融入数字图像的“高等代数”案例分析

摘 要：为解决学生对“高等代数”中众多抽象的定义、定理难以理解的情况，本文将数字图像融入“高等代数”课程，旨在运用直观生动的图像改进“高等代数”中对于概念的传统教学模式，增强学生学习数学的兴趣，进一步提升学生发散思维与创新能力。

关键词：高等代数；数字图像；抽象概念；课程融入

"Advanced Algebra" Case Analysis Combining Digital Images

Yang Tianji

Lianyungang Normal College JiangsuLianyungang 222000

Abstract：To solve the problem of students having difficulty understanding the numerous abstract definitions and theorems in "Advanced Algebra"，this article integrates digital images into the "Advanced Algebra" course，aiming to use intuitive and vivid images to improve the traditional teaching mode of concepts in "Advanced Algebra"，enhance students' interest in learning mathematics，and further enhance their divergent thinking and innovation abilities.

Keywords：Advanced Algebra；Digital images；Abstract definitions；Course integration

1 概述

Algebra（代数）这一词匯，最早由清代传入中国，并在1859年被著名数学家、翻译家李善兰正式翻译为“代数”，一直沿用至今。“高等代数”作为数学系三大专业基础课程之一，是“抽象代数”“离散数学”“微分方程”“泛函分析”“计算方法”等后继课程的理论基础，重要性不言而喻。

“高等代数”具有从初等代数向高等代数的过渡作用，其教学目的侧重从概念、理论以及抽象的代数方法出发，培养学生一定的数学素养。对比“初等代数”侧重学习数与数的运算性质，高等代数的“数”上升到更广泛的数学对象，例如：多项式、向量、矩阵、变换等。尤为重要的一点，“高等代数”教学的重心从代数系统的元素特性转移到代数系统自身和相互之间的联系，强调须证明给出新定义的运算法则和规律。

然而，“高等代数”究竟有什么用，对开设课程的大一学生来说却是一个困扰的问题。学生学习“高等代数”课程谈及最大作用只局限于解题、升学考试的需要，难以从抽象的概念中理解知识的衔接性、现实性。“数学是科学技术的本质，高新技术的发展离不开数学”这一论据，学生对此似懂非懂，很难凭借学习过的理论知识论证数学的重要性。

2 “高等代数”课程教学改革

随着信息化时代的发展，现今的数学在生活中不再是买卖物品等计算的简单工具，而是作为核心支撑，成为新时代重要竞争力学科，广泛直接地在众多技术领域渗透，比如金融风险评估、人工智能机器人研发、医学图像分割、遥感监控图像的去模糊处理、人脸识别、航天飞船轨迹追踪等。

以时代为契机，“高等代数”的课堂教学应当同步改革［12］，借助数字媒体工具和信息化软件［3］结合教学也是大势所趋。

2.1 可行性与必要性

1987年，钱天白教授发出我国第一封电子邮件“越过长城，通向世界”，揭开了中国人使用Internet的序幕，标志着中国迈入互联网时代。至今，信息化技术已日渐成熟，众多行业都有一定的信息化需求，而数学与计算机的交叉学科更是受到社会的广泛关注。虽然，基础数学是现代科学研究发展的基石，丘成桐院士也曾针对数学人才的培养目标，指出基础科学的基础是基础数学，政府应当将目标从短期的经济效益，转变为长远培养一流的基础数学人才。但同时，丘院士也表明，不是所有的年轻人都符合条件，需要集中精力培养一批特别有才华、又对数学有浓厚兴趣的年轻人。针对这一状况，普通高校数学专业的发展，更应立足于应用数学等方向的二级学科。

2.2 教学方法探讨

“高等代数”的教学存在两个重要且严肃的问题：（1）“高等代数”的学习对生活有着什么实际意义。（2）如何能够教好“高等代数”课程，让学生愿意学、喜欢学。针对上述两个问题，众多专家、教师深入一线教学并实践教学，给出了许多不同的答案。

部分教师倾向于传统教学方法，沿袭中学数学的学习模式，通过大量习题作业帮助学生巩固知识。其初衷是将学习的重心放在应试上，如果学生存在不理解的概念、定理等内容，若不影响题目的解答，教师便选择忽略。然而，“高等代数”作为高校数学专业的必修课科目，其难度大、内容多、授课时间短，很难做到新授课为辅、习题课为主的教学模式，且解题思路更加多元化，并非中学时期的“套路”模式，很多学生出现不理解知识点就无法形成体系，无法形成体系就难以联系先验知识解题的情况。

对此，有学者提出必须要给学生讲解抽象概念和严谨证明，针对学生难以理解的情况，可以通过构造反例来加以解决。数学学科具有严谨性，验证一个命题的正确性需要给出严格的证明，可是验证一个命题是错误的，仅仅需要构造反例［4］。“高等代数”的课堂教学中，列举具体的反例可以帮助学生解决许多抽象的数学问题。比如：判断一个对应关系是不是映射、一个变换是不是线性变换等问题，要证明不是，只要部分定义不满足条件即可证明，往往数值代入法是一个简单恰当的证明方法。确实，反例法体现了逆向思维的运用，可以与正向思维进行互补，搭建桥梁，简化问题难度，加深概念理解，强化学生信心，促进课堂氛围。

然而，反例法只是在教学方法中进行改善，适当减轻学生证明方面的压力，让学生愿意去学。要想让学生喜欢学习“高等代数”课程，教师必须从根本出发，深化教学改革，融入恰当的学科知识，做到让学生懂这门学科的现实意义。只有把抽象的概念转化成直观可见的内容，把枯燥难解的定理运用到生活，才能真正让学生喜欢学。事实上，解决本节提出的第二个问题只需要解决第一个问题便可水到渠成。

2.3 学生问卷反馈

针对“高等代数”怎么教学才能更受学生欢迎的问题，学生给出的答案比教师更有说服力。通过对连云港师范高等专科学校2020、2021、2022届小学数学教育（师范类）学生进行问卷调查（200名学生参与），其中，85%的学生认为高等代数是一门越学越难的学科，认可度最高的理由是课程知识从直观的计算过渡到各种线性抽象概念的理解。作为一门只在大一教学的专业课程，60%的同学认为真正学好“高等代数”这一门课程却是在大二甚至大三，理由主要是学习过后续其他课程才更清晰“高等代数”的现实意义，只有面对转本考试的压力才有学习“高等代数”的动力。

3 教学案例分析

通过问卷调查，发现学生更喜欢直观可见的数学知识，且很多学生具有明确的学习性——为用而学。对此，考虑将数字图像融入“高等代数”课程教学［5］中，用图像联系代数知识，用图像吸引学生学习兴趣。

3.1 教学案例

在高等代数线性变换的定义教学中，定义的给定非常简单。但如何用定义判断一个变换是否为线性变换，尤其与线性空间的同构进行对比时，不少学生容易出现混淆。为解决这一问题，帮助学生从概念上真正理解，可将数学矩阵用图像适当引入。

案例1：把V（实数域上n维向量空间）中每一向量绕坐标原点旋转θ角，就是一个线性变换。已知旋转角，对应旋转矩阵为：

cosθ-sinθ

sinθcosθ

一个向量可以看作是一个n阶行矩阵或者n阶列矩阵，而矩阵在计算机语言中可以看作一个图像，这一点在“高等代数”的课程中却很少会提及。本文结合MATLAB，将案例1的向量线性变换用图像表示，如下图所示。

其中，A表示原始图像，B表示将原始图片逆时针旋转45°，C表示将原始图片顺时针旋转45°。

案例2：对于实现图像去噪、去模糊、分割等程序，其中数值求解的部分往往需要结合矩阵来推导数学算法。在课堂教学中，可以强调高等代数中Cramer法则和Laplace算法等重要性。同时适当普及数字图像中卷积的相关知识，并用程序实现图像，通过对图像和矩阵数表的观察，帮助学生了解“高等代数”在数字图像的重要地位。

事实上，“高等代数”中矩阵的初等变换以及课程中许多的线性性质都可以用图像来实现。由于在MATLAB中，彩色图像可以进行通道分解，每个通道对应的灰色图像都有相应的数值，将其进行0—1分布，矩阵中的每一个数值便可以对应黑白颜色，即从图像的变化中也可以间接反映数字变化的大致结果。

3.2 效果分析与思考

相比于传统“高等代数”课程的教学模式，结合数字图像融入课程教学有着显著优势。通过图像，学生可以直观感受“高等代数”在现实社会中的存在价值，并增强学习兴趣，同时能够更好地理解“行列式是一个数值，矩阵是一个数表”这句话的意义。而实现这一效果，需要编写的计算机程序相对较少，不必担心学生的基础薄弱。

通过与代课班级的学生交流，学生对新教学模式的感觉良好，不仅对抽象的代数概念有了更鲜明的了解，更有个别学生对数字图像产生了一定的兴趣，课后会从线上平台观看相关的课程视频。当然，教学模式的转变也是一把双刃剑，在“高等代数”中融入数字图像知识，虽然可以丰富课程内容，但仍有几个问题需要考虑：

（1）新教学模式对师生的要求更高。教师需要有扎实的学术功底，对任教课程以及融合课程［67］都相当熟悉；学生也需要具备一定的创新思维和发散思维，勇于突破，不能局限于教什么学什么的状态。

（2）教材是学生学习知识的重要材料，其编写具有规范、严谨的特征。而《高等代数》包含大量的定义、定理、数字符号，证明推导的内容相对枯燥繁多，书本上的实例又往往需要结合一定的理论知识，存在例题陈旧、跟不上时代发展等情况，需要教师适当把控改进。

（3）不是所有的“高等代数”课程都可以或适合融入数字图像。数字图像只是一个巧妙的手段，辅助学生学习、理解“高等代数”课程。考虑“高等代数”课程在大一开设的缘故，其初衷永远让学生是学懂、学好当下专业课程，同时为部分希望研究数学的学生提供一定的方向，因此，有合适的其他课程也可以融入教学。

（4）新模式教学要有一定的适应周期，教师必须综合所有因素（尤其学生情况）考虑是否开展或者如何把握数字图像知识融入的度。

3.3 结合课程思政和劳动教育

新时代教学发展，离不开课程思政和劳动教育的主题［8］。“高等代数”作为一门数学课程，与生活紧密联系，课程思政和劳动教育两大元素可以自然地融入。

案例3：“高等代数”有一节介绍集合与映射的预备知识，集合与映射这两个概念非常有趣，体现了动静结合的思想。五育并举，即德、智、体、美、劳全面发展。通常，教室的智育学习和户外的体育学习体现了一静、一动，而集合体现了静态关系（集合的元素具有确定性）；映射体现了动态特征（映射是一种对应法则）；将集合的元素进行映射（动静结合）。

映射，有单射、满射、双射、非单非满四种类型。对于社会而言，人才亦如此。每个人竞选工作岗位，实现“满射”，而且是非双射的满射，代表获取心仪的工作。

结语

在信息化发展的时代背景下，“高等代数”的课程教学也需要与时俱进。本文将矩阵与图像相联系，论述了数字图像融入“高等代数”课程教学模式的实践探索。针对高等代数概念抽象难以理解等问题，设计精巧适当的教学案例予以輔助，重视知识的与社会实践相结合，旨在激发学生的学习兴趣，提升创新能力。

参考文献：

［1］李庆.高等代数课程教学内容与教学模式创新的研究与实践［J］.科技风，2021，458（18）：6465.

［2］高瑞梅，吕堂红，代群.理工类高校高等代数课程教学模式的改革［J］.学园，2023，16（08）：6365.

［3］李萍，李修昌.信息技术与“高等代数”课堂教学的融合发展［J］.教书育人（高教论坛），2022，790（24）：8184.

［4］杜玉坤.浅谈反例在“高等代数”教学中的作用［J］.科教文汇（下旬刊），2020（30）：7273.

［5］李登辉，王岩红.独立学院数字图像处理课程教学改革实践——以桂林电子科技大学信息科技学院为例［J］.大学教育，2018，96（6）：99101.

［6］张广亮，黄凤英，陈艳美.数学专业高等代数课程混合教学模式改革与探索［J］.新课程教学（电子版），2021，110（02）：178180.

［7］董可荣，沙旭东.高等代数与解析几何的穿插与渗透教学［J］.高师理科学刊，2020，40（11）：101105.

［8］张俊忠，韦维.基于课程思政的高等代数教学研究［J］.西南师范大学学报（自然科学版），2022，47（10）：117124.

作者简介：杨天骥（1997— ），男，汉族，江苏连云港人，硕士研究生，助教，研究方向：代数学、图像处理等。