高静水压力下Mohr–Coulomb准则的拓展研究1)

王宏伟 * 李宗洋 * 秦 舒 *,** 陶志刚 杨 柳

*(中国矿业大学（北京）力学与土木工程学院，北京 100083)

†(中国矿业大学（北京）隧道工程灾变防控与智能建养全国重点实验室，北京 100083)

**(北京市建设工程质量第一检测所有限责任公司，北京 100039)

随着隧道、水利水电、采矿等岩土工程向深部和极端地质环境发展，岩爆和冲击地压等动力灾害现象愈发频繁[1-2]。在极端环境下，由于深部地下原岩的复杂应力环境以及当前所研究的防治手段约束有限等因素，致使高地应力、强扰动等地质力学环境给深部工程造成严重威胁[3-4]。在隧道工程中，岩爆一般发生在高埋深且地质结构复杂的岩体中。例如，位于大相岭老二郎山公路隧道，其最大埋深约770 m，在其施工过程中发生了岩爆现象；位于秦岭褶皱断裂带的秦岭铁路隧道，其深埋段达到700～1600 m，其施工过程中也发生了岩爆灾害现象[5]；同样，在水利水电工程中也面临着深部岩体变形特性引发的灾害现象。例如，地处我国西南高地应力区的锦屏二级水电站引水隧洞工程目前测得的最大主应力值已近90 MPa，最大埋深约为2525 m，由于埋深大、地质结构复杂，在施工过程中发生了大量岩爆事故，造成了人员伤亡和设备损失[6-8]；引汉济渭工程在施工过程中，由于隧洞埋深大、地应力高、岩石完整性好，也多次发生岩爆，对全断面隧道掘进机设备造成较大损坏[9]；陕煤集团彬长矿业公司胡家河矿某工作面因冲击地压发生局部冒顶事故，造成人员伤亡，该工作面采掘深约640 m，工作面顶板硬，埋深大，所处环境地应力高，属于深部煤矿发生煤岩体瞬间破坏并释放大量能量造成的工程事故[10]。此外，正在建设中的白鹤滩水电站、川藏铁路工程也因其工程所面临的高地应力等复杂地质环境，在埋深高的施工段也出现过岩爆灾害现象[11]。

由于高应力在深部工程施工过程中造成的高危害，高应力相关的研究成为岩石力学问题的重难点。近年来，许多学者对高应力相关的研究均给予了很大的关注。谢和平等[12]提出随着埋深增加，原岩应力趋于静水压力状态是典型的深部应力特征，具体表现为随着煤炭开采深度的增加，地应力水平不断增长，地应力状态由浅部构造应力主导逐渐向较深部的两向等压应力状态和超深部的三向等压应力状态转变；康红普等[13-15]认为地应力值总体上随埋深增加而增大，深部岩体趋于三向等压应力状态，并提出深部巷道原岩应力高，特别是千米深井巷道，原岩应力甚至超过煤岩体强度，巷道掘出后就产生大变形，受到采动影响后围岩变形更加剧烈；何满潮等[16]提出随着开采深度的增加，岩石破坏机理也随之转化，由浅部的脆性能或断裂韧度控制的破坏转化为深部开采条件下由侧向应力控制的断裂生长破坏；钱七虎等[17]认为深部岩体分区破裂化现象和规律是一个与空间、时间效应密切相关的现象，并提出了分区破裂化的影响因素中应该考虑巷道洞室开挖的速度（卸荷速度）；李文洲等[18]指出煤岩体内部节理、层理、裂隙等结构面很大程度上决定着煤岩体的强度和变形特征，受高应力、采动等因素影响，深部煤岩体内部裂隙经历变形启动、扩张、贯通，形成裂隙网络，最终导致煤岩体发生变形破坏；Hoek 等[19]提出在高应力状态下，岩石的破坏既有可能是脆性破坏也有可能是延性破坏，其破坏特性与岩石受力状态有关。

综上，处于深部环境中的岩石破坏机理往往更加错综复杂。岩爆、冲击地压等动力灾害均为处于三向等压的高应力状态岩石突然发生了剧烈的破坏，而引起岩石发生破坏的原因与开采扰动、卸荷速度、岩体节理、裂隙以及岩石力学性质等有关。但是，当出现高应力状态时，现有Mohr–Coulomb 准则（简称M–C 准则）只能判断岩石在压差较大时的屈服和破坏，无法准确判断在高静水压力下岩石材料的屈服和破坏。为了能够继续采用M–C 准则进行屈服判断，对高静水压力状态下的M–C 准则进行修正具有很大的必要性。因此，本文首先开展了高静水压力下的岩样三轴压缩实验，发现了岩样在三向接近等压的高静水压力状态下仍然会发生破坏，并在实验基础上拓展了高静水压力下的M–C 准则方程。最后，本文分别探究了低静水压力下M–C 屈服面的下限和高静水压力下M–C 屈服面的上限。拓展后的M–C 准则不仅可以判断岩石在轴压和围压之差较大时的屈服破坏，也能够预测岩石在高静水压力时的力学性能。本文的研究可为当前深部开采和极端应力环境下解决岩爆和冲击地压等工程问题提供参考。

1 高应力条件下的三轴压缩实验

1.1 实验方案

在实际工程中，深部岩石处于三向接近等压的高静水压力状态时，也会出现由于施工扰动或者裂隙赋存等因素引发的岩石破坏，甚至诱发岩爆和冲击地压等动力灾害。本文通过三轴实验机对岩石标准样施加三向接近等压的高静水压力，观察其破坏现象，探究深部岩石的破坏规律。

本文实验中制作的试件取自北京昊华能源大台煤矿，取样埋深800 m，样品尺寸50 mm×100 mm，如图1 所示。实验在中国矿业大学（北京）深部岩土力学与地下工程国家重点实验室的深部T-P 耦合三轴压缩实验机上完成，如图2 所示。该实验机轴压加载极限值为2000 kN，围压加载极限值为100 MPa，其正常使用时加载值约为加载极限值的70%。

图1 岩样成品Fig.1 The rock samples

图2 深部T-P 耦合三轴压缩实验机Fig.2 Deep T-P coupling triaxial compression test machine

考虑到需要探究岩样从低应力到高应力各应力阶段发生破坏的实验规律。如图3 和表1 所示，实验设计了6 种轴压和围压之差，对试件设置不同的应力加载路径，启动实验加载装置直至岩样发生破坏。

表1 不同压差条件下各试件的实验方案及结果Table 1 Experimental scheme and results of each specimen under different pressure differential conditions

图3 三轴实验方案Fig.3 Triaxial experimental scheme

1.2 实验结果

由于实验过程中存在各种不可控因素，导致实验结果与实验方案设计有偏差。实验中共采用3 种应力加载路径，其中试件1 采用加载路径1，即加载轴压，无围压，直至试件破坏；试件2 和试件3 采用加载路径2，即轴压围压同时加至围压预设值，保持围压不变，持续加载轴压，直至试件破坏；试件4，试件5 和试件6 采用加载路径3，即先加载轴压，达到预设压差值，再同时加载轴压与围压，直至试件破坏。

实验过程中各试件的轴向应力–应变曲线，如图4 所示。各试件在不同压差条件下的实验结果如表1 所示，其中P1表示试件发生破坏时的轴压值，P2表示试件发生破坏时的围压值，P3表示试件发生破坏时轴压与围压的压差值。

图4 各试件轴向应力–应变曲线Fig.4 Axial stress–strain curves of each specimen

根据实验结果绘制岩样破坏时的应力莫尔圆，并拟合出包络线来探究高静水压力下岩石的破坏规律，如图5 所示。

图5 三轴实验结果Fig.5 Results of triaxial experiment

观察图5 可知，三轴压缩实验不仅得到岩样在轴压和围压之差较大时的破坏，也得到了多组岩样在三向接近等压的高静水压力时的破坏结果。与现有M–C 准则中材料剪切强度随着轴压和围压之差增大而增大的规律不同，实验结果显示，随着压差的减小，在三向接近等压的高静水压力状态下，岩样发生破坏时的应力莫尔圆包络线表现出材料剪切强度随着轴压和围压之差增大到某一峰值时会逐渐减小。因此，现有M–C 准则无法判断岩石在高静水压力时的破坏结果，亟待将现有M–C 准则拓展到高静水压力时仍然有效。本文基于三轴实验规律对高静水压力下M–C 准则展开拓展探究。

2 M–C 准则的拓展

2.1 M–C 准则拓展方程的建立

基于实验结果，岩样发生破坏时的应力莫尔圆包络线表现出材料剪切强度随着轴压和围压之差增大到某一峰值时会逐渐减小的规律，结合考虑处于高应力状态下岩石错综复杂的破坏机理，绘制出高静水压力下的M–C 准则的一种存在形式，如图6 所示。

图6 高静水压力下的M–C 准则Fig.6 M–C criterion under high hydrostatic pressure

设图6 中BC段任意一点的倾斜角为φ0，其物理意义是本文引入的修正内摩擦角。由此建立了高静水压力下的M–C 准则的基本方程

式中，τn表示材料的剪切强度；σn表示材料剪切面上的正应力；σb表示峰值B点的正应力值；φ表示岩石材料的内摩擦角；C表示岩石材料的黏聚力。

对于修正内摩擦角φ0，本文从以下三方面阐述其物理意义。

（1）高静水压力下的M–C 准则是在现有M–C 准则的基础上建立的，因此BC段倾斜角应该是在AB段倾斜角（岩石的内摩擦角）的基础上建立的。

（2）岩石在高应力状态下破坏机理错综复杂，需考虑修正内摩擦角φ0是正应力σn的函数，并存在随着σn的增大，φ0呈现非线性变化的规律。

（3）为了将峰值B点前后包络线衔接，考虑到高静水压力下M–C 包络线在B点的倾斜角为0，而对数函数恒过（1，0）点，故修正内摩擦角φ0和正应力σn的函数关系可利用对数函数的形式来建立。

综上讨论，确定修正内摩擦角φ0的表达式为

式中，a表示对数函数中的底数，其具体取值与岩石的类型及其力学性质有关，需由具体的实验确定。

2.2 M–C 准则拓展方程的不同应力表达形式

基于建立的高静水压力下的M–C 准则的基本方程，进一步推导该拓展方程的不同应力表达形式。根据图6 中的BC段应力莫尔圆的几何关系，可得在高静水压力下岩石材料剪切面上的正应力及其剪切强度的表达式为

式中，σm为平均应力，S1和S3分别为第一、第三主偏应力。

2.3 实验结果与M–C 准则拓展方程对比分析

观察图5 中已有的实验数据，可以得到在高静水压力状态下，岩石材料剪切强度随着轴压和围压之差增大到某一峰值时会逐渐减小的规律。但是鉴于实验的整组应力莫尔圆不够充分的情况，本文引用了现有文献中的三轴试验数据[20-21]，将本文实验数据与现有文献数据整合，如表2 所示。

表2 整合后的实验数据Table 2 The experimental data after integration

根据表2 的实验数据，得到该组岩样的单轴抗压强度为7.73 MPa，并计算出其内摩擦角为20°，黏聚力为2.69 MPa，最后根据该表中的数据绘制出该组岩样的应力莫尔圆如图7 所示。

图7 整合数据的莫尔应力圆及其包络线Fig.7 Mohr stress circles and envelope of integrated data

由图7 可以看出该组岩样剪切强度在正应力σn约为18.95 MPa 时达到峰值。在峰值前的低静水压力下采用现有M–C 准则，而在峰值后的高静水压力阶段，采用本文中M–C 准则拓展方程，最终绘制出该组应力莫尔圆所对应的包络线。由图7 可以看出，所建立的高静水压力下的M–C准则能够较好地包络岩样中各应力莫尔圆，经多次调试，发现当式（2）中的参数a取值为3.34时，该组岩样的包络线拟合效果最好。

3 M–C 屈服面的范围

3.1 M–C 屈服面的下限

根据现有M–C 准则的主应力公式，结合主偏应力与主应力之间的关系，可推导得出其主偏应力方程为

式中，S2为第二主偏应力。

其次，根据主应力空间的应力状态矢在平面坐标系xoy上的投影关系可得

基于式（8）的推算过程，结合平面坐标系中各屈服曲线之间的几何关系，建立得到平面坐标系下M–C 屈服曲线其他各线段的方程表达式。

为了进一步了解低静水压力下M–C 屈服面的规律，将各屈服曲线方程表达式中各力学参数取值为本文中三轴实验数据，研究低静水压力下M–C 屈服面随着静水压力的变化情况。当静水压力分别取–6 MPa，–3 MPa，0 MPa，3 MPa，6 MPa 时，对应的M–C 屈服面如图8 所示，图中，σ1′，σ2′，σ3′分别为第一、第二、第三主应力在π平面上的投影。

图8 低静水压力下的M–C 屈服面Fig.8 M–C yield surfaces under low hydrostatic pressure

由图8 可以发现M–C 屈服面随着静水压力的减小而逐渐收缩的变化趋势。由此推断若静水压力继续减小，则M–C 屈服面最终将收缩为一点，此时参数a=b=0，可以得到对于任意黏聚力和内摩擦角，在低静水压力下M–C 屈服面达到下限时的静水压力为

由式（9）得到，低静水压力下M–C 屈服面达到下限时的静水压力值与材料的黏聚力和内摩擦角有关。进一步探究低静水压力分别与材料的黏聚力和内摩擦角之间关系变化规律，如图9 和图10 所示。

图9 低静水压力与内摩擦角之间的关系Fig.9 Relationship between low hydrostatic pressure and internal friction angle

图10 低静水压力与黏聚力之间的关系Fig.10 Relationship between low hydrostatic pressure and cohesion

由图9 和图10 可以得到，低静水压力下M–C屈服面的下限会随着内摩擦角的增大而沿着等倾线向上发展，随着黏聚力的增大而沿着等倾线向下发展。当式（9）中力学参数取值为本文三轴实验数据时，得到图8 中屈服面趋于一点时的静水压力σm≈–7.39 MPa。

3.2 M–C 屈服面的上限

类比M–C 屈服面的下限的主应力空间中π平面上屈服曲线的求导过程，将式（7）代入式（5），再结合各屈服曲线之间的几何关系，可得到主应力空间中 π 平面上高静水压力下M–C屈服曲线各段的方程表达式。

为了得到高静水压力下M–C 屈服面的变化规律，可以类比M–C 屈服面的下限探究过程。将黏聚力、内摩擦角以及剪应力峰值对应的正应力值取值为本文中三轴实验数据，并在高应力条件下对岩石的正应力取30 MPa，35 MPa，40 MPa，45 MPa，50 MPa 不同值，得到式（5）中修正内摩擦角等其他力学参数的取值。将高静水压力下各力学参数取值进行整理，绘制出高静水压力下M–C 的屈服面，如图11 所示。

图11 高静水压力下的M–C 屈服面Fig.11 M–C yield surfaces under high hydrostatic pressure

由图11 可以看出，高静水压力下的M–C 屈服面会随着静水压力的增大反而收缩变小，甚至出现当静水压力持续增大，屈服面有收缩于一点的趋势。因此，将 π 平面上高静水压力下的M–C屈服面取极限，整理得到高静水压力下M–C屈服面达到上限时的静水压力表达式

从式（10）中可以看出该上限不仅与岩石剪切强度峰值所对应的正应力值有关，即与该峰值位置有关，还与岩石材料的黏聚力、内摩擦角以及引入的修正内摩擦角等力学参数有关。基于本文三轴实验数据，进一步探究高静水压力分别与材料的黏聚力和内摩擦角之间关系变化规律，如图12和图13 所示。

图12 高静水压力与内摩擦角之间的关系Fig.12 Relationship between high static water pressure and internal friction angle

图13 高静水压力与黏聚力之间的关系Fig.13 Relationship between high hydrostatic pressure and cohesion

由图12 和图13 可以得到，高静水压力下M–C屈服面的下限会随着内摩擦角的增大而沿着等倾线向下发展，随着黏聚力的增大而沿着等倾线向上发展。

根据文中对静水压力下M–C 屈服面的上限和下限的探讨，结合三轴实验数据，其中对于高静水压力阶段中最小压差试件之后的静水压力阶段用虚线表示，在主应力空间中绘制出相应的M–C 屈服面及其拓展，如图14 所示。

图14 主应力空间中的M–C 屈服面及其拓展Fig.14 M–C yield surface and developed in principal stress space

4 结论

本文对高静水压力下岩石的M–C 准则进行了拓展研究，主要结论如下。

(1) 三轴压缩试验不仅观测到了岩样在轴压和围压之差较大时的破坏，也得到了多组岩样在三向接近等压的高静水压力时的破坏结果。随着压差的减小，岩样发生破坏时的应力莫尔圆包络线显示，在高静水压力状态下，材料剪切强度随着轴压和围压之差增大到某一峰值时会逐渐减小。

(2) 建立了高静水压力下M–C 准则的拓展方程，结果显示，高静水压力下的M–C 准则拓展方程能够较好地包络整组应力莫尔圆，并呈现出材料剪切强度随着轴压和围压之差增大到某一峰值时会逐渐减小，理论推导与实验结果基本吻合。

(3) 低静水压力下M–C 屈服面的下限和高静水压力下M–C 屈服面的上限研究结果表明，低静水压力下M–C 屈服面的下限会随着内摩擦角的增大而沿着等倾线向上发展，随着黏聚力的增大而沿着等倾线向下发展；高静水压力下的M–C 屈服面的上限不仅与岩石材料的内摩擦角、黏聚力有关，还与岩石材料剪切强度峰值位置以及修正内摩擦角等力学参数有关。