌握求解特征值与特征向量的具体方法，了解特征值与特征向量的实际应用。

在实际课堂教学中根据授课班级不同，所学专业不同，选取合适的应用案例，可以避免线性代数理论教学与学生的专业需求脱节。对于生物工程专业的学生本文将给出捕食者-食饵系统，利用线性动力系统来建立猫头鹰和老鼠的自然系统模型。此模型容易理解也适合其他专业的学生。

实际应用案例设计思路：

（1）强化知识与综合应用：了解特征值与特征向量在离散动力系统中的应用。

例 2 设，分析由所确定的动力系统的长期发展趋势。

解 的特征多项式为

所以的特征值为和。通过求解方程得到的特征向量为的倍数，的特征向量为的倍数。接下来令 ，得到。由此有

代入，得：

从而，当时，，。

从上例可以看出，特征值和特征向量可以分析和预测由差分方程描述的动力系统的长期行为。由此，将矩阵的特征值与特征向量与离散动力系统联系起来，加深了学生对基本理论知识的理解。

（2）培养学生数学建模能力，加强跨学科融合，让学生在解决实际问题的过程中综合运用多学科知识，

以此激发学生的学习动力和兴趣。

接下来以捕食者-食饵系统为应用案例，利用线性动力系统来建立猫头鹰和老鼠的自然系统模型。引导学生分析实际问题并建立相应的数学模型，然后通过矩阵特征值与特征向量来求解上述数学模型。最后让学生思考问题的实际意义。通过将所学知识成功应用到实际案例可以让学生感受到数学的魅力和价值。

应用案例引入：作为老鼠的主要捕食者，斑点猫头鹰的食物有是老鼠。如果没有老鼠为食物，每月仅有一半的猫头鹰存活下来，而如果没有猫头鹰捕食老鼠，那么老鼠的数量每月增长。假如有足够多的老鼠，猫头鹰增长的数量是老鼠数量的倍，而由于猫头鹰的捕食所引起的老鼠死亡数量是猫头鹰数量的倍，这里是一个指定的正参数，我们称它为捕食参数。应首先考虑：当时，预测该系统的发展趋势。

根据以上已有数据引导学生建立第 年和第年猫头鹰和老鼠数量之间的关系模型。 给出下列方程组

其中：是猫头鹰数量；是老鼠的数量（单位是千只）；是捕食参数。利用矩阵的乘法，可以将方程组（1）改写成矩阵方程：

其中：

上述数学模型实际是形式为的差分方程，现在求解差分方程（2）。

解" 当时，系数矩阵的特征值是和，对应的特征向量是，初始向量可表示为，那么对，。当时，，，有。说明当捕食参数时，猫头鹰和老鼠的数目都会逐渐减少直至灭亡。

引导学生思考：捕食参数会影响系数矩阵的特征值，当的特征值时会造成猫头鹰和老鼠的灭亡。若改变捕食参数，当时会发生什么情况？

重复上述步骤，此时矩阵的特征值是和，对应的特征向量是， 那么。

当足够大时，近似等于，即，从而有，这表明猫头鹰和老鼠的数量每月大约以的倍数增长，即月增长率为。

2.4" 课后及时总结，创造自主学习环境

为检验教学设计的实践成效，在两个班级进行了教学实践。课程结束后以调查问卷的形式来了解基于雨课堂和案例教学法讲授特征值和特征向量时学生的掌握情况，由调查问卷可知，大部分同学认可这种混合式教学模式设计，喜欢这种层层递进式的教学方式，改变了大家对线性代数这门课程的认识。由于大部分同学以前对线性代数的应用不太了解，不知该用于何处，所以学起来兴趣不足。通过讲解不但掌握了基础的理论知识，而且对其应用也有了一定的了解。基于雨课堂通过案例教学法讲授特征值与特征向量时确实改善了教学效果，能够得到学生的认可。

基于雨课堂从案例出发，采用理论知识与实际应用相融合的教学手段，通过雨课堂提起预习，以实际案例吸引学生的注意力，引导学生主动思考并利用所学知识解决实际问题，使学生认识到所学知识的重要性，从而排除了学生的畏难情绪。以上教学方法的实施不仅激发了学生的学习热情和兴趣，使他们掌握了特征值与特征向量的学习内容，也提升了他们解决实际问题的能力，教学效果得到了大幅提高。为进一步提升教学效果，课后还需利用雨课堂发布相应的试题，考查学生的知识掌握情况。根据学生的学习情况灵活地对教学内容进行调整，真正做到以学生为主体，从根本上提升教学效果。

3 结语

本文结合学生专业背景，基于雨课堂将实际应用案例引入特征值与特征向量的教学环节，在一定程度上提升学生的学习兴趣，使学生更积极主动地去了解和应用所学知识，在学习的过程中培养学生的思维能力，从而提高教学质量。接下来在为土木工程专业的学生讲授特征值与特征向量时，可以尝试采用层次分析法的应用案例。针对现实生活中碰到的决策问题，运用层次分析法来进行决策，适用于工程项目施工成本间接影响因素的研究等问题，是特征值和特征向量的重要实践应用。尽管已经为多个专业选取了合适的应用案例，但对大多数专业仍然缺乏相应的应用案例，寻找适合我校各专业学生的特征值与特征向量的实际应用案例是我们接下来要研究的重点。

参考文献

[1]郭文艳.线性代数应用案例分析[M].北京：科学出版社，2023.

[2]张艳硕，王泽豪，杜耀刚，等.基于矩阵特征值的可验证无可信中心门限方案[J].武汉大学学报：理学版，2020，66（2）：135-140.

[3]袁驰.基于特征向量的非随机WSN密钥预分配方法[J].微电子学与计算机，2020，37（11）：6-12.

[4]雍龙泉.矩阵特征值与特征向量的几何意义[J].陕西理工大学学报（自然科学版），2021，37（5）：80-85.

[5]王小春.特征值与特征向量的教学研究[J].高师理科学刊，2019，39（12）：66-69.

[6]朱玲.线性代数中的特征值和特征向量的教学应用案例[J].兰州教育学院学报，2016，32（12）：86-87，90.

[7] 周勇，李继猛.线性代数[M].2版.北京：北京大学出版社，2022.