核心素养背景下用尺规解决问题的路径探究

【摘  要】  《义务教育数学课程标准（2022年版）》中强调尺规作图在发展学生几何直观、推理能力和创新能力上的重要作用.而尺规作图作为数学教学中的重难点，引起了数学教师的重点关注和深层思考.在用尺规作图解决问题中能够发现，尺规作图能够简化问题，降低数学学习的难度，通过使用数形结合的思想，让学生发散思维、自主探究，产生数学学习的兴趣和积极性，也为后续学习提供思维和方法的支持.

【关键字】  核心素养；尺规作图；执果索因

《义务教育数学课程标准（2022年版）》注重数学核心素养的培养，尺规作图正是培养学生数学核心素养的有效载体.新课标对初中阶段尺规作图提出两个新增内容，并且重点强调要理解和掌握尺规作图的基本原理和方法［1］，由此可以看出新课标对尺规作图教学提出了更高的要求.史宁中教授也指出：用几何解释代数的基本理论工具是几何作图；几何作图实际上蕴含着几何证明，几何作图对于培养几何直观是非常有利的［2］.所以要想用几何的方法解决代数问题，教师应该更加注重作图原理和方法的推理，让学生多经历探索尺规作图的内涵和动手操作的过程，发展空间观念和想象力，培养几何直观、推理能力和创新能力，从而提升学生的学习力.1  “尺规作图”是培养学生核心素养的有效载体

1.1  几何直观

几何直观是数形结合思想的重要体现，是学生建立数与形之间的联系、感知图形本身内涵的数学核心素养.尺规作图恰好展示了数与形的相互结合，要把尺规作图作为数学探究的手段，让学生对图形本身有一定的认识，要从数学问题中构建出数学模型，分析图形的性质，利用数形结合简化问题，解决问题.1.2  推理能力

推理是用尺规解题的生长点，而尺规作图又在促进和发展学生推理能力方面有重要作用.在尺规作图问题中学生要从“是什么？为什么？怎么做？”三个方面去推理解决问题的方法.从学生推理中，就能发现其思维是否严谨、是否具有整体性.1.3  创新能力

尺规作图是解决数学问题的重要手段，也为解决数学问题提供了无数方法和思路.学生通过尺规作图去尝试、思考、推理、解决问题，借助不同知识间的联系找到多种多样的解题方式，提高创新能力.在促进多元知识结合，巩固学科联系的同时，也为不同类型问题提供别出心裁的解法.2  用尺规解决问题的现状分析

在实际教学过程中，教师往往只注重作图方法的讲解，粗略或一笔带过作图原理的推理，这也进一步导致缺乏学习主动性的学生只是机械掌握了作图的方法，做简单题目时生搬硬套，遇到较难题目或将具体问题隐藏在问题情境中时，学生不能正确理解题目意图，也难以从已有知识基础寻找解决问题的突破口和方法.以2023年徐州市中考数学第26题为例.

两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧、玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

（1）若圖1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；

（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．

本题是2023年徐州中考第26题，是尺规作图与传统文化的结合应用，得分率约为10％.这就说明学生对于此题的理解不透彻，在尺规作图方面的应用能力差，难以把问题简化成所学的知识技能.题目设计以徐州两汉文化为背景，以玉璧、玉环为依托，注重将思想、推理和操作相融合，同时也贯彻落实了新课标的新要求“能理解尺规作图的操作过程；并能进一步利用尺规作图完成新的作图，了解其中的数学依据，强化作图的基本原理和方法”［1］71.

第（1）问考查璧与环的“肉”的面积之比，题目中也指明了“肉”的位置，所以这一问是圆面积公式的简单应用.

第（2）问重点考查尺规作图.第①小题让判断图形比例关系是否符合“肉好若一”，也就是判断内圆的半径是否是外圆半径的一半，结合尺规作图以及圆的性质可以确定本题的关键是找同心圆的圆心.简化后题目就转化为找同心圆的圆心并判断两圆半径之间的倍长关系.根据“不在同一条直线上的三点确定一个圆”和“垂径定理”确定具体作图方法：如图4所示.在该圆环外圆上任意找A，B，C三点，连接AB，AC，分别作线段AB，AC的垂直平分线，交点即为同心圆的圆心O.过圆心O画一条直径，以O为圆心，OD为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可.

这一小题看似容易，但难在理解题意.很多学生难以理解该怎样用尺规作图的方式来判断比例关系，其实就是对尺规作图的基本原理没有完全掌握，没有切实从问题出发“执果索因”，对问题做“减法”，找关键.  图4

第（2）问的第②小题题目看似容易，只需要在第①小题已经确定圆心的基础之上找到内孔的半径，有了圆心和半径就能确定这个圆的大小，但这也是本题难度最大的地方.该如何找“肉倍好”内孔的半径，或者换个角度根据题目已有信息“肉倍好”的内涵是三等分外圆的直径.因此确定本题的关键是如何用尺规作图的方法将线段三等分，然后在已有知识中展开联想：可以借助三角形相似、平行线所截线段成比例、三角形重心、矩形的性质、等边三角形的性质等来解决问题.按照①的方法找出圆心O，过圆心画一条直径AB，再借助联想整合出以下作图方法.2.1  借助平行线所截线段成比例

如图5所示.过点A作一条射线；以A为圆心适当长为半径画弧，在射线上依次截取AC=CD=DE；连接BE，分别过点C，D作BE的平行线，交AB于点F，G，则F，G为线段AB的三等分点；进而以FG为直径画圆，问题得解.图5

如图6所示.以A，B，C为顶点，其中C在圆外，作△ABC；线段BC与圆O交于点D，连接AD；取AD的中点E，连接CE并延长交AB于点F；取BF的中点G，则F，G为线段AB的三等分点；进而以FG为直径画圆，问题得解.图6

这两种方法都是依据三角形相似和平行线所截线段成比例的性质.其中第一个方法也是新课标在尺规作图中新增的要求“过直线外一点作这条直线的平行线”的针对性运用.

2.2  借助三角形重心

如图7所示.作△BCD，使点A为边CD的中点，那么此时线段AB是边CD的中线；取BD中点E，连接CE与AB交于点F，则点F是△BCD的重心；取BF的中点G，则F，G为线段AB的三等分点；进而以FG为直径画圆，问题得解.图7

这种作法是依据三角形重心的性质.三角形三条中线的交点称为三角形的重心，而重心能够将三角形的中线分为1∶2的两部分，这也为本题解决线段三等分提供了思路.

2.3  借助矩形的性质

如图8所示.在圆O中，连接AB，CD两条直径，以AB，CD为对角线作矩形ABCD；取AC，BD的中点分别为E，H，连接EH；连接DE，交AB于点F；取BF的中点G，则F，G为线段AB的三等分点；进而以FG为直径画圆，问题得解.图8

此方法利用矩形对边平行且相等的性质，构造出相似比为1∶2的两个相似三角形△AFE∽△BFD，也就将线段分为了1∶2的两部分，与借助三角形的重心有异曲同工之妙.

2.4  借助等边三角形的性质

如图9所示.分别以A，B为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于C，D两点，连接AC，AD，BC，BD得到全等的等边△ABC和等边△ABD；在线段AC，BC上分别截取AH=BE=AO；连接DH、DE分别交线段AB于点F，G，则F，G为线段AB的三等分点；进而以FG为直径画圆，问题得解.  图9

这一作法实则是根据三角形的中位线和等边三角形三边相等的性质，同样构造出了相似比为1∶2的两个相似三角形△HFO∽△DFA，进而促进问题的解决.

2.5  借助三角函数

如图10所示.以点A为圆心，AO为半径作弧，交圆O于点C，连接BC，过点O作AB的垂线，交BC于点D，作BD的垂直平分线交AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作圆，问题得解.图10

如圖11所示.以点A为圆心，AO为半径作弧，交圆O于点C，连接OC，作OC的垂直平分线，交OC于点D，作OA的垂直平分线，交AD于点E，过点E作AD的垂线交AB于点F，以O为圆心，OF为半径作圆，问题得解.图11

这两种方法借助了30°和60°角的三角函数来解决.利用尺规作图构造出特殊直角三角形，并与垂径定理结合，将大圆的半径分成了1∶2的两部分.特殊角的三角函数为本题的解答提供了独特的思路.

综上来看，解决这一问的方法是多种多样的，但学生的答题率和正确率却不乐观，其原因就在于学生分析题目的能力欠缺，对于尺规作图一类的题目只会机械套用作图步骤，不能结合所学基本图形的性质进行联想.因此要解决尺规作图类题目，我们应该先从情境中抽象出数学模型以达到问题简化的目的，再去分析解决问题的关键，然后在头脑中展开联想，根据联想整合作图方法，最后形成自己的解题方法.注重从已有的知识出发分析问题，注重将“思想、推理和操作”相融合，善于借力来解决问题.

这样通过“抽象数学模型—简化问题—结合几何图形性质—找寻问题关键”的方式，对问题做简化，帮助学生分析问题，确定核心问题；通过“执果索因”，从问题出发，理清解决问题的思路，寻找问题解决的突破口，帮助学生解决问题；引导学生联想已有的知识基础，发散思维，使用不同的方法解决问题，让学生更加理解尺规作图的基本原理.3  核心素养背景下用尺规解决问题的路径探究

从新课标的要求以及教学中的实际情况来看，尺规作图作为解决数学几何图形问题的“抓手”之一，是日常教师的教和学生的学与应用的难点.因此，教师应该从学生现有的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验出发，注重思想、推理和操作的相互融合，帮助并引导学生掌握尺规作图.3.1

确定解决问题的关键

读题是解决问题的第一步.读题是指阅读问题、理解问题、分析问题.学生在面对题干情境较长的问题时，通常会将题目归为难度大的题目，而阅读题目的过程中去圈画关键字，目的是让学生将实际问题转化成数学模型，是帮助学生对问题做“减法”，也让学生更容易理解问题.然后再从已有知识出发分析问题，对问题进行分类，确定解决问题的关键.

3.2  关注知识之间的联系

尺规作图表面上是对学生的一项技能训练，实际上则是对学生思维能力的培养.大部分题目都不是孤零零的出现，而且伴随着多重考点，这就意味着学生要在头脑中不断联想，要能够将知识紧密的联系在一起.从问题以及确定的关键出发，善用“执果索因”，联系基本图形的性质，注重知识之间的相互关联，这是做题的关键也是让学生思维不断开阔的良好方法.

3.3  理解作图的基本原理

《新课标》中多次强调要了解作图的操作过程，强化作图的基本原理，理解作图的本质.作图不能只是机械的套用画图步骤，而应以基本知识为基础去掌握基本技能，并学会站在数学的角度用数学的思想获得基本的活动经验.在观察学生用尺规作图解决问题的过程中笔者发现学生通常画了图就默认自己已经完成解题，但他们忽略了画图只是一种假设，画完图后还应对于此种假设进行证明，看看是否符合数学逻辑.3.4  形成自己的解题方法

基于学生思维发展的不同和已有知识的相似，解决问题的方法是多种多样的，因此就要求学生在做题时形成自己的解题方法.基于“确定关键、关注联系、理解原理”这样一个整体性的尺规作图解题流程，学生的思维十分重要，而思维的体现方式就在于最终的方法的选择.尺规作图题目往往要求保留作图的痕迹，从痕迹就可以看出学生的思维是否严谨，思维是否具有关联性.4  结束语

综上所述，尺规作图在培养学生核心素养和解决数学问题中有着不可或缺的重要地位.同时教师也应该借助尺规作图的教学，让学生更加关注知识之间的多元联系，通过不断联想促进“深度学习”的实现，发展高阶思维，完成核心素养的提升.

参考文献［1］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.4：63.

［2］刘金英.尺规作图画出精彩——基于2022年中考感悟尺规作图的育人价值［J］.中国数学教育，2022（12）：41-45.作者简介  马玉洁（1999—），女，江苏徐州人，中小学二级教师；主要从事数学教育与初中数学教学研究.