基于JADE-斜投影的鲁棒波束形成算法

程永杰, 李 纯, 刘 帅, 金 铭

(哈尔滨工业大学(威海)信息科学与工程学院, 山东 威海 264209)

0 引 言

自适应波束形成技术作为阵列信号处理的重要分支,被广泛应用于雷达[1]、声呐[2]以及移动通信[3]等领域。随着应用场景的复杂化,导向矢量失配问题使得波束形成算法性能大幅下降,不确定集算法围绕导向矢量失配校正问题进行研究,主要包括基于协方差矩阵拟合思想提出的鲁棒Capon波束形成[4]算法,该算法通过构建导向矢量失配集合,采用寻优方法修正导向矢量失配误差,并始终保障期望信号无失真响应;最差情况最优化算法是不断优化导向矢量失配误差对应不确定集中的最差情况[5],即使得期望信号失配误差在达到上界时,波束输出也能保持较高水平。然而,这些算法忽视了期望信号成分的影响,即使在期望信号先验信息已知时,算法性能也不能接近最优。矩阵重构类鲁棒算法[6-12]因解决了高信噪比条件下的信号“自消”问题,鲁棒性显著提升,被众多学者广泛关注。虽然该算法在角度误差、随机误差等非理想环境下具有较好的鲁棒性,性能接近最优,但该类算法通常需要精确已知阵列结构的先验信息。而在实际环境中,由于天线单元间增益及相位不一致,接收通道增益、相位延迟的影响不一致,阵列流形与真实值失配,易对波束形成算法性能带来损失。针对阵列幅相误差校正问题,学者们提出众多算法,可大致分为有源校正和自校正方法两类。有源校正算法[13-15]的思想是通过在微波暗室中放置辅助信源,通过对采集数据进行处理得到误差参数,无需估计信号源方位,运算量小,但这类算法通常需要精确已知校正源信息。若校正源信息出现偏差,校正效果会受到影响,同时在实际应用中使用成本较高;自校正算法的思想是设计含空间信源方位与幅相误差的优化函数,通过优化算法在线完成误差参数的估计,算法校正精度高,研究价值较高。

自校正算法一般分为以下研究方向:一类是用子空间正交原理构建代价函数,实现误差参数和信源方位的迭代估计,进而实现参数估计;另一类是利用最大似然原理构建含误差参数和信源方位的代价函数,通过多维寻优实现误差参数和信源方位的估计。Friedlander等[16]提出的自校正方法是第一类校正方法的代表,该方法基于特征结构和幅相误差完成信源方位估计,需要求解高维非线性优化问题,收敛速度慢且无法保证收敛性,并且该方法在均匀线阵条件下存在误差校正的模糊性[17]。Wylie等[18]提出利用信号协方差矩阵的Toeplitz特性估计幅度误差,结合最小均方差(least mean square, LMS)-Newton法迭代估计相位误差,但该方法只适用于校正小误差,需要设置初值,且计算复杂度较高。为了降低相位误差估计的计算复杂度,文献[19]利用协方差矩阵的Toeplitz特性,结合相邻对角线元素的分布特点,同时约束误差参数范数,来实现误差的估计,但估计精度有待提升。文献[20]通过修复具有Toeplitz特性的信号协方差矩阵,简单快速地估计幅度和相位误差,其相位误差估计精度有限。文献[21]提出了一种幅度相位误差的非迭代盲标定算法,所提算法利用混合矩阵构建空间谱,首先估计出信源方位,其次利用混合矩阵的组成特点得出幅度、相位误差的估计结果,计算效率有待提升。第二类算法一般基于最大似然准则,利用信号与噪声空间的正交性,构造幅相误差与信源方位结合的优化函数[22],同时完成估计误差和信源方位。文献[23]利用阵列协方差矩阵的特征分解与最大似然思想,实现信源方位与相位误差参数集的解耦,但该算法在均匀线阵下会出现相位误差估计模糊问题,此外对信号的相关性敏感,计算复杂度较高。文献[24-27]利用最大似然与子空间拟合原理构造多维非线性代价函数实现对误差的精确估计,这些算法不受误差类型的影响,但计算复杂度较高。

综上可知,已有研究成果在幅相误差校正方面取得了较大进展,但在精度和多维优化函数收敛方面还有改进的空间。本文针对幅相误差条件下的鲁棒波束形成算法开展研究,提出了基于盲源分离-斜投影联合的矩阵重构鲁棒波束形成算法,实现了对阵列幅相误差参数的精确估计。该算法利用盲源分离[28-29]得到的信号和混合矩阵,构建新的信号协方差矩阵,并结合其分布特点完成对幅相误差的估计;其次,利用混合矩阵与期望信号入射角度得到精确的期望信号导向矢量;然后利用斜投影思想,构建各干扰的斜投影算子,将阵列数据投影到各干扰的斜投影空间,剔除期望信号和其他的干扰信号,通过阵列信号对多个干扰斜投影空间的依次投影,实现各干扰信号的重建,进而完成干扰加噪声协方差矩阵的重构。仿真结果表明,所提算法可精确估计阵列幅相误差,改善了矩阵重构类波束形成算法对阵列幅相误差的鲁棒性,具有较高的工程应用价值。

1 幅相误差数学模型

假设有Q个远场窄带信号入射到间距为d/2的由M个阵元构成的均匀线阵上,t时刻阵列接收到的快拍数为

(1)

Γ=diag[r1,r2,…,rM],ri=ρiejφi

(2)

式中:ρi、φi分别为第i个通道的幅度、相位误差。设置第1个阵元为参考阵元,有ρ1=1,φ1=0。

2 算法原理

2.1 混合矩阵估计

特征矩阵联合近似对角化[29](joint approximate diagonalization of eigen-matrices, JADE)算法是独立成分分析(independent component analysis, ICA)技术中的一个重要方法,该算法运算简单、收敛快且分离效果好。考虑干扰加噪声协方差矩阵算法对阵列结构的先验信息的敏感性,本节采用上述算法对存在阵列校正误差条件下的接收信号进行处理,旨在实现波束形成算法鲁棒性的提升。

定义混合矩阵B为幅相误差条件下的阵列流形矩阵:

B=ΓA=[b(θ0),b(θ1),…,b(θQ)]=

Γ[a(θ0),a(θ1),…,a(θQ)]

(3)

利用JADE算法将接收信号和混合矩阵分离为

(4)

2.2 幅相误差估计

(5)

(6)

得到期望信号的序号后,剩余序号即对应干扰。

此处以第i个干扰信号为例,给出幅度误差和相位误差的求解过程,第i个干扰协方差矩阵可以构建为

(7)

(8)

(9)

φj-2φj+1+φj+2,j=1,2,…,M-2

(10)

那么有:

CΨ=V

(11)

其中,

(12)

式(11)中含有M-2个方程和M-1个未知数,为欠定方程,添加最小二范数约束条件,利用最小二乘法进行求解可得相位误差估计为

Ψ=CH(CCH)-1V

(13)

2.3 基于JADE-斜投影的协方差矩阵重构鲁棒波束形成算法

阵重构类波束形成算法通常对阵列结构的先验信息要求较高,在幅相误差未知的情况下,波束形成算法的性能急剧下降。针对该问题,本文在利用JADE完成阵列幅相误差估计的基础上,结合斜投影方法完成对期望信号的滤除,构建精确的干扰加噪声协方差矩阵。

斜投影算子与正交投影算子同样具有抑制“干扰”的特点,但对投影对象和被投影对象无要求,可在小阵元条件下实现信号正交性的加强,即摆脱信号导向矢量之间“近似正交性”受阵元数的影响。可利用其构建投影矩阵抑制掉所有不想要的信号分量成分,从而构建只包含某个信号协方差的矩阵。因此,本文引入斜投影算子实现对干扰加噪声协方差矩阵的重构,利用斜投影直接对数据进行处理,构建精确的干扰加噪声协方差矩阵。

由第2.2节可得校正后的阵列流形矩阵为

(14)

结合式(6),可得到期望信号导向矢量,记为

(15)

在得到各个信号的导向矢量后,可利用斜投影思想构建斜投影算子。以第q个干扰信号为例,其斜投影算子构建的过程如下。

构造不含第q个干扰信号导向矢量a(θq)的阵列流形矩阵Aq-:

(16)

2.1.1 创建渔网 创建渔网工具(Create Fishnet)又名创建规则网格要素类工具，用来创建指定格子大小、行数、列数的要素类[5]。

(17)

(18)

从式(18)可以看出,可以通过斜投影得到干扰信号协方差矩阵,有:

(19)

此时,数据经过斜投影处理后,只包含第q个干扰信号的信息,重复上述步骤,依次构建每个干扰的斜投影算子,即可完成干扰加噪声协方差矩阵的重构:

(20)

(21)

(22)

综上,本文所提算法的实现步骤如算法1所示。

算法 1 算法实现步骤步骤 1 利用JADE算法对混合矩阵进行估计;步骤 2 利用新构建的协方差矩阵F^i,结合式(9)和式(13)对幅相误差进行估计;步骤 3 利用斜投影算子Δa^q|Aq-构建干扰协方差矩阵R^i,如式(19)所示;步骤 4 利用式(15)和式(20),由式(22)计算得到权矢量wIPNCM-obprojection。

3 仿真实验

仿真选取均匀线阵自校正(self-calibration of linear equi-spaced array, SCLES)方法[18]、改进的均匀线阵快速自校正(improved fast self-calibration of linear equi-spaced array, IMFASTLES)方法[19]以及盲信号分离校正(calibration blind signal separation, CBSS)[21],与所提方法进行对比,考察分析算法误差精度的性能。

选取基于二次约束二次规划的干扰加噪声协方差矩阵重构(interference-plus-noise to covariance matrix-quadratically constrained quadratic program, IPNCM-qcqp)[6]、基于相关的IPNCM(IPNCM-correlation, IPNCM-cor)[31]、基于子空间的IPNCM(IPNCM-subspace)[32]、基于正交性的IPNCM(IPNCM-ortho)[33]以及最优性能,进行对比分析,考察算法鲁棒性等方面的性能。其中,IPNCM-qcqp、IPNCM-ortho的扇区采样间隔为0.1°,IPNCM-subspace的扇区采样间隔为0.5°,IPNCM-cor的扇区采样间隔为1°。

3.1 幅相误差估计精度对比

本节采用均方根误差(root mean square error, RMSE)对精度进行定量分析,表达式为

(23)

式中:N=500为蒙特卡罗实验次数。

本次实验中,每个阵元的幅度误差服从N(1,(0.1)2),相位误差服从N(0,(0.025π)2)。

幅相误差估计精度:本实验主要考察SNR对幅相误差估计精度的影响,算法性能对比如图1所示。

图1 幅相误差估计性能对比Fig.1 Performance comparison of ampltitude and phase error estimation

分析图1(a)可知,在SNR<0 dB时,所提算法相比对比方法,幅度误差估计精度较低,因为盲源分离技术受SNR影响较大,在SNR较低时,分离效果较差,而在SNR较高时,本文算法估计性能良好。分析图1(b)可知,所提算法在SNR>-5 dB时估计精度良好,相比已有算法,具有更优的性能。

3.2 鲁棒性验证

(1) 幅相误差条件同第3.1节实验,改变SNR,取-10～30 dB,观察阵列幅相误差时算法输出信干噪比(signal-to interference plus noise ratio, SINR) 与输入SNR的关系,仿真结果如图2所示。

图2 幅相误差下性能对比Fig.2 Performance comparison at amplitude and phase error

分析图2可知,算法IPNCM-cor在一定SNR范围内对幅相误差不敏感,但随着SNR的提升,在接近最优时,受到信号的“色散效应”的影响,输出SINR急剧下降;所提算法通过盲源分离技术分离混合矩阵与信号,通过信号协方差矩阵的分布特点,精确估计了幅度误差与相位误差,分离了混合矩阵中误差项与导向矢量项,相比已有矩阵重构算法提升了算法的鲁棒性。

(2) 位置误差:位置误差矩阵一般表示为Γ=diag(e-j2πΔd1sin θ/λ,…,e-j2πΔdMsin θ/λ),其中Δdm(m=1,2,…,M)之间相互独立且服从[-0.1,0.1]的均匀分布。误差在单次实验内保持不变,在每次实验中重新生成。改变SNR,取-10～30 dB,观察阵列位置误差时算法输出SINR与输入SNR的关系,仿真结果如图3所示。

图3 位置误差下性能对比Fig.3 Performance comparison at location error

分析图3可知,由于矩阵重构类算法对阵列结构先验信息要求较高,因此在阵列误差条件下矩阵重构类算法鲁棒性有待提高,本文所提算法在此误差条件下相比其他重构类算法,与理想性能相近但仍存在一定差距,输出SINR始终与最优值相差约15 dB,鲁棒性仍有提升的空间。

4 结束语

本文提出了幅相误差校正-矩阵重构的鲁棒波束形成算法。算法首先利用JADE算法实现了对阵列信号中混合矩阵和信号包络的分离;然后基于盲源分离结果构造信号协方差矩阵,并在此基础上实现了对阵列幅相误差的精确估计;最后,构建各干扰的斜投影算法,并将阵列数据分别投影到各干扰斜投影算子上,完成了干扰加噪声协方差矩阵重构。仿真结果表明,本文算法相比已有幅相误差校正类算法具有较高的估计精度;所提基于斜投影的矩阵重构方法与已有算法相比,在幅相误差条件下,均具有良好的性能及较强的鲁棒性;在阵元位置误差条件下,本文方法的鲁棒性不强。此外,当存在阵列导向矢量随机误差、相干误差、耦合误差时,所提算法的性能存在一定不足,性能仍有较大的提升空间,这也是后续的研究工作之一。