立足物理观念 妙思估算问题

■浙江省桐乡第一中学 李 鑫

在新课标背景下，联系实际问题出现的频次越来越高，涉及数值计算或估算的问题也越来越多，下面从处理方法的角度讨论此类问题，并从物理观念和科学思维层面出发，剖析数值计算和估算问题的求解策略，供同学们参考。

一、方法与策略

1.重估轻算。

例1(2018·浙江)杭州市正将主干道上的部分高压钠灯换成LED 灯，已知高压钠灯的功率为400 W，LED 灯的功率为180 W，若更换4 000盏，则一个月可节约的电能约为( )。

A.9×102kW·h

B.3×105kW·h

C.6×105kW·h

D.1×1012kW·h

解析:将4 000 盏高压钠灯换成LED灯，每天可节约的电能约为(400-180)W×4 000×10 h=8.8×106W·h，故一个月可节约的电能约为8.8×106W·h×30=2.64×108W·h≈3×105kW·h。

答案:B

评价：此类型问题并非第一次出现在浙江省高考卷中，源头可以追溯到2012年LED灯取代白炽灯背景下估算全国一年可节约多少电能的经典问题。本题相对于2012 年的那道估算题要简单一些，因为不需要估算全国有多少亿户。求解本题的核心在于知道灯在一天中只亮10小时左右，而不是24小时。本题的数值计算难度很小，重点在于根据实际情况进行估值，即重心在估不在算。

2.算估技巧。

例2(2021·全国甲卷)2021 年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”探测器的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )。

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

解析:设火星半径为R，火星表面处自由落体的加速度为g，根据，解得近火卫星的周期。设“天问一号”探测器的椭圆形停泊轨道的半长轴为a，根据开普勒第三定律得，整理得，其中g=3.7 m/s2，T=1.8×105s，R=3.4×106m，解得，因此107m＜a＜108m。近火点和远火点距离之和等于椭圆形停泊轨道的长轴，因为近火点距离约为2.8×105m，所以远火点距离约为6×107m。

答案:C

评价：本题是借他山之石来考查万有引力相关问题，需要学生熟练掌握万有引力定律、万有引力和重力的关系，以及开普勒第三定律，并且需要采用合理的估算方法，具备娴熟的数值计算能力。本题的解法有很多，上述解法相对来说可以节约时间。处理数值计算问题时，第一是要先得出目标物理量函数关系再计算数值，而不要列一个关系式就解出一个中间结果，这样不仅使得计算成本提高，而且容易因为每一步计算的四舍五入导致最终结果谬以千里；第二是要掌握必要的估算技巧，上述解答过程中，将3.7和4相抵消，将3.4与π相抵消，是一种近似处理，而且将半长轴a的结果取在一个区间内，并不得出精确的数值，完全不影响选出正确答案。估算的一些数学技巧是需要同学们在平时的学习与训练中长期积累的，浙江高考题曾经两次考查小量计算，其中（1+x）n=1+nx在x远小于1 时成立，这种近似处理方法在求解天体物理估算问题时也有妙用。比如估算在距离地球表面300 km 圆形轨道上运行的环绕卫星的加速度，可以利用牛顿第二定律和万有引力定律得出，利用得出。

3.先估后算。

例3太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运行的轨道半径如表1所示，则相邻两次“行星冲日”的时间间隔约为( )。

表1

A.火星365天 B.火星800天

C.天王星365天 D.天王星800天

解析:设相邻两次“行星冲日”的时间间隔为t，则，解得。根据开普勒第三定律得，因此。又有T地≈365天，根据表1 中的数据得t火≈800 天，t天≈369天。

答案:B

评价：本题取材于教材必修第二册第七章第48页练习与应用的第1个习题，表格中的数据都来自教材。本题考查的“行星冲日”问题与以往注重物理过程分析的“行星冲日”问题不同，本题融入了数值计算，加大了难度。事实上，求解本题棘手的不是列出方程，而是数值计算，有的考生甚至会用泰勒展开来降低运算的复杂程度。然而本题命题专家的立意并不在于数值计算，而重在考查物理观念。因为地球仍在自转，所以“行星冲日”的时间间隔一定比365 天大，可排除选项A和C；因为地球与火星的轨道半径相差不大，地球和天王星的轨道半径相差较大，所以通过简单估算就可以从选项B 和D 中选出正确答案。

二、核心素养视角下的数量级计算和估算问题

1.立足物理观念，突出数量级意识。

例4土星最大的卫星叫“泰坦”，它每16天绕土星运行一周，它绕土星运行的轨道半径约为1.2×106km。已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，则土星的质量约为( )。

A.5×1017kg B.5×1026kg

C.7×1033kg D.4×1036kg

解析:根据万有引力定律得，解得，代入数据计算得。

答案:B

评价：本题从物理知识角度出发，是一道非常简单的试题，仅仅考查万有引力和向心力的数量关系。但是如果考生处理繁杂数值的计算能力较弱，且对“泰坦”绕土星运行的周期为16天这一条件使用不当（没有将其转换为国际单位），那么就会选错答案。仔细观察本题的选项设计可以发现，数量级差异很大，也就是说考生只要列对了表达式，并具备科学记数法的表达习惯，就不难得出正确结果。另外，考生如果能够知道地球的质量约为1024kg，太阳的质量约为1030kg，那么根本不用进行复杂的物理分析与数值运算，就可以直接把正确答案选出来。

素养漫谈:物理观念是学科核心素养的首要方面，认知数量级是确立物质观念、运动与相互作用观念、能量观念的立足点。小到原子或原子核尺寸的数量级，核子间强相互作用或分子间相互作用的数量级，大到行星、恒星质量的数量级，宇宙间时空尺度的数量级，同学们都应有一定的了解。对于学有余力者，还应该掌握更多物理参数的数量级，比如普朗克时间，天体物理中的天文单位、光年、地月平均距离、地日平均距离等常数。

例5太阳辐射的总功率约为4×1026W，其辐射的能量来自太阳内部的核聚变反应。在核聚变反应中，一个质量为1 876.1 MeV/c2(c为真空中的光速)的氘核和一个质量为2 809.5 MeV/c2的氚核结合为一个质量为3 728.4 MeV/c2的氦核，并放出一个X 粒子，同时释放大约17.6 MeV 的能量。下列说法中正确的是( )。

A.X 粒子是质子

B.X 粒子的质量为939.6 MeV/c2

C.太阳每秒因为辐射损失的质量约为4.4×109kg

D.太阳每秒因为辐射损失的质量约为17.6 MeV/c2

解析:根据质量数和电荷数守恒可知，X粒子的质量数为1，电荷数为0，则X 粒子为中子，选项A 错误。根据能量关系得mnc2=(1 876.1+2 809.5)MeV-3 728.4 MeV-17.6 MeV，解得mn=939.6 MeV/c2，选项B正确。太阳每秒辐射出的能量E=Pt=4×1026J，因为辐射损失的质量，选项C 正确。因为，所以太阳每秒因为辐射损失的质量，选项D错误。

答案:BC

评价：本题考查核聚变反应，要求考生能够应用爱因斯坦质能方程并结合题目给出的能量信息综合解决问题。可以直接排除的是选项D，因为只需简单估算，就可以发现选项D 中质量为17.6 MeV/c2的物质所辐射的能量微乎其微，显然不符合实际；本题难度最大的是对选项C 的判断，计算太阳每秒因为辐射损失的质量的分析与求解过程并不复杂，如果同学们在拥有扎实的数值计算能力的基础上，还具备数量级意识，知晓太阳每秒因辐射而减小的质量约为109kg这一天体物理参数，那么对于判断选项C 的正误而言无疑是如虎添翼的。

2.基于科学思维，彰显常识性建模。

例6已知普朗克常量h=6.63×10-34J·s，电子的质量为9.11×10-31kg，一个电子和一滴直径约为4μm 的油滴具有相同动能，则电子与油滴的德布罗意波长之比的数量级为( )。

A.10-8B.106

C.108D.1016

解析:根据得，所以。油滴的质量，代入数据计算得。

答案:C

评价：从建模角度来说，本题将常见的油滴和常“见”但不曾见过的电子进行对比，在模型建构上颇有新意。本题考查学生应用数学解决物理问题的能力，需要学生先综合应用物理关系提炼出最重要的数学关系，即德布罗意波长与质量的二次方根成反比，再挖掘出油滴的密度这一隐藏条件，估算出油滴的质量，进而求得。

素养漫谈:无论是哪个省市使用的高考试卷，对科学思维的考查一定是所有学科核心素养中颇受青睐的。相对于其他省市使用的高考试卷，浙江省高考物理试卷对科学思维中的科学推理的要求要略低一点，但对基于真实情境的模型建构能力要求很高。本题就是一道综合模型建构、数值计算和估算的问题，考生需要突破题设描述，大胆结合自己的生活实际，构建油滴的球体模型，知道油的密度，结合球体的体积公式，求出油滴的质量，进而计算出最终结果。

3.强调科学探究，凸显证据和解释。

例7如图1所示，照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，已知图中双向四车道的总宽度约为16 m，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.8倍，则下列关于做匀速圆周运动的汽车的说法中正确的是( )。

图1

A.汽车所受的合力可能为零

B.汽车只受重力和地面的支持力作用

C.汽车的最大速度不能超过25 m/s

D.汽车做匀速圆周运动所需的向心力由重力和支持力的合力提供

解析:根据图中双向四车道的总宽度约为16 m，需要能够动眼(观察)+动手(测量)得出准确的可用信息，注意不能用近处的道路宽度去估算汽车做匀速圆周运动的半径，因为这段道路在照片中失真明显，而要用远端的道路去估计。汽车在水平路面上做匀速圆周运动，受到重力、支持力和摩擦力的作用，其中重力和支持力是一对平衡力，向心力由摩擦力提供，选项A、B、D 错误。根据向心力公式得，解得，结合图测数据可知，远端半径大约是道路宽度的5倍，即汽车做匀速圆周运动的半径r=80 m，将r=80 m，μ=0.8，g=10 m/s2代入解得v=25 m/s，选项C正确。

答案:C

评价：本题是一道非常经典的根据实际模型估算的问题，从某种意义上可以说是无数据估算题，需要考生主动剖析照片找寻证据，采撷照片中的信息加以组合利用才能完成求解。本题题意十分新颖，对考生科学探究能力的要求颇高。

例8在一水平桌面上，一个白球以一定的初速度与一个静止的黑球发生碰撞，已知两球的质量相等。观察者拍下的两球碰撞过程的频闪照片如图2所示，据此图可推断，碰撞过程中由两球组成的系统损失的动能约占碰撞前系统动能的( )。

图2

A.30% B.50%

C.70% D.90%

解析:两球碰撞过程中频闪的时间间隔t相同，球的运动速度。观察频闪照片可以发现，相同时间内，白球碰撞前与碰撞后的位移之比约为5∶3，则其速度之比为5∶3，白球碰撞后与黑球碰撞后的位移之比约为1∶1，则两球的速度之比约为1∶1。因为球的动能，两球的质量相等，所以碰撞过程中由两球组成的系统损失的动能为碰撞前白球的动能减去碰撞后系统的动能，求解碰撞过程中系统损失的动能与碰撞前系统动能的比值时，两球的质量可以约去，得到比例式。

答案:A

素养漫谈:强调科学探究、解构情境类问题对考生模型建构能力的要求较高。求解这类问题，需要考生根据实际情境综合处理，估算中估的占比更多了，而且估的方法不是演算技巧，而是要动手去测绘，或者依据实际情况来估计，从实际情境中寻找证据，在形成证据链中匹配物理观念完成解释。求解这类问题，考生还需要具有创造性想法，这对检验考生的学科核心素养的底色是卓有成效的。