应用旋转矢量法定量分析单缝衍射的衍射图样

杨文明

(山东省烟台第三中学)

人教版高中物理教材定量分析了光的双缝干涉条纹特征,而对于单缝衍射问题,教材未定量展开,但这并不妨碍高中生对定量探究单缝衍射图样心生好奇。新课标注重提高全体学生的科学素养,本文介绍旋转矢量法,讨论如何应用旋转矢量法定量分析单缝衍射的衍射图样,培养学生应用数学知识解决物理问题的能力,加深对光的衍射规律本质的理解,引导学生知其然,更知其所以然。

生活中有很多光的衍射现象:早晨或傍晚,透过羽毛看太阳,可以看到彩色的太阳光如图1(a);黑夜里,打开手机闪光灯后拍摄光盘,可以看到漂亮的光圈;如图1(b)在激光光束的传播路径上,放置一个直径略微小于光束直径的小钢球,在小钢球后方,光束阴影的中央出现一个亮斑,如图1(c)。这些都是光的衍射现象,反映了光的波动性。

图(a)透过羽毛看太阳,看到彩色的光

光绕过障碍物偏离直线传播的现象即是光的衍射。“衍”字的本意是什么呢?

甲骨文“衍”字的外部表示水流的边界,中间是河流之形,如图2。这是一个具有画面感的文字,仿佛可以看到夏季大雨过后,雨水汇集在河沟,水头奔涌向前。因水在向前流动时又沿途自然分散开,故“衍”字引申为“漫延”之意。用“衍”字定义光绕过障碍物偏离直线传播的现象,相当准确、传神。

图2 “衍”字的甲骨文

2022年山东省高考第10题对单缝衍射知识进行了深度考查。题目如下:某同学采用图3甲所示的实验装置研究光的干涉与衍射现象,狭缝S1、S2的宽度可调,狭缝到屏的距离为L。同一单色光垂直照射狭缝,实验中分别在屏上得到了图3乙,图3丙所示图样。下列描述正确的是

( )

甲

A.图3乙是光的双缝干涉图样,当光通过狭缝时,也发生了衍射

B.遮住一条狭缝,另一狭缝宽度增大,其他条件不变,图3丙中亮条纹宽度增大

C.照射两条狭缝时,增加L,其他条件不变,图3乙中相邻暗条纹的中心间距增大

D.照射两条狭缝时,若光从狭缝S1,S2到屏上P点的路程差为半波长的奇数倍,P点处一定是暗条纹

可以看出,B选项考查的是狭缝宽度改变后,中央亮条纹宽度如何变化。人民教育出版社高中2019版新教材,选择性必修一第98页,对于“狭缝宽度改变后,中央亮条纹宽度如何变化”这一问题的处理相对简单,仅给出了红光分别经过0.4 mm 和0.8 mm的单缝形成的衍射图样。密立根说:“科学靠两条腿走路,一是理论,一是实验。有时一条腿走在前面,有时另一条腿走在前面,但只有使用两条腿,才能前进”。高中学生,尤其是高二的同学或参加竞赛学习的同学,具备矢量运算的数学基础,难免对定量探究单缝衍射图样心生好奇。为了加深对光的衍射规律的物理本质的理解、培养学生应用数学知识解决物理问题的能力,本文介绍旋转矢量法,讨论如何应用旋转矢量法定量分析单缝衍射的衍射图样。

1.旋转矢量法

图4 旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动

2.同一直线上两个同频率简谐运动的合成

如图5,设有两个同频率的简谐运动

x1=A1cos(ωt+φ1),x2=A2cos(ωt+φ2)

图5 两个同频率的简谐运动的合运动

0时刻,两个同频率简谐运动的合运动可以表示为x=x1+x2=A1cosφ1+A2cosφ2

合运动可以表示为x=Acosφ

任意时刻,两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频简谐运动,由矢量合成公式知

应用旋转矢量法求合振幅可以用图6表示。

图6 应用旋转矢量法求合振幅

由此拓展开来,多列简谐波x0=A0cosωt,x1=A1cos(ωt+φ1),x2=A2cos(ωt+φ2),xn=Ancos(ωt+φn),其相干叠加可以用图7表示。

图7 多列简谐波的叠加

3.应用旋转矢量法推导单缝衍射的光强公式

图8 单缝衍射光路图

如图9所示,P处的合振幅Aθ就是各子波的振幅矢量和。光屏上不同的P点对应的θ不同,Aθ亦不同,即光屏上光强不同。

图(a)N个子波的振幅矢量和

可以求出多缝干涉的合振幅Aθ

在衍射图样中心处θ=0,因而狭缝上相邻两光带之间的相位差也为0。如图10所示。

图10 衍射图样中心P0处的振幅

在这种情况下,向量箭头首尾相接地排成一条直线,因而合成的振幅具有极大值A0,P0处振幅表达式为A0=NA

于是,P点的振幅大小可写成

由于光的强度与振幅的平方成正比,若P0处的光强为I0,则P处的光强I为

4.单缝衍射图样的定量分析

4.1 衍射光强最大值

衍射光强的最大值在θ=0的位置,此时,N个子波振幅矢量排在一条直线上,合振幅最大,即光强最大。

4.2 衍射光强极小值(暗纹)的位置

由此发现,在其他条件相同时,波长越长,光的衍射现象越明显。现如今,5G、人工智能、自动驾驶等领域飞速发展,芯片集成度不断提高,晶体管尺寸在不断缩小,因此要生产更小的晶体管,减少因为光的衍射造成的影响,就需要波长更短的光源,这就是高科技公司在研发EUV(Extreme Ultra-violet)光刻机的原因。

4.3 衍射光强的分布曲线

图11 衍射光强的分布曲线

进一步计算,可以得到单缝衍射各次级大的位置和相对光强,如表1。

表1 单缝衍射极大值的位置和相对光强

4.4 中央亮条纹宽度

光屏上中央亮条纹的宽度

回到上述高考题,B选项中,遮住一条狭缝,另一狭缝宽度增大,狭缝越大,衍射条纹越窄,图3丙中亮条纹宽度减小,故B错误。

爱因斯坦说过“宇宙最不可理解之处,就是它可被理解”。应用旋转矢量法定量分析单缝衍射的衍射图样,可以加深学生对光的衍射规律的理解,进一步激发学习物理的热情,培养学生应用数学知识解决物理问题的科学思维能力,加深对光的衍射规律本质的理解。平时教学中,注重对物理概念、规律的深刻理解,不仅可以拓展学生的知识面,引导学生知其然,更知其所以然,而且对高中教育与高等教育的衔接也是有益的,因此,建议中学物理教师多做些这样的尝试。