线性代数教学中矩阵特征值求解探讨

摘要：特征值是线性代数的重要知识点，是方阵对角化和二次型标准化的基础，在许多领域的理论和实践中有重要的应用。n阶方阵的特征值计算包括求解特征多项式和特征方程这两步。求解特征多项式相当于求解一个含有变量的n阶行列式，求解特征方程相当于求解一个一元n次方程，一般情况下计算比较烦琐。针对几个特征值计算进行演示，首先讨论特征值计算的基本方法，然后给出几种具有特殊性矩阵的特征值计算的技巧。同时，要运用这些计算技巧，需要熟练掌握行列式、矩阵、特征值和特征向量的相关性质，并能够洞察特征多项式和特征方程求解中的特殊性，从而能够简洁准确地得出特征值。

关键词：特征值 特征多项式 因式分解 矩阵的迹 矩阵的秩

中图分类号： O151.2

Discussion of Matrix Eigenvalue Solution in Linear Algebra Teaching

MA Shengyun HUANG Sharina XU Liyang

College of Science， Inner Mongolia Agricultural University， Hohhot， Inner Mongolia Autonomous Region， 010018 China

Abstract： Eigenvalue is important knowledge points in linear algebra， serving as the foundation for matrix diagonalization and standardization of the quadratic form， and have significant applications in theory and practice in many fields. The eigenvalue calculation of an n-order square matrix involves two steps： solving the characteristic polynomial" and the characteristic equation . Solving characteristic polynomial is equivalent to solving an n-order determinant containing variables ， while solving characteristic equations is equivalent to solving an one dimension equation of the n-degree， which is generally computationally cumbersome. Using several examples to demonstrate the calculation of eigenvalues. Firstly， the basic method of eigenvalue calculation is discussed， and then several techniques for eigenvalue calculation with special matrices are provided. At the same time， to apply these computational techniques， proficiency in the properties of determinants， matrices， eigenvalues and eigenvectors is required， the particularities of solving characteristic polynomials and equations can be perceived， so as to obtain eigenvalues concisely and accurately.

Key Words： Eigenvalue; Characteristic polynomial; Factorization; Trace of matrix; Rank of matrix

线性代数[1]是高等院校大多数理工类、经济类和农林类专业的必修公共基础课程，在其后续专业课程学习中有着重要的作用。矩阵的特征值是线性代数中的重要概念，也是各专业考研的考查热点[2，3]。在特征值与特征向量的教学中，需要恰当地引入二者的概念，使学生能够更好地理解与掌握。例如：利用数形结合，从线性不变量的角度引入，从几何意义来看，特征向量在线性变换下没有改变方向，特征值就是伸缩的比例[4-6]。特征值与特征向量是方阵对角化和可对角化矩阵方幂计算的主要方法和手段[7，8]。在学习过程中，学生需要掌握特征值的基本计算方法以及具有特殊形式矩阵特征值的计算技巧[9，10]。实际上利用数学软件计算特征值愈加广泛，可以应对计算量大，数据结果复杂等问题[11]。

本文以三阶矩阵为例，介绍和讨论求解特征值的基本方法和几种特殊情形下的求解技巧。

三阶矩阵的特征值的基本求解过程共有两步。首先，求特征多项式。因为的主对角线元素均含有的形式，所以一般情况下利用对角线法则求解，得到一个关于的一元三次多项式。其次，求解特征方程。是一个关于的一元三次方程，方程的根即为矩阵的特征值，这个过程需要对特征多项式进行因式分解。一般情况下，按对角线法则展开并进行因式分解的基本求解方法比较繁琐。

1 求解矩阵特征值的基本方法

例1 求矩阵的特征值。

按对角线法则展开后的整理过程略显烦琐且易错，此处未给出详细整理合并过程。

求解的特征值，首先需要因式分解。一般情况下，对一元三次多项式进行因式分解，先要进行试根。如果该一元三次多项式的常数项为零的话，则有零特征值，实际上相当于做了一个一元二次多项式的因式分解问题，因式分解相对简单。若常数项非零，如例1所示，计算则稍显繁琐，试根依次考虑。假设得到一个特征根为，则因式分解式中存在一项，继续利用列竖式或者拼凑法即可得到整个特征多项式的因式分解。

在例1中，容易验证是的一个根，从而因式分解项中一定含有，进行拼凑的具体过程如下：

令，解得的特征值为。

例1中演示了一般情形下三阶矩阵特征值的基本求解方法，计算量偏大，而且计算过程中必须注意计算的准确性，计算消耗时间也较长。

当给出的三阶矩阵具有某些特殊性时，特征值的求解会具有一定的简便性。

2 具有特殊性矩阵的特征值求解

例2 求矩阵的特征值。

矩阵具有特殊性，的第三列上方两个元素都是0，显然第三行第三列的元素2是的一个特征值，同时的另两个特征值也易于求出。这种情形下特征值的求解主要利用行列式按行按列展开定理的引理，即行列式的某一行或者某一列只有一个非零元，则行列式等于该非零元与其代数余子式之积。这种情形下，展开求解时易于得到的形式，因式分解也相对简单。

令，解得的特征值为。

根据例2的求解过程可以看到，具备这样特殊性的矩阵的特征值的求解过程较例1简洁。同时注意到的特征值取值与其第三行的前两个元素无关。

例3 求矩阵的特征值。

注意矩阵的特殊性，它的每行元素的和均为4。利用这个特殊性也可以简化计算过程，只需要将的后两列都加到第1列上，可以看到第1列元素都变成，提出公因数后再用后两行分别减去第1行，即具备了例2中的特殊性。

进一步求解得到，解得的特征值为。

例4 求矩阵的特征值。

首先注意到，矩阵具有与例3中矩阵相同的特殊性，即每行元素的和相等，可以按照例3的解法求解的特征值。再进一步观察，较更特殊，的主对角线元素都是5，主对角线以外元素都是2。

显然，当时，中的所有元素均为2。所以，并且。

由可知为的一个特征值。同时注意到计算关于的特征向量需要求解齐次线性方程组，该方程组的所有非零解向量均为关于的特征向量。因为，所以的基础解析中包含2个向量，即关于存在两个线性无关的特征向量。注意矩阵的任意特征值至多存在与其重数个数相同的线性无关的特征向量，所以至少为的一个二重特征值，即有。对于三阶矩阵，已知两个特征值，要确定第三个特征值，可以利用“矩阵的所有特征值的和等于矩阵主对角线上所有元素和”，即。所以有，解得。

例4中求解的特征值不需要展开，不需要得到特征多项式的具体形式，也不需要进行因式分解。将例4推广到一般形式为：

若，为阶方阵，则的特征值为

这种形式矩阵特征值的计算，需要熟练掌握线性代数的多个知识点，并能够将这些知识点有机的结合起来。

例5 求矩阵的特征值。

矩阵的特征值计算与例4中类似，若能敏锐的注意到所具备的特殊性，则不需要按例1的复杂计算过程即可得到特征值。

显然，中任意两行元素对应成比例。依据行列式的性质“行列式的某两行（列）元素对应成比例，行列式等于零”，则有。同时注意到“矩阵的行列式等于的所有特征值的乘积”，或者“不可逆存在零特征值”，所以，存在零特征值。同时，还需要注意中任意两行元素对应成比例，所以，，与例4分析类似，零特征值至少是的二重特征值，即有。再利用，有。

3 结语

一般情况下，特征值基本求解方法的计算量相对较大。当矩阵具有某些特性时，特征值的求解可以简化。要能够根据矩阵的具体形式，灵活地运用相应方法进行处理和运算，达到最佳的计算效率，需要扎实掌握线性代数的基本概念和基本性质，并在此基础上不断提高对具体矩阵是否存在特殊性的洞察力。

参考文献

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