具有不同干预措施的家禽-野鸟禽流感模型分析

摘要：为了有效防控禽流感，建立了一个禽流感在家禽-野鸟中传播的模型。证明了模型解的非负性和有界性，定义了模型的基本再生数，证明了模型无病平衡点的全局稳定性及疾病的持久性。随后建立了禽流感最优控制模型，利用最优控制理论分析了使得经济成本最低的控制方法。最后通过数值模拟分析了正平衡点的稳定性和最优控制措施对疾病传播的影响。研究结果表明，对疫情只采取单一的控制措施是远远不够的，多种控制措施相结合才是抑制疾病流行的最佳策略。

关键词：禽流感；扑杀率；稳定性；持久性；最优控制

中图分类号： O175.1；S855.3" " " " " " " " 文献标志码： A文章编号： １６７３－２３４０（２０24）０4－００85－10

Analysis of an avian influenza model with different interventions

CHENG Chaoyue， LIU Junli*， TIAN Miaomiao

（School of Science， Xi′an Polytechnic University， Xi′an 710048， China）

Abstract： In order to effectively prevent and control avian influenza， this study develops a model of avian influenza that considers the transmission between poultry and wild birds. The non-negativity and boundedness of the model solution are proved， the basic reproduction number of the model is defined， and the global stability of the disease-free equilibrium of the model and the persistence of the disease are proved. The optimal control model is established， and the optimal control method that has the lowest economic cost is analyzed using optimal control theory. Finally， the stability of the positive equilibrium and the influence of optimal control measures on disease transmission are investigated. The results show that a single control measure is far from sufficient to contain the epidemic; the combination of multiple control measures is the best strategy to suppress the disease epidemic.

Key words： avian influenza; culling rate; stability; persistence; optimum control

禽流感作为一种在禽类中广泛传播的传染病，严重影响着禽类的健康，并对社会经济效益产生了重要影响；尤其是当地野禽中肆虐的禽流感病毒会对家禽造成严重灾害。因此，对野禽的及时观测和对家禽的严格控制显得尤为重要。

近年来，众多学者提出了不同的数学模型[1-6]来刻画禽流感的传播。Iwami等[1]建立了一个禽-人模型来研究禽流感的传播，研究表明遏制禽流感的传播不仅需要消灭染病禽鸟，还需要对染病的人进行隔离。Liu等[2]研究了不同禽-人之间传播的禽流感模型，分析了其动力学行为。Rohani等[7]提出了一个环境病毒在禽类传播的模型。Chong等[8]研究了一个对易感和染病鸟类进行捕杀的Filippov模型。Liu等[9]从活禽市场、活禽运输等社会经济特征，采用扑杀、疫苗接种等措施，对禽流感疫情进行分析。Gulbudak等[10]建立了一个具有疫苗接种的年龄结构的家禽禽流感模型，研究了疫苗效力对疾病流行率和最低临界疫苗接种覆盖率的影响。Liu等[11]基于H5N1的传播周期和传播模式，重点研究了家禽、野生鸟类和环境之间的相互作用，并评估了各种控制策略的有效性。Tang等[12]研究了活肉鸡流动对禽流感控制的影响。Gulbudak等[13]研究了禽流感在不同扑杀策略下的动态，以便对疾病进行更好的控制。Bourouiba等[14]研究了候鸟在H5N1禽流感传播中的作用，重点分析了候鸟与非候鸟家禽的相互作用。此外，Bourouiba等[15]基于低致病性禽流感毒株可诱导一些野生鸟类对高致病性禽流感毒株的部分免疫，研究了部分免疫对候鸟种群禽流感病毒暴发的影响。Vaidya等[16]建立数学模型研究了环境条件（主要是温度）对禽流感传播与流行的影响。

本文参考文献[11]，根据禽流感在家禽和野鸟中的传播机制，以染病后野禽是否存活为依据，将野禽分为两类；并考虑疫苗接种、扑杀和环境清洁等控制禽流感疫情的重要措施，建立了一个高维的数学模型，对模型进行了理论分析及模拟干预措施对疾病流行的影响，以探讨最优控制策略。

1" "模型的建立

根据禽流感在家禽和野鸟中的传播机制，把家禽分为3个仓室：易感家禽S（t）、接种家禽V（t）和染病家禽I（t），则家禽总量N（t） = S（t） + V（t） + I（t）；把染病后不恢复的野鸟记为第一类野鸟，这类野鸟分为易感野鸟S（t）、潜伏期野鸟E（t）和染病野鸟I（t） 3类，则其总量为N（t） = S（t） + E（t） + I（t）；把染病后可以恢复的野鸟记为第二类野鸟，分为易感野鸟S（t）、染病野鸟I（t）和恢复野鸟R（t） 3类，则其总量为N（t） = S（t） + I（t） + R（t）。由于H5N1对禽类是致命的，故在家禽和第一类野鸟中不考虑恢复类，病毒可以在水、排泄物和宿主外存活，因此引入V（t）来表示环境中禽流感病毒的数量。假设Λ、Λ和Λ表示家禽、第一类野鸟和第二类野鸟的出生率；β和λ分别表示染病家禽和环境中病毒对易感家禽的传染率，θ∈（0，1）和θ∈（0，1）均为一常数，θβ和θλ分别表示染病家禽和环境中病毒对接种家禽的传染率；p表示疫苗接种率；μ和μ分别表示家禽和野鸟的自然死亡率；α和α分别表示染病家禽和染病野鸟的因病死亡率；c表示对染病家禽的扑杀率；β、 β和λ分别表示第一类野鸟中潜伏者、染病者和病毒对易感者的传染率；ρ表示潜伏期野鸟到染病野鸟的转移率；β和λ分别表示第二类野鸟中，染病野鸟和病毒对易感野鸟的传染率；ξ表示染病后免疫丧失率；δ表示染病野鸟的恢复率；r、r、r和r分别表示染病家禽、第一类野鸟中的潜伏者和染病者、第二类野鸟中的染病者在环境中释放病毒的速率；d和d分别表示环境的自我恢复率和人为干预促使环境的恢复率。根据以上假设，建立如下模型：

dS/dt = Λ - βSI - λSV - （p + μ）SdV/dt = pS - θβVI - θλVV - μVdI/dt = βSI + λSV + θβVI + θλVV -" "（μ + α + c）IdS/dt = Λ - βSE - βSI -" "λSV - μSdE/dt = βSE + βSI + λSV -" "（ρ + μ）EdI/dt = ρE - （μ + α）IdS/dt = Λ - βSI - λSV + ξR - μSdI/dt = βSI + λSV - （δ + μ）IdR/dt = δI - （ξ + μ）RdV/dt = rI + rE + rI + rI - （d + d）V。

（1）

模型（1）的初始条件为

S（0）≥0，V（0）≥0，I（0）≥0，S（0）≥0，

E（0）≥0，I（0）≥0，S（0）≥0，I（0）≥0，

R（0）≥0，V（0）≥0。（2）

假设所有参数均为正常数。下面研究模型（1）在条件（2）下解的非负性和有界性，记

Γ = {（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V）∈R：

S + V + I≤Λ/μ，S + E + I≤Λ/μ，

S + I + R≤Λ/μ，V≤3rΛ/[μ（d + d）]}。

其中Λ/μ = max{Λ/μ，Λ/μ，Λ/μ}，r = max{r，r，r，r}。由下面的定理1可知Γ为模型（1）的正向不变集。易知下面的结论成立。

定理1" "对于任意的t≥0，模型（1）具有初始条件（2）的解是非负的、有界的。

证明：下面证明解的有界性。家禽总数N（t）满足微分方程

dN/dt = Λ - μN - （α + c）I≤Λ - μN，

解得N（t）≤（N（0） - Λ/μ）e + Λ/μ。则如果N（0）≤Λ/μ，得N（t）≤Λ/μ。

染病后死亡的野鸟总数N（t）满足微分方程

dN/dt = Λ - μN - αI≤Λ - μN，

解得N（t）≤（N（0） - Λ/μ）e + Λ/μ。则如果N（0）≤Λ/μ，得N（t）≤Λ/μ。

染病后存活的野鸟总数N（t）满足微分方程

dN/dt = Λ - μN，

解得N（t）≤（N（0） - Λ/μ）e + Λ/μ。则如果N（0）≤Λ/μ，得N（t）≤Λ/μ。

环境中的病毒总数V（t）满足微分方程

dV/dt = rI + rE + rI + rI - （d + d）V≤

3rΛ/μ - （d + d）V，

其中Λ/μ = max{Λ/μ，Λ/μ}，r = max{r，r，r，r}，解得V（t）≤{V（0） - 3rΛ/[μ（d + d）]}e + 3rΛ/[μ（d + d）]。则如果V（0）≤3rΛ/[μ（d + d）]，得V（t）≤3rΛ/[μ（d + d）]。从而集合Γ为模型（1）的正向不变集。证毕。

2" "平衡点的存在性及稳定性

模型（1）始终存在无病平衡点E = {S，V，0， S，0，0，S，0，0，0}，其中S = Λ/μ，S = Λ/μ，S = Λ/（μ + p），V = pΛ/[μ（μ + p）]。

为了计算基本再生数R，即在下一代再生矩阵中，当所有禽类都是易感者时，一只染病禽类在其平均染病期间所能传染禽类的均值，根据文献[17]，定义

F =

βS + θβV" " " 0" " " " " 0" " " " 0" " " λS + θλV" " " " 0" " " " " " βS" " βS" " "0" " " " " "λS" " " " 0" " " " " " " "0" " " " " 0" " " " 0" " " " " " " 0" " " " 0" " " " " " " "0" " " " " 0" " " βS" " " " "λS" " " " r" " " " " " "r" " " " r" " " "r" " " " " " "0，

V =

μ + α + c" " " "0" " " " " " 0" " " " " "0" " " " " "0" " " " 0" " " " "ρ + μ" " " "0" " " " " "0" " " " " "0" " " " 0" " " " " "-ρ" " " μ + α" " " 0" " " " " "0" " " " 0" " " " " "0" " " " " " 0" " " " "δ + μ" " " "0" " " " 0" " " " " "0" " " " " " 0" " " " " "0" " " " d + d。

则R = ρ（FV），其中ρ（FV）为矩阵FV的谱半径。

引理1" "R lt; 1 ？圳 s（F - V） lt; 0；R gt; 1 ？圳 s（F - V） gt; 0。其中s（F - V）表示矩阵F - V的谱界。

证明：假设10维向量x = （x，…，x）中的每个分量x≥0，X为所有无病状态的集合，即X = {x≥0x = 0，i = 3，5，6，8，10}。模型（1）可表示为

= f（x） = F（x） - V（x），i = 1，…，10，

其中x = S，x = V，x = I，x = S，x = E，x = I，x = S，x = I，x = R，x = V，

V（x） = V" （x） - V" （x）。

F = 0，V" "= Λ，

V" "= βSI + λSV + （p + μ）S；

F = 0，V" "= pS，

V" "= θβVI + θλVV + μV；

F = βSI + λSV + θβVI + θλVV，

V" "= 0，V" "= （μ + α + c）I；

F = 0，V" "= Λ，

V" "= βSE + βSI + λSV + μS；

F = βSE + βSI + λSV，

V" "= 0，V" "= （ρ + μ）E；

F = 0，V" "= ρE，V" "= （μ + α）I；

F = 0，V" "= Λ + ξR，

V" "= βSI + λSV + μS；

F = βSI + λSV，

V" "= 0，V" "= （δ + μ）I；

F = 0，V" "= δI，V" "= （ξ + μ）R；

F = rI + rE + rI + rI，

V" "= 0，V" "= （d + d）V。

下面验证文献[17]中定理2的条件（A1）—（A5）成立。显然，当x≥0时，有F≥0，V" ≥0，V" ≥0，i = 1，…，10，则条件（A1）成立。当x = 0（i = 3，5， 6，8，10）时，有V" （x） = 0，则条件（A2）成立。当x = 0（i = 1，2，4，7，9）时，有F（x） = 0，则条件（A3）成立。当x = 0（i = 3，5，6，8，10）时，有F（x） = 0，V" （x） = 0，则条件（A4）成立。如果F （x） = 0，则Df（x）为矩阵-V，其所有特征根均为负值，其中Df（x）为无病平衡点x处的雅可比矩阵，则条件（A5）成立。则由文献[17]中的定理2知引理1成立。证毕。

定理2" "当R lt; 1时，无病平衡点E = （S，V，0，S，0，0，S，0，0，0）是局部渐近稳定的；当R gt; 1时，E是不稳定的。

定理3" "当R lt; 1时，E = （S，V，0，S，0，0，S，0，0，0）在Γ内是全局渐近稳定的。

证明：由模型（1）的第1式、第2式、第4式、第7式和第10式及定理1可知，

limsupS（t）≤Λ/（μ + p） = S，

limsupV（t）≤pΛ/[μ（μ + p）] = V，

limsupS（t）≤Λ/μ = S，

limsupS（t）≤Λ/μ = S，

limsupV（t）≤3rΛ/[μ（d + d）]，

则当t充分大时，有

dI/dt≤βSI + λSV + θβVI + θλVV -" "（μ + α + c）IdE/dt≤βSE + βSI + λSV -" "（ρ + μ）EdI/dt = ρE - （μ + α）IdI/dt≤βSI + λSV - （δ + μ）IdV/dt = rI + rE + rI + rI - （d + d）V。

（3）

式（3）右边的系数矩阵为F-V，由引理1知，当R lt; 1时，则F-V的所有特征根均具有负实部，则由比较原理知，当t→∞时，（I（t），E（t），I（t），I（t），V（t））→（0，0，0，0，0），则S→S，V→V，S→S，S→S，R→0。证毕。

下面的定理4给出了疾病的持久性。

定理4" "当R gt; 1时，存在ε gt; 0，使得对于模型（1）具有初值条件（2）且I（0） gt; 0、I（0） gt; 0、I（0） gt; 0的解（S（t），V（t），I（t），S（t），E（t），I（t），S（t），I（t），R（t），V（t））满足

liminf（I（t），I（t），I（t））≥（ε，ε，ε）。

证明：定义

X = {（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V）∈R：

S≥0，V≥0，I≥0，S≥0，E≥0，I≥0，

S≥0，I≥0，R≥0，V≥0}，

X = {（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V）∈X：

I gt; 0，I gt; 0，I gt; 0}，

？坠X = X＼X。

易证X和X是正不变的，？坠X为X中的闭集。令

x（t） = （S（t），V（t），I（t），S（t），E（t），I（t），

S（t），I（t），R（t），V（t）），

x = （S（0），V（0），I（0），S（0），E（0），I（0），

S（0），I（0），R（0），V（0）），

ω（x）表示从x出发的模型（1）解的ω极限集。定义

M ＝ {xx∈？坠X：x（t）∈？坠X，？坌t≥0}。容易证明

M = {（S，V，0，S，0，0，S，0，0，0）S≥0，V≥0，

S≥0，S≥0}，Ω = {E}，

则E为Ω的一个覆盖，E是孤立的和非循环的。如果可以证明E为X的一个弱排斥子，即从初值x∈X出发的解x（t）满足

limsupd（x（t），E） gt; 0，（4）

则定理4得证。由文献[18]知，欲使式（4）成立，只需证明

W（E）∩X = ，（5）

其中W（E）表示E的稳定流形。使用反证法，假设W（E）∩X≠，则存在解x（t）∈X，使得当t→∞时有

S（t）→S，V（t）→V，S（t）→S，S（t）→S，

I（t）→0，E（t）→0，I（t）→0，I（t）→0，

R（t）→0，V（t）→0。（6）

存在一个充分小的η gt; 0，使得

S（t） gt; S - η，V（t） gt; V - η，S（t） gt; S - η，

S（t） gt; S - η，0 lt; I（t），I（t），I（t） lt; η，

0≤E（t），R（t），V（t） lt; η。

由模型（1）得

dI/dt≥β（S - η）I + λ（S - η）V +" "θβ（V - η）I + θλ（V - η）V -" "（μ + α + c）IdE/dt≥β（S - η）E + β（S - η）I +" "λ（S - η）V - （ρ + μ）EdI/dt = ρE - （μ + α）IdI/dt≥β（S - η）I + λ（S - η）V -" "（δ + μ）IdV/dt = rI + rE + rI + rI - （d + d）V。

（7）

定义

N = β + θβ" " "0" " "0" " "0" " λ + θλ" " "0" " " " "β" "β" "0" " " " λ" " "0" " " " " 0" " "0" " "0" " " " 0" " "0" " " " " 0" " "0" " β" " " "λ" " "0" " " " " 0" " "0" " "0" " " " 0，

则模型（7）可以写成

（I′，E′，I′，I′，V′）≥

（F - V + ηN）（I，E，I，I，V）。

当R gt; 1时，由引理1知，s（F - V） gt; 0，则存在任意小的η gt; 0，使得s（F - V + ηN） gt; 0，因此I（t）→∞，E（t）→∞，I（t）→∞，I（t）→∞，V（t）→∞，与式（6）矛盾，则式（5）成立。证毕。

定理2和定理3讨论了无病平衡点的稳定性，而模型正平衡点的稳定性不易得到，因此在第4节将通过数值模拟来研究其稳定性。

3" "最优控制模型

考虑到对易感家禽进行疫苗接种、对染病家禽进行扑杀以及对环境进行清洁的过程都需要高额的成本，为了使得防控成本最低，考虑用最优控制函数μ（t）、 μ（t）和μ（t）分别代替疫苗接种率p、扑杀率c和环境的清洁率d，进行最优控制理论分析。

首先，考虑总成本函数

J （μ（·），μ（·），μ（·）） =

（I（t） + I（t） + I（t） + Bμ（t） +

Bμ（t） + Bμ（t））dt，（8）

其中：t为控制措施的结束时间，假设所花费用为非线性二次函数；B、B、B为权重系数，体现成本的大小和重要性。

控制模型为

dS/dt = Λ - βSI - λSV - （μ（t） + μ）SdV/dt = μ（t）S - θβVI - θλVV - μVdI/dt = βSI + λSV + θβVI + θλVV -" "（μ + α + μ（t））IdS/dt = Λ - βSE - βSI - λSV - μSdE/dt = βSE + βSI + λSV -" "（ρ + μ）EdI/dt = ρE - （μ + α）IdS/dt = Λ - βSI - λSV + ξR - μSdI/dt = βSI + λSV - （δ + μ）IdR/dt = δI - （ξ + μ）RdV/dt = rI + rE + rI + rI -" "（d + μ（t））V。

（9）

模型（9）的初始条件与模型（1）的初始条件相同。

最优控制问题的拉格朗日函数为

L（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V，μ，μ，μ） =

I（t） + I（t） + I（t） +

Bμ（t） + Bμ（t） + Bμ（t）。

控制变量μ（t）、 μ（t）和μ（t）满足控制集

U = {（μ，μ，μ）∈L（0，t）0≤μ（t）≤1，

i = 1，2，3}。

由定理1知，模型（9）是有界的，且由式（4）可知，被积函数关于μ（t）、 μ（t）和μ（t）具有凸性，则存在最优控制μ（t）、 μ（t）和μ（t）使得

J（μ，μ，μ） = {min J（μ，μ，μ）}。

定理5" "给定最优控制μ、 μ、 μ和相应状态的解，存在伴随变量λ（i = 1，…，10），则哈密尔顿函数H为

H（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V， μ，μ，μ，

λ） = I（t） + I（t） + I（t） + Bμ（t） +

Bμ（t） + Bμ（t） + ∑λ f（t），

其中f（t）为模型（9）第i个方程等号右边的表达式。进而得到如下模型：

dλ/dt = -？坠H/？坠S = λβI + λλV + λμ +" "λμ - λμ - λβI - λλVdλ/dt = -？坠H/？坠V = λθβI + λθλV + λμ -" "λθβI - λθλVdλ/dt = -？坠H/？坠I = λβS + λθβV - λβS -" "λθβV + λμ + λα + λμ - λr - 1dλ/dt = -？坠H/？坠S = λβE + λβI + λλV +" "λμ - λβE - λβI - λλVdλ/dt = -？坠H/？坠E = λβS - λβS + λρ +" "λμ - λρ - λrdλ/dt = -？坠H/？坠I = λβS - λβS + λμ +" " λα - λr - 1dλ/dt = -？坠H/？坠S = λβI + λλV + λμ -" " λβI - λλVdλ/dt = -？坠H/？坠I = λβS - λβS + λδ +" " λμ - λδ - λr - 1dλ/dt = -？坠H/？坠R = -λξ + λξ + λμdλ/dt = -？坠H/？坠V = λλS + λθλV - λλS -" "λθλV + λλS - λλS + λλS -" " λλS + λd + λμ。

（10）

模型（10）满足横截性条件λ（t） = 0，i = 1，…，10，且μ = max{min{（S/2B）（λ - λ），1}，0}，μ = max{min{λI/（2B），1}，0}，μ = max{min{λV/（2B），1}，0}。

证明：根据控制条件和哈密尔顿函数有

（？坠H/？坠μ） = 2Bμ - λS + λS = 0，

（？坠H/？坠μ） = 2Bμ - λI = 0，

（？坠H/？坠μ） = 2Bμ - λV = 0。

解得μ = （S/（2B））（λ - λ），μ = λI/（2B），μ = λV/（2B）。最优控制解μ具有以下3种情况：

μ = 0，？坠H/？坠μ lt; 00 lt; μ lt; 1，？坠H/？坠μ = 01，？坠H/？坠μ gt; 0。

最优控制解μ和μ的取值情况与最优控制解μ的情况类似，则

μ = max{min{（S/（2B））（λ - λ），1}，0}，

μ = max{min{λI/（2B），1}，0}，

μ = max{min{λV/（2B），1}，0}，

其中S、I和V为相应的最优状态变量。证毕。

为了进一步反映最优控制函数μ（t）、 μ（t）和μ（t）对疾病传播的控制效果，在下一节进行数值模拟研究。

4" "数值模拟

本节通过数值拟合来研究参数对R的影响和正平衡点的稳定性情况，并对最优控制函数进行模拟。根据文献[11]，取β = 0.03，λ = 4 × 10-16，α = 1/3，β = 0.000 1，δ = 0.05，λ = 4 × 10-16，α = 0.2，ρ = 0.2，β = 0.000 2，λ = 4 × 10-16，ξ = 0.1，r = 10EID，r = 10EID，r = 10EID，r = 10EID，d = 0.1 + 10；根据文献[19]，取μ = 0.01，μ = 0.01；根据文献[20]，取c∈[0，0.4]，d∈[0.1，6]，p∈[0，1]。其中EID为鸡胚半数感染量，其他参数为估计值。

理论分析表明，基本再生数R对疾病是否流行具有重要作用。为了检验R对参数的依赖性，利用上述参数，令Λ = 10，Λ = 10，使用偏秩相关系数对R中的参数进行分析。偏秩相关系数的绝对值越大，表明参数对R的影响越大。选取参数β，λ，p，θ，c，θ，β，β，λ，β，λ和d进行分析，结果见图1。

从图1可以看出，参数β，λ，θ，p，c和d是最重要的控制参数。因此，及时清理染病家禽尸体和粪便，及时对健康家禽进行疫苗接种和对染病家禽进行扑杀，对禽类生活环境及时进行清洁是控制禽流感传播的有效措施。

假设Λ = 10，Λ = 3，θ = 0.1，θ = 0.1，p = 0.1，c = 0.2，d = 0.9，取初值为（70，10，50，60，40， 50，60，50，10，10），则R = 10.039 2 gt; 1，模型（1）的解随时间变化如图2所示，解趋于一个正平衡点，疾病在家禽与野鸟中均流行，需要对其实施控制措施来遏制疾病的传播。

下面对最优控制函数μ（t）、 μ（t）和μ（t）进行数值模拟。利用上述参数，假设Λ = 10，Λ = 10，θ = 0.1，θ = 0.1，B = 1 000，B = 1 000，B = 1 000，取初值为（40，50，20，10，10，10，30，10，10，10）。由图3可知，当疾病出现时，如果不采取控制措施，疾病将暴发并流行，而当疫苗接种、扑杀和环境清洁3种控制措施同时实施时，可以有效减少感染家禽的数量，抑制疾病的传播，并使得疾病最终消亡。刚开始时，μ（t）、 μ（t）和μ（t）以最大值持续对疾病进行控制，一段时间之后，控制措施减弱，直到最后下降到0，表明经过开始阶段的严厉措施后，随着时间的延长，控制强度可以慢慢降低趋于常态化，且μ衰减最慢，即实际禽流感的阻断需要对染病家禽扑杀所投入的成本最大，而疫苗的接种率和有效性次之，环境清洁最少。

取初值为（40，70，20，10，10，10，30，10，10，10），比较只采取疫苗接种这种控制措施与不采取任何控制措施时染病家禽数量的变化（见图4）。由图4（a）可以看出，疫苗接种可以有效降低感染家禽的数量，抑制疾病的传播，但是并不能使得疾病消亡。由图4（b）可以看出，控制函数 μ（t）从开始就以最大值对疾病进行控制，在一段时间后急速下降到0，说明当家禽中出现禽流感时，为了防止易感禽类的感染，就必须持续以最大值对易感家禽进行接种，随着时间的延长，控制强度可以慢慢降低趋于常态化。

取初值为（40，70，120，10，10，10，30，10，10，10），将只采取扑杀这一种控制措施与不采取任何控制措施对染病家禽数量的影响进行对比，得到图5（a），可以看出，扑杀可以有效降低染病家禽的数量，抑制疾病的传播。μ（t）随时间的变化如图5（b）所示，可以看出，控制函数μ（t）从开始就以最大值对疾病进行控制，在一段时间后急速下降到0，说明当家禽中出现禽流感时，为了控制疫情，就必须不间断地以最大值对染病家禽进行扑杀。

只采取环境清洁这种控制措施与不采取任何控制措施对染病家禽数量的影响并不大，只采取环境清洁不能很好地抑制疾病的传播，需要结合其他控制措施来控制疾病的传播。

综上，当禽流感疫情出现时，如果对疫情不采取任何控制措施，那么疫情将会暴发并蔓延，而采取一定的控制措施后，能够有效地抑制疫情的流行暴发，甚至使得疫情消亡。而在对疫情的控制效果上，采取多种防控措施相结合的方法比只采取单一的控制措施效果更加明显。

5" "结束语

本文研究了一个家禽-野鸟的禽流感模型，模型中考虑了疫苗接种、扑杀和对环境进行清洁等因素。通过定义模型的基本再生数，对模型平衡点的存在性和无病平衡点的全局稳定性进行了分析，并证明了疾病的持久性，对正平衡点的稳定性进行了数值模拟。随后建立了最优控制模型，以疫苗接种、扑杀和环境清洁作为3种控制措施，利用庞特里亚金最大值原理得到了最优控制策略。数值模拟发现，当疾病暴发时，只采取单一的控制措施可能达不到控制疾病的效果，应该采取多种控制措施相结合的策略，从不同方面对禽流感疫情进行控制，使得防控成本最低、疫情的危害最小。

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（责任编辑：张燕）